1. Wielkości w ruchu obrotowym
2. Moment pędu i moment siły
2. Zasada zachowania momentu pędu
3. Siły centralne: moment pędu jest zachowany
4. Ruch obrotowy bryły sztywnej względem ustalonej osi
    -II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
    -moment bezwładności
    -energia kinetyczna ruchu obrotowego
5. Precesja

 ZASADA ZACHOWANIA 

MOMENTU PĘDU: PODSTAWY 

DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

 

 

WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: PRĘDKOŚĆ 

KĄTOWA

r



V

dt

d





Prędkość kątowa jest 
wektorem

r



V

Kierunek wektora 
prędkości kątowej zależy 
od kierunku obrotu

r

V













Kierunek wektora prędkości 
kątowej określony jest 
regułą prawej dłoni

Prędkość punktu w ruchu po okręgu można opisać szybkością 
zmian kąta  zakreślonego przez wektor wodzący punktu

dt

d





 

 

WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: 

PRZYŚPIESZENIE KĄTOWE





V



dt

d









Przyśpieszenie 
kątowe jest 
wektorem

Przyśpieszenie punktu w ruchu po okręgu można opisać 
szybkością zmian prędkości kątowej 

dt

d





V’

a

s

a’

s

 

 



V



dt

d









Przyśpieszenie 
kątowe jest 
wektorem

Kierunek wektora 
przyśpieszenia kątowego 
zależy od kierunku zmian  

WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: 

PRZYŚPIESZENIE KĄTOWE

Przyśpieszenie punktu w ruchu po okręgu można opisać 
szybkością zmian prędkości kątowej 

dt

d





r

a

s













a

s

- przyśpieszenie 

styczne do toru

Kierunek wektora 

przyśpieszenia 

kątowego określony jest 

regułą prawej dłoni

s

a





s

a

a

s

’

a

s

 

 

 MOMENT SIŁY I MOMENT PĘDU

Moment pędu pojedynczej cząstki w stosunku 
do początku inercjalnego układu odniesienia 
wynosi

DEFINICJA MOMENTU PĘDU

V

m

r

p

r

L



















L=r  

p

mom. siły

mom. pędu

DEFINICJA MOMENTU SIŁY

x

y

z

r

F

N=r  

F

V

Moment siły pojedynczej cząstki w stosunku do 
początku inercjalnego układu odniesienia wynosi

F

r

N











Ruch obracającego się ciała można zmienić przykładając do niego moment siły

Jeśli do ciała przyłożony jest moment siły, to moment pędu ciała 
zmienia się

 

 

W jakich okolicznościach moment pędu 
może się zmienić?

 ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

dt

p

d

r

p

dt

r

d

dt

)

p

r

(

d

dt

L

d



























dt

p

d

r

)

v

m

v

(

dt

L

d



















dt

p

d

r

dt

L

d











Szybkość 
zmiany 
momentu pędu 
wynosi:

x

z

 F

y

r

p

Jeśli brak jest zewnętrznego momentu 
siły to moment pędu układu mas jest 
zachowany

0

N

zewn







L



const

z

x

y

2

1

L(t=0)=L

1

+

L

2

z

x

y

z

x

y

1

2

L(t)=L

1

’+L

2

’= 

L(t=0)

z

 F

12

x

y

1

2

 F

21

2

L(t=0)=L

1

+

L

2

L(t)=L

1

’+L

2

’= 

L(t=0)

F

r

dt

L

d











zachowanie 
L

F

x

z

x

y

p

p

x

z

x

y

F

x

F

p

z

x

y

r

 

 

RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM 

NIERUCHOMEJ OSI

Bryła obraca się ze stałą prędkością kątową  wokół stałej 

osi z

obrót bryły 
względem stałej osi 
w kierunku z

Różne części ciała mają różną prędkość liniową V

i

 chociaż tą 

samą kątową . Prędkość elementu m

i

 masy w położeniu r

i

 

wynosi V

i

 = r

i

.

