Twierdzenie Banacha
o punkcie stałym
Piotr
Arciszewski
Twierdzenie Banacha
o punkcie stałym
Piotr
Arciszewski
Jedno z twierdzeń Banacha o punkcie stałym dla
każdego przekształcenia zwężającego ciąg obrazów
punktów (figur) jest zbieżny do punktu stałego.
Przekształcenia zwężające, to przekształcenia
mające własność powodującą zmniejszanie się odległości
punktów po przekształceniu.
Przekształcenie takie np. jednokładność w skali
0<S<1(ma punkt, który przechodzi na siebie samego).
Zastosowanie
wielokrotne
takiej
jednokładności
przybliża kolejno otrzymywane punkty do środka
jednokładności.
D
E
F
C
A
B
O
1-q
q
1
1
q
q
2
q
3
q
4
Z rysunku widzimy, że trójkąty AOD i EDF są podobne.
Możemy więc napisać następujące proporcje:
ED
EF
AD
AO
czyli
ED
AO
1
1
q
q
q
q
q
n
S
4
3
2
1
1
q
S
1
1
1
q
S
1
1
A
F
E
B
a
0
a
0
q
a
0
q
a
0
q
2
O
Do twierdzenia o sumie szeregu geometrycznego,
zamiast
kwadratów,
możemy
użyć
innych
figur
geometrycznych przekształcanych przez jednokładność o
współczynniku skali równym q. A oto jeszcze jeden dowód tego
doświadczenia
tym
razem
posługując
się
trójkątami
równobocznymi zamiast kwadratów.
Inne przekształcenie to przekształcenie, które
zbliża punkty na osi liczbowej np. 1+0,5x x
Po kolejnym zastosowaniu tego przekształcenia dla
dowolnej liczby otrzymujemy wyniki, których kalkulator
już nie rozróżnia. O to przykład dla liczby 7.
To jest położenie naszej liczby na osi
liczbowej.
2
1
0
3
4
5
6
-
1
7
2
1
0
3
4
5
6
-
1
7
5
,
4
1
5
,
0
7
2
1
0
3
4
5
6
-
1
7
25
,
3
1
5
,
0
5
,
4
2
1
0
3
4
5
6
-
1
7
625
,
2
1
5
,
0
25
,
3
2
1
0
3
4
5
6
-
1
7
3125
,
2
1
5
,
0
625
,
2
2
1
0
3
4
5
6
-
1
7
15625
,
2
1
5
,
0
3125
,
2
2
1
0
3
4
5
6
-
1
7
078125
,
2
1
5
,
0
15625
,
2
To przekształcenie jest rozwiązaniem zadania o
cegle:
Cegła waży kilo i pół cegły.
Ile waży cegła?
x = 1 + 0,5x
x = 1 + 0,5x / - 0,5x
0,5x = 1
x = 2