Metody probabilistyczne

Powstanie rachunku prawdopodobieństwa - połowa 

XVII wieku.
Bezpośrednia przyczyna - gry hazardowe.
Pierwsi  matematycy zajmujący się problemami 

probabilistycznymi:
- B. Pascal (1623-1662),
- P. Fermat (1601-1661),
- J. Bernoulli (1654-1705).
Przez długi czas rachunek prawdopodobieństwa nie 

był uważany za dyscyplinę matematyczną - pojęcie 

prawdopodobieństwa nie było ściśle sprecyzowane.

W 1933 roku A. Kołmogorow przedstawił rachunek 
prawdopodobieństwa jako teorię aksjomatyczną.

 

 

Symbol Newtona

Niech n oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, zaś k - 
liczbę naturalną bądź zero.











!

1

2

1

k

k

n

n

n

n

k

n

def





























gdy 

1



k

1

0

def

n















Jeśli n jest liczbą całkowitą nie mniejszą od k, 
otrzymujemy:





!

!

!

k

n

k

n

k

n

















 

 

Symbol Newtona

Udowodnić:















































1

1

1

k

n

k

n

k

n

k

n

N

n

k

n

n

k

n

































   

i

   

   

dla

    

 

 

Permuracje

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych 
elementów.

Permutacją zbioru Z nazywamy każde 
uporządkowanie elementów zbioru Z.

Istnieje                           permutacji zbioru Z.

!

2

1

n

n

def







 

Zadanie:

Ile liczb sześciocyfrowych można 
utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5 w taki 
sposób, żeby żadna cyfra w liczbie się nie 
powtarzała?

 

 

Wariacje bez powtórzeń

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych 
elementów.

k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru Z 

nazywamy każdą permutację k-elementową 
należącą do zbioru Z.

Liczba k-wyrazowych permutacji zbioru Z wyraża 
się wzorem:





n

k 

 













1

1

!

!

















k

n

n

n

k

n

n

V

k

n



Zadanie:

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których żadna 
cyfra się nie powtarza?

 

 

Wariacje z powtórzeniami

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych 
elementów.

k-wyrazową permutacją z powtórzeniami 
nazywamy każde uporządkowanie k elementów 
zbioru Z, z których nie wszystkie elementy 
muszą być różne.

Liczba k-wyrazowych permutacji z 
powtórzeniami wyraża się wzorem:

 

k

k

n

n

W 

Zadanie:

Iloma sposobami można rozmieścić n ziaren w m 
pudełkach?

 

 

Kombinacje

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych 
elementów.

Każdy podzbiór złożony z k różnych elementów 
zbioru Z nazywamy k-elementową kombinacją bez 
powtórzeń.

Liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń 
zbioru Z określona jest wzorem:

 















k

n

C

k

n

Zadanie:

Na płaszczyźnie danych jest n punktów, z których 
żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Ile różnych 
prostych wyznaczają te punkty?

 

 

Zdarzenia losowe

W rachunku prawdopodobieństwa jako 
pojęcie pierwotne przyjmuje się zbiór zdarzeń 
elementarnych                     związanych z 
danym doświadczeniem losowym.

Zbiór       będziemy nazywać przestrzenią 
zdarzeń elementarnych.

Definicja 1.

Zdarzeniem losowym lub krótko zdarzeniem , 
nazywamy każdy podzbiór przestrzeni 
zdarzeń elementarnych       .







 

 

Algebra zdarzeń

Definicja 2.

Zdarzeniem pewnym nazywamy całą przestrzeń 
zdarzeń elementarnych          .

Definicja 3.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy podzbiór 
pusty             przestrzeni         .

Definicja 4.

Mówimy, że zdarzenie A jest zawarte w 
zdarzeniu B             jeżeli każde zdarzenie 
elementarne należące do A należy także do B.    
 









B

A

 

 

Algebra zdarzeń - c.d.

Definicja 5.

Alternatywą lub sumą zdarzeń A i B 
nazywamy zdarzenie C składające się z tych 
wszystkich zdarzeń elementarnych, które 
należą przynajmniej do jednego ze zdarzeń A 
i B, co oznaczamy symbolem              .

Definicja 6.

Koniunkcją lub iloczynem zdarzeń A i B 
nazywamy zdarzenie C składające się z tych 
wszystkich zdarzeń elementarnych, Które 
należą do obu zdarzeń A i B, co oznaczamy 
symbolem             .

B

A

B

A

 

 

Algebra zdarzeń - c.d.

Definicja 7.

Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C 
składające się z tych wszystkich zdarzeń 
elementarnych, które należą do zdarzenia A, ale 
nie należą do zdarzenia B, co oznaczamy 
symbolem            .

Definicja 8.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A 
nazywamy zdarzenie B składające się z tych 
wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie 
należą do zdarzenia A, co oznaczamy symbolem     
   .

B

A

'

A

 

 

Algebra zdarzeń - c.d.

Definicja 9.

Mówimy, że zdarzenia A i B wyłączają się, 
jeżeli       





 B

A

 

 

Własności działań na zdarzeniach

Działania na zdarzeniach podlegają następującym 
prawom:

A

B

B

A







A

B

B

A









 



C

B

A

C

B

A













 



C

B

A

C

B

A













 

 



C

A

B

A

C

B

A















 

 



C

A

B

A

C

B

A













rozdzielność koniunkcji 
względem alternatywy

rozdzielność 

alternatywy 

względem 

koniunkcji 





'

'

'

B

A

B

A











'

'

'

B

A

B

A







Prawa De 
Morgana.

 

 

Definicja klasyczna (Laplace’a) 

prawdopodobieństwa

Rozważmy doświadczenie losowe kończące się 
zawsze dokładnie jednym spośród m 
jednakowych wyników. Jeżeli zdarzeniu A 
sprzyja l spośród tych wyników, to 
prawdopodobieństwem P(A) zdarzenia A 
nazywamy liczbę

 

.

m

l

A

P



Zdanie „zdarzeniu A sprzyja l wyników” 
rozumiemy następująco: zdarzenie A 
zrealizuje się, gdy doświadczenie kończy się 
którymkolwiek z l określonych wyników, i nie 
realizuje się, gdy kończy się którymkolwiek z 
m-l pozostałych wyników.