Kwantyfikatory
Preliminaria
Preliminaria
Kwantyfikatory
Preliminaria
Preliminaria
Rodzaje kwantyfikatorów
Ogólny (duży, generalny):
Ogólny (duży, generalny):
dla każdego, dla wszystkich
dla każdego, dla wszystkich
Szczegółowy (mały, egzystencjalny):
Szczegółowy (mały, egzystencjalny):
dla pewnego, istnieje
dla pewnego, istnieje
Rachunek
kwantyfikatorów
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
, … - zmienne indywiduowe
, … - zmienne indywiduowe
reprezentujące dowolne przedmioty
reprezentujące dowolne przedmioty
danego rodzaju
danego rodzaju
P
P
,
,
Q
Q
,
,
R
R
, … - symbole predykatowe
, … - symbole predykatowe
(symbole relacyjne) reprezentujące
(symbole relacyjne) reprezentujące
własności, relacje, stosunki (między
własności, relacje, stosunki (między
obiektami z danej dziedziny)
obiektami z danej dziedziny)
Funktory klasycznego rachunku zdań
Funktory klasycznego rachunku zdań
Kwantyfikatory:
Kwantyfikatory:
,
,
Formuły
Jeśli
Jeśli
P
P
jest
jest
k
k
-argumentowym
-argumentowym
symbolem predykatowym, zaś
symbolem predykatowym, zaś
x
x
1
1
, …,
, …,
x
x
k
k
są zmiennymi zdaniowymi, to
są zmiennymi zdaniowymi, to
P
P
(
(
x
x
1
1
,
,
…, x
…, x
k
k
) jest formułą
) jest formułą
Jeśli
Jeśli
,
,
są formułami, to formułami
są formułami, to formułami
są również:
są również:
,
,
,
,
,
,
,
,
Jeśli
Jeśli
(
(
x
x
) jest formułą, w której
) jest formułą, w której
występuje zmienna indywiduowa
występuje zmienna indywiduowa
x
x
, to
, to
formułami są również:
formułami są również:
x
x
(
(
x
x
),
),
x
x
(
(
x
x
)
)
Zdanie
Formuła, w której wszystkie
Formuła, w której wszystkie
zmienne
zmienne
indywiduowe są w zasięgu jakiegoś
indywiduowe są w zasięgu jakiegoś
kwantyfikatora
kwantyfikatora
Formuły i zdania -
przykłady
P
P
(
(
x
x
),
),
Q
Q
(
(
x
x
,
,
y
y
),
),
R
R
(
(
y
y
,
,
z
z
) – formuły
) – formuły
P
P
(
(
x
x
)
)
Q
Q
(
(
x
x
,
,
y
y
) – formuła
) – formuła
P
P
(
(
y, x
y, x
)
)
Q
Q
(
(
x
x
,
,
y
y
) – formuła
) – formuła
x
x
P
P
(
(
x
x
) – zdanie
) – zdanie
x
x
S
S
(
(
x
x
) – zdanie
) – zdanie
x
x
Q
Q
(
(
x
x
,
,
y
y
) – formuła
) – formuła
x
x
y
y
Q
Q
(
(
x
x
,
,
y
y
) – zdanie
) – zdanie
y
y
x
x
(
(
P
P
(
(
y, x
y, x
)
)
Q
Q
(
(
x
x
,
,
y
y
)) – zdanie
)) – zdanie
Interpretacje
K
K
(
(
x
x
) –
) –
x
x
jest książką
jest książką
S
S
(
(
x
x
) –
) –
x
x
jest studentem
jest studentem
P
P
(
(
x
x
,
,
y
y
) –
) –
x
x
przeczytał
przeczytał
y
y
K
K
(
(
x
x
)
)
P
P
(
(
y
y
,
,
x
x
) –
) –
x
x
jest książką i
jest książką i
y
y
przeczytał
przeczytał
x
x
x
x
S
S
(
(
x
x
) – istnieje student
) – istnieje student
x
x
[
[
K
K
(
(
x
x
)
)
y
y
(
(
S
S
(
(
y
y
)
)
P
P
(
(
y
y
,
,
x
x
))] – Każda
))] – Każda
książka nie została przeczytana przez
książka nie została przeczytana przez
pewnego studenta
pewnego studenta
Inne przykłady
Wszystko jest flimonem:
Wszystko jest flimonem:
x
x
F
F
(
(
x
x
)
)
Flimon istnieje:
Flimon istnieje:
x
x
F
F
(
(
x
x
)
)
Nic nie jest flimonem:
Nic nie jest flimonem:
x
x
F
F
(
(
x
x
)
)
Coś nie jest flimonem:
Coś nie jest flimonem:
x
x
F
F
(
(
x
x
)
)
x
x
(
(
x
x
)
)
x
x
(
(
x
x
)
)
x
x
(
(
x
x
)
)
x
x
(
(
x
x
)
)
Inne przykłady
Każdy flimon jest dziubdziakiem
Każdy flimon jest dziubdziakiem
x
x
[
[
F
F
(
(
x
x
)
)
D
D
(
(
x
x
)]
)]
Pewien flimon jest dziubdziakiem
Pewien flimon jest dziubdziakiem
x
x
[
[
F
F
(
(
x
x
)
)
D
D
(
(
x
x
)]
)]
Żaden flimon nie jest dziubdziakiem
Żaden flimon nie jest dziubdziakiem
x
x
[
[
F
F
(
(
x
x
)
)
D
D
(
(
x
x
)]
)]
Pewien flimon nie jest dziubdziakiem
Pewien flimon nie jest dziubdziakiem
x
x
[
[
F
F
(
(
x
x
)
)
D
D
(
(
x
x
)]
)]
Trudniejsze przypadki
Każdy ma jakiegoś przyjaciela
Każdy ma jakiegoś przyjaciela
x
x
y
y
P
P
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
Każdy jest przyjacielem wszystkich
Każdy jest przyjacielem wszystkich
x
x
y
y
P
P
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
Ktoś ma jakiegoś przyjaciela
Ktoś ma jakiegoś przyjaciela
x
x
y
y
P
P
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
Ktoś jest przyjacielem wszystkich
Ktoś jest przyjacielem wszystkich
x
x
y
y
P
P
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
Nikt nie jest niczyim przyjacielem
Nikt nie jest niczyim przyjacielem
x
x
y
y
P
P
(
(
x
x
,
,
y
y
) (lub
) (lub
x
x
y
y
P
P
(
(
x
x
,
,
y
y
))
))
Trudniejsze przypadki
Każdy polityk jest uczniem pewnego
Każdy polityk jest uczniem pewnego
polityka
polityka
x
x
[
[
P
P
(
(
x
x
)
)
y
y
(
(
P
P
(
(
y
y
)
)
U
U
(
(
x
x
,
,
y
y
))]
))]
Pewien polityk nie jest uczniem żadnego
Pewien polityk nie jest uczniem żadnego
polityka
polityka
x
x
[
[
P
P
(
(
x
x
)
)
y
y
(
(
P
P
(
(
y
y
)
)
U
U
(
(
x
x
,
,
y
y
))]
))]
Pewien polityk nie ma uczniów wśród
Pewien polityk nie ma uczniów wśród
polityków
polityków
x
x
[
[
P
P
(
(
x
x
)
)
y
y
(
(
P
P
(
(
y
y
)
)
U
U
(
(
y
y
,
,
x
x
))]
))]