1

Projektowanie elementów 

zginanych 

Część 1 – Podejście ogólne wg 

Eurokodu 2

WYKŁAD NR 2

PODSTAWY 

PROJEKTOWANIA 

KONSTRUKCJI 

ŻELBETOWYCH

Semestr V , r .ak. 2010/2011

Opracowanie - prof. dr hab. inż. Andrzej Łapko

 

 

2

Schematy konstrukcji żelbetowych 

zginanych

Belka

Rama

Bieg schodów

Płytaa

Strefa zarysowania belki żelbetowej przy 

zniszczeniu

 

 

4

Praca elementu zginanego 

w fazie zarysowania

         
 

 

 

5

Fazy pracy elementu zginanego

 

Faza Ia i Ib – element bez zarysowania

Faza IIa i IIb – element zarysowany

Faza III – element silnie zarysowany, w stanie zniszczenia

d – wysokość użyteczna przekroju

III Faza

II Faza

I Faza

 

 

6

Przegląd metod obliczania 

konstrukcji żelbetowych

 

 

7

•Metoda  NL  (naprężeń  liniowych  według 
założeń fazy II)

Rozkład sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym żelbetowego elementu zginanego

przyjmowany w obliczeniach metodą NL

cm

c

s

s

c

s

E

E















Zakłada się prawo płaskich przekrojów (hipoteza Bernouliego) i równość odkształceń
w betonie i zbrojeniu rozciąganym oraz prawo Hooke’a

c

e

c

cm

s

s

E

E





















E

Strefa  ściskana

Oś obojętna

 

 

8

•Metoda  NL  (naprężeń 
liniowych)

Obliczenia wykonuje się  stosując tzw. przekrój 
sprowadzony elementu A

cs

2

1

s

e

s

e

c

cs

A

A

A

A











gdzie: A

c 

- pole przekroju betonu, A

s1

 i A

s2

- pola przekroju stali zbrojeniowej.

cm

s

e

E

E





Współczynnik 



e

 zapisany jest wzorem

 

 

9

Metoda NL (naprężeń liniowych)

. 

Oblicza się naprężenia w przekroju zginanym

 

według wzoru z wytrzymałości materiałów

i porównuje z naprężeniami bezpiecznymi, np:

-   

Naprężenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu 



c

cd

II

II

c

f

x

J

M







-  

Naprężenia w zbrojeniu 

rozciąganym 



s





yd

II

II

e

s

f

x

d

J

M











Metoda NL jest wykorzystywana do projektowania niektórych konstrukcji żelbetowych, 
takich jak obiekty mostowe lub fundamenty pod maszyny, a także stosowana do obliczeń 
odkształceń i przemieszczeń konstrukcji.

dop

W

M









cm

s

e

E

E





 

 

10

gdzie:M

n

 jest momentem zginającym pochodzącym od obciążeń powiększonych o zapas bezpiecz.

Metoda “OP” (odkształceń plastycznych) – 

III faza pracy

Wymiarowanie przekrojów zginanych w tej metodzie opiera się na kontroli
ich nośności na zginanie na podstawie warunku

R

n

M

M 

M

s

M

n





  s – globalny współczynnik bezpieczeństwa, przyjmowany w 
granicach  1,6 

  s   2,2.

Nośność na zginanie M

R

 w metodzie OP jest funkcją wytężenia betonu 

w strefie ściskanej określoną dla rzeczywistych (średnich) wytrzymałości 
betonu i stali (bez zapasu bezp.)

f

cm

f

cm

 

 

11

Metoda częściowych współczynników 

bezpieczeństwa

Metoda stosowana aktualnie 

- Warunek  stanu  granicznego  zniszczenia  elementu 
zginanego

)

,

,

,

(

)

(

s

yk

c

ck

s

c

d

f

Ed

f

f

A

A

R

q

S











lub krócej

Rd

Ed

M

M



gdzie: S

Ed

 - wartość obliczeniowa momentu lub siły 

przekrojowej, 
R

d

 - obliczeniowa nośność elementu (odporność) na działanie 

danego obciążenia.

