Grafika komputerowa

Krzysztof Tyburek

krzysiekkt@ukw.edu.pl

Wykład 7

Prymitywy graficzne

Prymityw graficzny - rodzaj figur geometrycznych, z których buduje się
inne, bardziej złożone obiekty.

Z punktu widzenia geometrycznej definicji figury, każdą z nich można
zbudować z punktów. W grafice komputerowej najczęściej jednak jako
prymitywów używa się trójkątów (szczególnie w grafice trójwymiarowej),
albo odcinków.

Parabola

Okrąg

Prymitywy graficzne -

Przykłady figur płaskich

Trójkąt prostokątny

Romb

Trapez

Sześciokąt foremny

Prymitywy graficzne - OpenGL-linie

Prymitywy graficzne - OpenGL- trójkąty

Prymitywy graficzne – OpenGL - czworokąty

Prosta – łączy 2 punkty. Posiada
jedynie
kontur, bez wypełnienia.

Prymitywy graficzne – obiekty wektorowe

Elipsa/łuk  –  są  oparte  na  fragmentach  krzywych  stycznych
wewnętrznie  do  prostokąta.  Posiadają  zarówno  kontur  i
wypełnienie.  W  przypadku  łuków  rysowana  jest  jedynie  część
konturu.

Prymitywy graficzne – obiekty wektorowe

Wielolinia (polilinia) – składa się z otwartych odcinków
prostych. Posiada jedynie kontur, bez wypełnienia.

Prymitywy graficzne – obiekty wektorowe

Prymitywy graficzne – kierunek rysowania

Prymitywy graficzne – obiekty wektorowe

Wielokąt – składa się z zamkniętych odcinków prostych.
Posiada zarówno kontur i wypełnienie.

Obiekty wektorowe – krzywe Béziera

Pojedynczą krzywą Béziera jednoznacznie identyfikują cztery punkty: p

, p

Krzywa zaczyna się w punkcie p

i kończy w p

. Punkt p0 jest zatem

punktem początkowym, a p

– punktem końcowym (punkty p

i p

są

często nazywane końcowymi).

Punkty p

i p

- punkty kontrolne.

Punkty kontrolne działają jak „magnesy” i „przyciągają” do siebie
krzywą.

Przykładowa krzywa Béziera z dwoma punktami końcowymi i dwoma kontrolnymi

Obiekty wektorowe – krzywe Béziera

Ustawiając odpowiednio węzły i uchwyty można
modyfikować kształt krzywej.

Krzywe Béziera - przykłady

Krzywa Béziera to wielomian trzeciego stopnia.

Krzywe Béziera

Krzywą Béziera jednoznacznie określają cztery punkty: p

(punkt

początkowy), p

i p

(dwa punkty kontrolne) oraz p

(punkt końcowy).

Te punkty można oznaczyć jako p

, y

), p

, y

), p

, y

) i p

Kształt krzywej Béziera określają dwa równania parametryczne:

x(t) = (1 − t)

+ 3t(1 − t)

+ 3t

(1 − t)x

+ t

y(t) = (1 − t)

+ 3t(1 − t)

+ 3t

(1 − t)y

+ t

gdzie parametr t przybiera wartości z przedziału 0 <= t <= 1.

Postać tych wielomianów jest wyznaczona przez zbiór tzw. punktów
kontrolnych P

, P

, . . . , P

, przy czym krzywa przechodzi tylko przez

swój punkt początkowy P

oraz punkt końcowy P

Krzywe Béziera

Ponadto  krzywa  zawiera  sie  w  tzw.  powłoce  wypukłej  swoich
punktów  kontrolnych,  tzn.  w  najmniejszym  zbiorze  wypukłym
zawierającym te punkty.
Punkty  kontrolne  inne  niż  początkowy  i  końcowy  wpływają  na
kształt  krzywej  w  ten  sposób,  ze  ”przyciągają”  krzywą  w  swoim
kierunku.

Krzywe Béziera

W programie CorelDRAW można wykonać następujące czynności:

Krzywe Béziera

1. przesunąć węzeł - zmianie ulegnie wygląd jednego lub dwóch

segmentów (gdy węzeł należał do dwóch segmentów),

2. przesunąć punkt kontrolny - zmieni się kształt jednego segmentu,
3. dodać węzeł - jeden segment zostanie podzielony na dwa segmentu,

pomiędzy którymi znajdzie się dodany węzeł,

4. usunąć węzeł - zostaną usunięte także dwa punkty kontrolne, a dwa

sąsiednie segmenty zostaną połączone w jeden segment, którego
kształt będą określały pozostałe-sąsiednie punkty kontrolne,

5. połączyć dwa końcowe węzły - powstanie jeden węzeł z punktami

kontrolnymi tak ustawionymi, aby przejście krzywej przez ten węzeł
było "gładkie",

6. przekształcić segment na prostą, krzywą, itp. - powoduje to

automatyczne ustawienie punktów kontrolnych w ten sposób, aby
uzyskać żądany kształt.

Definicja powierzchni Béziera

Powierzchnia Beziera jest powierzchnia parametryczna, tzn. każdy
jej punkt generowany jest przez funkcje ustalonych dwóch
parametrów

Zakres obu parametrów wynosi [0, 1] (tzn. powierzchnia
zbudowana jest nad kwadratem [0,1]x[0,1])

Każda  ze  zmiennych  x(u,  v),  y(u,  v),  z(u,  v)  jest  opisana
wielomianem  dwóch  zmiennych  w(u,  v)  ustalonych  stopni  ze
względu na u i v.
Postać  i  stopień  tych  wielomianów  jest  wyznaczony  przez  zbiór
punktów kontrolnych (P

), gdzie i = 0, . . . , n, j = 0, . . . ,m

Definicja powierzchni Béziera

Obiekty wektorowe – czcionka

Czcionki zazwyczaj są przechowywane jako krzywe Beziera, co
bardzo ułatwia ich skalowanie, obroty i inne modyfikacje.

Obiekty wektorowe – proste operacje na obiektach

Zamiana kolejności obiektów

Grupowanie polega na budowaniu obiektów złożonych z
obiektów prostych (lub innych złożonych).

Obiekty wektorowe – proste operacje na obiektach

Zgrupowane obiekty są traktowane jako jeden obiekt, jednak
każdy obiekt składowy jest wciąż indywidualnym obiektem
o określonych właściwościach. Grupa w każdej chwili może
zostać rozdzielona

BINGO

Łączenie  polega  na  tworzeniu  jednego  obiektu  z  obiektów
składowych,  przy  czym  obiekty  składowe  po  połączeniu  przestają
indywidualnie  istnieć.  Nie  można  cofnąć  operacji  połączenia
obiektów – informacja o obiektach składowych zostaje utracona.

Obiekty wektorowe – proste operacje na obiektach

przed