I-moment bezwładności























i

2

i

i

i

i

i

i

z

m

r

r

m

r

V

m

r

L

i

I

L

I

L

z

z















Jeśli bryła obraca się ze stałą prędkością kątową  wokół stałej

 osi to składowa jej  momentu pędu wzdłuż tej osi wynosi

I

L

z







Jaki jest moment pędu 
bryły? 



z

y

x

W ogólności jest to skomplikowane zagadnienie: trzeba 
zsumować iloczyny

     , w wyniku czego 

moment pędu będzie zależał od rozłożenia masy w bryle.

i

i

i

m

V

r









V

i

r

i

L

i

r



V

i

L

z

Jednak składowa z momentu pędu może być łatwo obliczona, 
ponieważ prędkość V

i

 leży w płaszczyźnie xy















i

i

i

z

i

i

z

V

Δm

r

L

Δm

V

r

L







W ogólności jest to skomplikowane zagadnienie: trzeba 
zsumować iloczyny

     , w wyniku czego 

moment pędu będzie zależał od rozłożenia masy w bryle.

i

i

i

m

V

r









Jeśli obracająca się bryła jest symetryczna względem 
osi obrotu, to jej całkowity momentu pędu wynosi

I

ω

L 





 

 

RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM 

NIERUCHOMEJ OSI



z

r

i

V

i

obrót bryły 
względem stałej osi 
w kierunku z

w  jaki sposób można zmienić moment pędu takiej 
bryły?

Składowa zewnętrznego momentu siły, równoległa do  osi obrotu ustalonej w  
układzie inercjalnym (lub przechodzącej przez środek masy), działającego na 
obracające się ciało równa jest iloczynowi momentu bezwładności i 
przyśpieszenia kątowego względem tej osi





I

N

zewn

ale ponieważ

więc













I

dt

d

I

dt

dL

z

zewn

N

dt

L

d







z

,

zewn

z

N

dt

dL



I

L

z







 

 

PRZYKŁAD: TOCZENIE PO RÓWNI

Pełny walec o masie M toczy się bez poślizgu po równi 
o dl. L nachylonej pod kątem  do poziomu. Ile wynosi 

prędkość środka masy walca w najniżej położonym 
punkcie równi?



G

R

T

L

x

y

r

Na walec działają siły: G, R i T, ale tylko T ma niezerowy moment siły względem 
osi obrotu. Czyli : N=Tr = I

Ponieważ I dla walca wynosi 

I=(1/2)Mr

2

, stąd:

Tr=(1/2)Mr

2

*

Położenie osi zmienia się w taki sposób, jakby wszystkie siły były przyłożone do 
środka masy 

Ma

sm

= G+ R + T Współrzędna obu stron tego równania wzdłuż 

x wynosi:

Ma=Mgsin-T.

Jeśli toczenie bez poślizgu, to ruch postępowy środka masy i ruch obrotowy wokół 
osi obrotu walca są powiązane: a=*r =a/r. 

  Tr=(1/2)Mr*a  

     T=(1/2)M*a 

     a=2/3gsin   Ponieważ V=at i L=at

2

/2, 

  Ma=Mgsin-T

     Ma=Mgsin-T







sin

gL

3

4

La

2

V

Środek masy walca będzie się poruszał tak, jakby 
wszystkie siły zewnętrzne (R, T i G) były do niego 
przyłożone, czyli walec będzie się obracał względem 
osi przechodzącej przez środek masy. 

N=I

ROZWIĄZANIE

 

 

PRZYKŁAD: ZDERZENIE POCISKU Z WALCEM

V

0

d

Pocisk o masie m i prędkości V

0

 uderza w lity walec 

o masie M i promieniu R. Walec, mogący się 
obracać względem nieruchomej osi przechodzącej 
przez oś, jest początkowo w spoczynku, a miejsce 
uderzenia pocisku jest w  odległości d<R od osi 
walca. Jaka jest prędkość kątowa walca, jeśli pocisk 
utkwił tuż przy jego powierzchni 

z

x

y

Ponieważ zewnętrzny moment siły względem dowolnego punktu na osi walca 
jest zero, dlatego moment pędu układu jest taki sam przed jak i po zderzeniu.

czyli

zˆ

d

mV

V

m

)

yˆ

d

xˆ

x

(

p

r

L

0

0

przed





















)

mR

MR

2

1

(

zˆ

)

mR

MR

2

1

(

I

L

2

2

2

2

po























2

2

0

mR

MR

2

1

d

mV







 

 