Podstawa – analiza przekrojów w stanach granicznych (SG):

-SGN - nośności

 

(osiągnięcie wytrzymałości, wyboczenie, itd.)

-SGU - użytkowalności

 

(zarysowania, ugięcia, nadmierne naprężenia)

 

 

12

Podejścia przy określaniu nośności 

przekrojów 

w elementach zginanych

Podejścia przy analizie przekrojów zginanych

a) – ogólne, b) - uproszczone

Do sprawdzania SGN i wymiarowania żelbetowych 

przekrojów zginanych można wykorzystywać dwa 

podejścia: 

1. Ogólne, 2. Uproszczone

M

Rd

M

Rd

x

ef

x

z

c

z

c

Blok naprężeń w strefie ściskanej

Rd

Ed

M

M



M

Ed

M

Ed

 

 

13

Podejście ogólne w 

analizie

elementów zginanych

 

 

14

Model odkształceniowy pracy 

elementu zginanego w ujęciu 

Eurokodu 2 

Model 

obliczeniowy 

uwzględnia 

następujące 

założenia 

podstawowe:

•1. 

Założenie  płaskich  przekrojów

,  zgodnie  z  zasadą 

Bernoulli’ego, 
            co  oznacza,  że  odkształcenia  włókien  przekroju  są 
proporcjonalne 
      do odległości od osi obojętnej.
•2. 

Równość  odkształceń  w  stali  zbrojeniowej 



s

  i 

otaczającym betonie 



c

 

      na styku obu materiałów.
•3. Pominięcie wytrzymałości betonu na rozciąganie f

ct

=0 

      z uwagi na zarysowanie przekrojów elementu zginanego.
•4. Obliczeniowe  związki   



  - 



    dla  betonu

,  pozwalające 

określić rozkłady
      naprężeń 



c 

w strefie

 

ściskanej betonu

  

oraz ich wypadkową.

•5. Obliczeniowe  związki 



  - 



  dla  stali  zbrojeniowej

  w 

analizowanym
      przekroju.

 

 

15

Związki σ – ε dla betonu w strefie ściskanej wg Eurokodu 2

dla wszystkich klas betonów

Wykres paraboliczno – prostokątny

Wykres dwuliniowy

(dopuszczalny)

σ

c

 – ε

c

σ

c

 – ε

c

Parabola stopnia n 

 2



Wykres idealizowany

Wykres idealizowany

Linia prosta

Podejście ogólne z wykorzystaniem nieliniowego 

związku σ – ε 

dla wszystkich klas betonów wg Eurokodu 2

W zakresie

































n

c

c

cd

c

f

2

1

1







W zakresie

u

c

c

c

2

2











cd

c

f





n – wykładnik potęgi funkcji parabolicznej: 



c2,

-  odkształcenie  na  granicy  części  parabolicznej  i 

prostokątnej wykresu



c2u

 –odkształcenie graniczne przy zniszczeniu

c

c



 

 

 

17

17

Klasy betonu według Eurokodu 2

 

 

18

















4

2

c

c

cd

c

f







dla 



c 

< (2‰) i 

n = 2

dla 2‰  



c 

 3,5 

‰ 



c

 =  f

cd

 

         f

cd

 - obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie 

parabola 2-go stopnia

gdzie:  f

ck

 - charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie 

Podejście ogólne z wykorzystaniem nieliniowego 

związku σ – ε 

dla klas betonów zwykłych (do C50/60) wg 

Eurokodu 2

Parabola stopnia n = 2

































n

c

c

cd

c

f

2

1

1







2 ‰

 

3,5 ‰

 

parabola n-tego stopnia

 

 

19

Zależności σ – ε dla stali 
zbrojeniowej

A – wykres idealizowany (wartości charakterystyczne)
B – wykres obliczeniowy z półką nachyloną lub poziomą (wartości obliczeniowe)

 

 

20

Warunki osiągnięcia nośności 

przekroju elementu zginanego

Stan  graniczny  nośności  przekroju  zostanie  osiągnięty, 
gdy  spełniony  będzie 

przynajmniej  jeden

  z  poniższych 

warunków odkształceń:

