Zastosowanie matematyki
w finansach i bankowości
Wykład 1
Procent prosty
Zastosowanie matematyki
w finansach i bankowości
Wykład 1
Procent prosty
Istnienie procentu
• Istnienie procentu oznacza, że wartość pieniądza
w czasie zmienia się
• W matematyce finansowej wykorzystuje się
procent prosty lub składany
• Analizując zmiany wartości pieniądza w czasie
należy brać pod uwagę: kapitał początkowy,
kapitał końcowy, czas oprocentowania, odsetki,
stopę procentową roczną, kapitalizację, stopę
podokresową
Zmiana procentowa cen
- Istnieje różnica pomiędzy zmianą o x %, a zmianą o
x p.p.
Przykład:
- Produkt A kosztował 20 zł i zdrożał o 25%. O ile zł
zdrożał produkt A?
- Produkt B kosztował 20 zł i zdrożał o 60 zł. O ile %
zdrożał produkt B?
- Jaka jest różnica w zmianach cen obu produktów?
Zasada oprocentowania
prostego
Zasada oprocentowania prostego
1) Procent za każdy okres dodawany jest do kapitału
początkowego
po
zakończeniu
czasu
oprocentowania
2) Procent należny za dany okres naliczany jest od
kapitału początkowego proporcjonalnie do trwania
tego okresu
• Procent prosty wykorzystywany jest w bankowych
transakcjach krótkoterminowych, w umowach
zawieranych poza sektorem bankowym, w
dyskoncie weksli i bonów skarbowych
Wartość przyszła pieniądza
• Znając wartość bieżącą pieniądza (PV) (kapitał
początkowy),
stopę
procentową
(r),
czas
odsetkowy (n) i metodę obliczeniową (tu procent
prosty) można wyznaczyć wartość przyszłą
pieniądza (FV).
)
1
(
n
r
PV
FV
Zasada oprocentowania
prostego
Przykład:
Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 300 zł po:
a) 2 miesiącach,
b) po 15 dniach.
Stopa procentowa wynosi 7% w skali roku,
oprocentowanie proste
Czas w matematyce finansowej
(1)
W matematyce finansowej problem czasu pojawia się
przy określeniu podokresowej stopy procentowej na
podstawie rocznej stopy procentowej.
Zwykle wykonuje się takie przeliczenia jak:
1) obliczenie liczby dni pomiędzy dwiema datami
2) zamiana liczby dni/tygodni na liczbę lat (część roku)
Wyróżnia się dwa czasy:
- Czas bankowy (360 dni)
- Czas kalendarzowy (365/366 dni)
Czas w matematyce finansowej
(2)
Obliczenie dokładnej liczby dni pomiędzy dwiema
datami jest różne w zależności od przyjętej metody
Dni wg czasu kalendarzowego > dni wg czasu
bankowego
Uwaga techniczna:
- Procent nie jest naliczany za dzień początkowy, za to
uwzględniany jest dzień końcowy, czyli za dzień
odsetkowy uważa się dzień np. wypłaty z konta,
spłaty raty kredytu etc.
Czas w matematyce finansowej
(3)
Przyjęcie typu przeliczeń dla liczby dni między
dwiema datami nie jest obojętne dla stron
transakcji finansowej:
- Dla wierzyciela (kredytodawcy) korzystniejsze jest
obliczenie dokładnej liczby dni wg czasu
kalendarzowego (na dłużej pożycza komuś
pieniądze)
- Dla dłużnika (kredytobiorcy) korzystniejsze jest
obliczenie liczby dni wg czasu bankowego (na
krócej pożycza od kogoś pieniądze)
Czas w matematyce finansowej
(4)
Zamiana liczby dni na część roku może odbywać się
także dwiema metodami:
- Dla wierzyciela (kredytodawcy) korzystniejsze jest
przeliczanie dni na lata wg czasu bankowego
(dzieli się przez mniejszą liczbę dni, więc część
roku jest dłuższa)
- Dla dłużnika (kredytobiorcy) korzystniejsze jest
przeliczanie dni na lata wg czasu kalendarzowego
(dzieli się przez większą liczbę dni, więc część
roku jest krótsza)
Czas w matematyce finansowej
(5)
Obliczanie liczby dni
pomiędzy dwiema datami
Przeliczanie liczby dni na
część roku
- na podstawie tabeli
numerów dni w roku (czas
kalendarzowy)
- arytmetyka liczby dni w
miesiącu względem 30
(czas bankowy)
- dzielenie liczby dni przez
365 (czas kalendarzowy)
- dzielenie liczby dni przez
360 (czas bankowy)
Czas w matematyce finansowej
(6)
Możliwe są cztery kombinacje czasów:
Bank gra rolę wierzyciela (kredytodawcy), a nie
dłużnika (instytucji przyjmującej lokaty)
Tabela dni
miesiąca / roku
Czas w matematyce finansowej
(7)
Przykład:
Pan Nowak zaciągnął kredyt w wysokości 10 000
zł przy rocznej stopie 12% na okres od 7.04 do
15.11. Jakie odsetki zapłaci od kredytu w
zależności od metody obliczeniowej?
Zasada równoważności stóp
procentowych (1)
Zasada równoważności stóp procentowych –
stopy procentowe są równoważne, jeśli przy
każdej z nich dany kapitał początkowy generuje w
określonym czasie identyczne odsetki
Stopy oprocentowania prostego są równoważne
wtedy i tylko wtedy, gdy są proporcjonalne
Stopy podokresowe są proporcjonalne, gdy
stosunek ich wysokości jest taki, jak stosunek
odpowiadających im podokresów
Zasada równoważności stóp
procentowych (2)
Przykład:
Klient szukając oferty lokat otrzymał takie propozycje:
a) Lokata na 3 tygodnie na 1,5%*
b) Lokata na 2 miesiące na 2,4%
c) Lokata na 25 tygodni na 7%
Sprawdź, czy podane stopy procentowe są równoważne.
* Podane stopy % są podokresowe
Rozliczenia bankowe
Przykład:
Pan Nowak 31.03 miał na koncie bieżącym 1000
zł. Dnia 15.04 wpłacił 700 zł, dnia 19.04 wypłacił
150 zł, dnia 22.04 wpłacił 400 zł.
Wyznacz saldo na dzień 30.04, uwzględniając
miesięczne rozliczenie odsetek. Przyjmij, że
odsetki
naliczane
są
za
każdy
dzień.
Oprocentowanie rachunku w skali roku 3%.
Dyskonto i dyskontowanie
(1)
Dyskontowanie to obliczanie kapitału
początkowego na podstawie kapitału końcowego.
Jest to operacja przeciwna do oprocentowania.
Różnica pomiędzy kapitałem końcowym a
kapitałem początkowym to dyskonto (jest to
przeciwieństwo odsetek).
)
1
(
r
FV
PV
Dyskonto i dyskontowanie
(2)
Przykład:
Pan Kowalski chce mieć po trzech miesiącach
1000 zł na koncie. Stopa procentowa roczna
wynosi 5%. Ile musi wpłacić? Ile wynosi dyskonto?
Bony skarbowe
Bony skarbowe sprzedawane są z dyskontem
(tzn. są tańsze niż ich nominalna cena w dniu
wykupu.
Przykład:
Pan Kowalski kupił bon 26-tygodniowy o wartości
nominalnej 1000 zł za 952,10 zł. Oblicz stopę
rentowności (roczną) tej inwestycji. Wykorzystaj
czas bankowy.