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: OBLICZANIE



r

i

Moment bezwładności względem osi obrotu, to suma mas i 
odległości od osi obrotu











dm

r

m

r

I

2

i

2

i

moment bezwładności obręczy

R

Ponieważ masa jest rozłożona symetrycznie i w  odległości R 
względem osi obrotu, to 

m

R

dm

r

I

2

2







moment bezwładności walca

R

dm’

Walec składa się z pierścieni o masie dm’ i w  odległości r 
względem osi obrotu, to 

2

MR

dr

r

R

M

2

R

M

r

2

dr

r

'

dm

r

dm

r

I

2

R

0

3

2

2

R

0

2

2

2





























 

 

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: TWIERDZENIE STEINERA

Moment bezwładności 
względem osi obrotu, to suma 
mas i odległości od osi obrotu











dm

r

m

r

I

2

i

2

i

Przykład: moment 
bezwładności walca

2

MR

3

MR

2

MR

I

2

2

2







R

oś obrotu

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy 
momentowi bezwładności względem osi do niej 
równoległej i przechodzącej przez środek masy plus 
iloczyn masy przez kwadrat odległości między obiema 
osiami







i

2

Δm

a

I

0

I

śm

Oznaczmy przez I

0

 moment 

bezwładności jeśli oś obrotu 
przechodzi przez środek masy

0

I

a

A jaki jest moment bezwładności względem innej osi, nie 
przechodzącej przez środek masy?

śm

 

 

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO

Jeśli bryła obraca się wokół stałej osi to całkowita energia kinetyczna jest  sumą 
energii kinetycznych poszczególnych mas m:























i

i

2

i

i

2

2

i

i

i

2

i

i

K

r

m

2

1

)

r

(

m

2

1

v

m

2

1

E

PRZYKŁAD
:



h

T

L

E

p

=mgh

Korzystając z zasady zachowania energii obliczyć 
prędkość środka masy walca u podnóża równi

E

K

=(mV

2

+I

2

)/

2

Energia potencjalna na szczycie przekształca się w energię 
kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego 

E

p

=E

K

(mV

2

+I

2

)/2=m

gh

Ale:
I=mr

2

/2 i =V/r, to 

















sin

gL

3

4

V

sin

gL

4

3

V

sin

mgL

r

V

2

mr

2

1

2

mV

2

2

2

2

2

I

2

1

E

2

K





 

 

ANALOGIE W  RUCHU OBROTOWYM I POSTĘPOWYM

Odpowiadające  sobie  wielkości  i  równania  dla  ruchu  postępowego  i 
obrotowego

Ruch liniowy

Ruch obrotowy

wielkości

Równania 
kinematyczne

Równania 
dynamiczne

położenie
prędkość

kąt

prędkość kątowa

przyśpieszenie kątowe

przyśpieszeni
e

masa

pęd

siła

moment 
bezwładności

moment pędu
moment siły

N

N

E

K

=

E

K

=

 

 

Bąk  symetryczny  podparty  u  podstawy, 
wiruje  z  bardzo  dużą  prędkością  kątową 
.  Jego  chwilowy  moment  pędu  wynosi 

L=I,  czyli  skierowany  jest  wzdłuż  osi 

obrotu.  Jaki  będzie  ruch  bąka,  jeśli 
przestanie działać podtrzymująca go siła?

r

sm

L

PRECESJA













I

mgr

L

Gr

dt

d

sm

sm

R

G

- siła reakcji R podłoża przyłożona do punktu podparcia (moment siły pochodzący 
od tej siły wynosi 0).

Na bąk działają dwie siły:
-  ciężkości  G=mg,  (moment  siły  z  nią 
związany,  obliczony  względem  punktu 
podparcia,  wynosi  N=r

sm

XG  i  jest 

skierowany ll do podłoża),

N

dL

Całkowity moment siły N=r

sm

XG powoduje zmianę momentu pędu dL=Ndt, czyli w 

kierunku  do L (bo N jest  do r

sm

, a r

sm

ll L).  L  obraca się (

precesuje

) wokół 

kierunku równoległego do działającej siły. 

d



Lsin

dL=r

sm

Gsin



Ponieważ     dL=r

sm

Gsin()dt, a kąt d wynosi:   d=dL/Lsin()= r

sm

Gsin()dt/ 

Lsin()= 

= r

sm

Gdt/ L,  więc prędkość kątowa precesji