-   Odkształcenia 



s

  w  zbrojeniu  rozciąganym 

osiągną wartość
    graniczną równą - 



ud

 

-  Odkształcenia 



c

  w  skrajnym  włóknie  ściskanym 

betonu osiągną
    wartość 



c2u

 

 

 

21

Zakresy odkształceń zbrojenia i 

betonu według metody ogólnej 

Eurokodu 2

 

A  – graniczne odkształcenia rozciąganej stali zbrojeniowej

 B  -  graniczne odkształcenia betonu przy zginaniu 
 C  – graniczne odkształcenia betonu przy ściskaniu osiowym

 

 

 

22

Zastosowania metody ogólnej 

w obliczeniach elementów 

zginanych 

z betonów klas zwykłych (do 

C50/60)

 

 

23

Założenia metody ogólnej w 

obliczeniach elementów zginanych z 

betonów klas zwykłych (do C50/60)

Zakresy odkształceń w podejściu ogólnym do analizy przekroju

elementów zginanych z betonów zwykłych

M

Ed

ε

c2 

= 2 

‰

 

ε

cu2  

= 3,5 

‰

 

- ε

ud

 =10 ‰

 

 

 

24

Zakresy odkształceń betonu i stali w analizie przekrojów 

zginanych metoda ogólna dla elementów z betonów 

zwykłych

Symbol 

zakresu

Zakres 

1a

Zakres

1b

Zakres 2

Zakres 3

 

Odkształceni

a 

s

w stali 

rozciąganej

 



s

 = 

10,0%

o

 

 



s

 = 10,0%

o

 



sy

   



s

 < 

10,0%

o

 



s

 < 



sy

 

Odkształceni

a 

c

w betonie 

ściskanym

 



c

 <  2,0 

%

o

 

 

2,0 %

o

 

c

<3,5 

%

o

 



c

 =  3,5 %

o

 



c

 =  3,5 %

o

 

Uwagi

 

Beton 

ściskany

nie jest 

w pełni 

wykorzysta

ny

 

Beton ściskany i zbrojenie A

s1

są w pełni wykorzystane

 

 

Zbrojenie A

s1

 

nie jest w 

pełni 

wykorzystan

e



sy

yd

s

f
E



 

 

25

Obliczeniowe warunki 

równowagi przekrojów w 

metodzie ogólnej

- 

Równania  równowagi  momentów  i  sił  podłużnych

  w 

przekrojach normalnych 
   z uwzględnieniem wypadkowych naprężeń w strefie ściskanej 
betonu 
      oraz  wypadkowych  naprężeń  w  zbrojeniu  podłużnym 
elementów,

- 

Równania  określające 

zależności  między  naprężeniami  i 

odkształceniami
      betonu  i

 

stali  zbrojeniowej

  na  podstawie  kryteriów 

materiałowych 
   i związków obliczeniowych 

- 

Równania  określające 

rozkłady  odkształceń    betonu  i  stali 

zbrojeniowej 
      na

 

wysokości  przekroju  normalnego

  elementu  wg    hipotezy 

płaskich
      przekrojów  Bernoulli’ego  i  równości  odkształceń  w  stali  i 
betonu

c

s













 

 

26

 Podejście ogólne przy projektowaniu elementów żelbetowych 

na zginanie 

M

Rd

M

Rd

M

Ed

M

Sd

Założenia do obliczeń nośności 

przekrojów zginanych metodą ogólną 

wg Eurokodu 2

              

            
 

           

   

F

c 

– wypadkowa bloku naprężeń

  

ściskających
        w strefie ściskanej betonu

F

s

 – wypadkowa naprężeń 

rozciągających 
       w zbrojeniu strefy rozciąganej

z

c

 – ramię sił wewnętrznych

M

Rd

 = moment sił wewnętrznych (pary 

sił F

c

 i F

s

)

x

z

c

   

 

 

27

Zakresy odkształceń według 

metody ogólnej

 

  

  

x – zasięg strefy ściskanej w przekroju zginanym (w danym zakresie odkształceń)
x/d = ξ – wielkość bezwymiarowa x (wygodna w obliczeniach na zginanie) 

 

 

28

Równania równowagi dla 

przekroju elementu zginanego

Równania  równowagi  dla  rozpatrywanego 
zginanego 

przekroju 

bez 

udziału 

sił 

podłużnych w zapisie ogólnym

0

0

0

1

1













c

s

Ed

c

c

Ed

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

Suma rzutów sił na oś podłużną

Suma momentów

< f

cd  

 f

cd  

 f

cd  

 

 

29

Zakresy odkształceń 1a i 1b w 

przekroju 

elementu zginanego

=

<

Rozkłady naprężeń i odkształceń w zakresach odkształceń 1a i 1b

M

E

d

M

E

d

 

 

30

Zakres odkształceń 2

=

 

 

31

  Zakres odkształceń 1a - zależności 

x

d

y

x

d

y

c

s

cy

s

c

cy











1

1









dy

b

f

F

cy

cy

x

cd

c





















4

2

0





 

cd

c

f

bd

F

2

2

1

3

8

1

5



















 



= 

         
 

                               
         

d

x





Po scałkowaniu w funkcji
sprowadzonej ξ

Liniowa proporcja odkształceń

Wypadkowa bloku naprężeń
Ściskających F

c

M

Rd





















4

2

cy

cy

cd

cy

f







 

 

32

  Zakres odkształceń 1a - zależności 





cd

c

f

bd

F

2

2

1

3

8

1

5



















 



d

z

c













 













3

8

1

4

4

12

3

2

=

= 

        
  

                               
         

d

x





Ramię sił wewnętrznych w funkcji 

Moment sił wewnętrznych  (nośność na zginanie)

c

s

Rd

c

c

Rd

z

F

M

z

F

M









lub

Wypadkowa bloku naprężeń
Ściskających F

c

M

Rd

 

 

33

Zakres odkształceń „2” 

i odpowiednie zależności 

=

= 

  

x

d

x

s

o





1

%

5

,

3



cd

c

bdf

F

















21

17

d

z

c











 





238

99

1

Nośność na zginanie 

c

s

Rd

c

c

Rd

z

F

M

z

F

M









lub

 

 

34

Graniczne położenie strefy ściskanej 

– granica zakresu 2

s

yd

E

f





0035

,

0

0035

,

0

lim



lim

1

lim

0035

,

0

x

d

x

s







Z prawa płaskich przekrojów 
wynika proporcja

ε

s1

 = f

yd

/E

s

 

ε

c

 = 0,0035

x

lim

d



lim

 = 

x

lim

/d

 

W elementach zginanych z betonów zwykłych 

należy ograniczać zasięg strefy ściskanej 



 do 

wartości 



 

lim

A

s1

Używamy funkcji
sprowadzonej ξ

lim

 = x/d

Strefa  ściskana

d

d

d

s









lim

1

lim

0035

,

0







 

 

35

Zakres odkształceń 3 – element jest 

przezbrojony

=

lim







yd

s

f





Jeżeli

to

czyli stal zbrojeniowa nie jest 
w pełni wykorzystana

Uwaga !

 

Taki przekrój wymaga dozbrojenia strefy ściskanej

 

= f

yd 

/ E

s

 

 

36

Równania równowagi dla 

przekroju elementu zginanego w 

zakresach 1a, 1b, 2 

0

0

0

1

1













c

s

Sd

c

c

Sd

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

Rozwiązania dla elementu zginanego o przekroju 
prostokątnym
przy użyciu tablic (w zapisie skróconym)

0

1





yd

s

cd

f

A

dbf



0

2





cd

Ed

bf

d

M



0

1





yd

s

Ed

f

dA

M



cd

Rd

c

cd

c

f

b

d

M

d

z

f

b

d

F















2







2

bd

f

M

cd

Ed





cd

yd

s

f

f

bd

A

1





yd

Ed

s

f

d

M

A





1

Suma rzutów sił na oś podłużną

Suma momentów

 

 

37

 

 

38

Koniec 

wykładu 2