POSTAĆ OGÓLNA
FUNKCJI
KWADRATOWEJ
POSTAĆ OGÓLNA
FUNKCJI
KWADRATOWEJ
Jeżeli a ≠ 0 to funkcję
f(x)=ax
2
+bx+c
nazywamy
funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym).
Jest to
postać ogólna funkcji
.
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wykresem funkcji jest parabola.
PRZYKŁADY FUNKCJI:
f(x)=6x
2
-4x+10
g(x)=-2x
2
-10
h(x)=x
2
-x
f(x)=4x
2
+5x
p(x)=7x
2
g(x)=-2x
2
-2x-2
h(x)=x
2
-8
Zadanie1: Przedstaw funkcję w postaci ogólnej:
a) f(x)=x(x-10)+2(x-8)
f(x)=x
2
-10x+2x-16
f(x)=x
2
-8x-16-
postać ogólna funkcji kwadratowej
a=1 b=-8 c=-16
b) f(x)=2(x+4)(x-3)
f(x)=2(x
2
-3x+4x-12)
f(x)=2x
2
-6x+8x-24
f(x)=2x
2
+2x-24
- postać ogólna funkcji
kwadratowej
a=2 b=2 c=-24
c) f(x)=2(x-2)
2
f(x)=2(x
2
-4x+4)
f(x)=2x
2
-8x+8-
postać ogólna funkcji kwadratowej
a=2 b=-8 c=8
d) f(x)=-3(x+4)
2
f(x)=-3(x
2
+8x+16)
f(x)=-3x
2
-24x-48
- postać ogólna funkcji
kwadratowej
a=-3 b=-24 c=-48
e) f(x)=-x(x+4)-4x(x+1)
f(x)=-x
2
-4x-4x
2
-4x
f(x)=-5x
2
-8x
- postać ogólna funkcji kwadratowej
a=-5 b=-8 c=0
Zadanie2: Sprawdź nie rysując, czy do wykresu funkcji
f(x)=3x
2
-x-2 n
ależą punkty: A=(0,4) B=(1,0) C=(-
2,3).
A: f(x)=3x
2
-x-2
4=3·0
2
-0-2
4=-2
- fałsz A∉f
B: f(x)=3x
2
-x-2
0=3·1
2
-1-2
0=0
B
ϵ
f
C: f(x)=3x
2
-x-2
3=3·(-2)
2
-(-2)-2
3=3·4+2-2
3=12
- fałsz C∉f
Do wykresu funkcji należy punkt B.
Zadanie3: Funkcję zapisaną w postaci ogólnej,
przedstaw
w postaci kanonicznej i iloczynowej:
a)f(x)=x
2
-6x+5
a=1 b=-6 c=5
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-6)
2
- 4·1·5 = 36 – 20 = 16
Przypominamy postać kanoniczną:
f(x)=a(x-
p)
2
+q
f(x)=(x-3)
2
-4
Przypominamy postać iloczynową: f(x)=a(x-x
1
)
(x-x
2
)
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
f(x)=(x-1)(x-5)
Wykresem funkcji jest parabola skierowana
ramionami do góry, ponieważ współczynnik a
jest dodatni. (a=1)
b) f(x)=-x
2
+4x-4
a=-1 b=4 c=-4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 4
2
- 4·(-1)·(-4) = 16 – 16 = 0
f(x)=a(x-p)
2
+q
f(x)=-(x-2)
2
–
postać kanoniczna
Przypominamy postać iloczynową: f(x)=a(x-x
0
)
2
Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe
f(x)=-(x-2)
2
Wykresem funkcji jest parabola skierowana
ramionami
w dół, ponieważ współczynnik a jest ujemny. (a=-1)
c) g(x)=4x
2
+x+8
a=4 b=1 c=8
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·4·8 = 1 - 128 = -127
Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych; nie
można jej
przedstawić w postaci iloczynowej
-
postać kanoniczna
Zadanie4: Funkcję zapisaną w postaci kanonicznej
zapisz
w postaci ogólnej. Odczytaj współrzędne wierzchołka
paraboli.
a)f(x)=-2(x+2)
2
+4
f(x)=-2(x
2
+4x+4)+4 W=(-2,4)
f(x)=-2x
2
-8x-8+4
f(x)=-2x
2
-8x-4
b)g(x)=4(x-7)
2
g(x)=4(x
2
-14x+49) W=(7,0)
g(x)=4x
2
-56x+196
c) h(x)=(x+5)
2
-5
h(x)=(x
2
+10x+25)-5 W=(-5,-5)
h(x)=x
2
+10x+20
Zadanie5: Funkcję zapisaną w postaci iloczynowej
przedstaw w postaci ogólnej.
a)h(x)=-3(x+4)(x-5)
h(x)=-3(x
2
+4x-5x-20)
h(x)=-3(x
2
-x-20)
h(x)=-3x
2
+3x+60 a=-3 b=3 c=60
b) p(x)=-4(x-1)x
p(x)=-4(x
2
-x)
p(x)=-4x
2
+4x a=-4 b=4 c=0
c) f(x)=6(x+3)
2
f(x)=6(x
2
+6x+9)
f(x)=6x
2
+36x+54 a=6 b=36 c=54
Zadanie6: Wyznacz wartość najmniejszą i największą
funkcji: f(x)=2(x+1)(x-4) w przedziale
Najpierw przekształcimy funkcję do postaci
kanonicznej
f(x)=2(x
2
-4x+x-4)
f(x)=2(x
2
-3x-4)
f(x)=2x
2
-6x-8
a=2 b=-6 c=-8
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-6)
2
- 4·2·(-8) = 36 + 64 = 100
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli, aby
sprawdzić czy odcięta wierzchołka należy do
przedziału.
Odcięta wierzchołka należy do przedziału
Obliczamy wartości funkcji f na końcach przedziału:
f(0)=2·0
2
-6·0-8 = -8
f(6)=2·6
2
-6·6-8 = 72-36-8= 28
Najmniejszą wartością funkcji f w podanym
przedziale jest
wartość -rzędna wierzchołka paraboli,
największą
wartością funkcji jest 28 dla argumentu 6 będącego
końcem
podanego przedziału.
Zadanie7: Wyznacz współrzędne wierzchołka
paraboli, wyznacz wartość najmniejszą oraz zbiór
wartości funkcji: y=2x
2
+10x+8
a=2 b=10 c=8
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 10
2
- 4·2·8 = 100 - 64 = 36
Wykresem funkcji jest parabola skierowana
ramionami w
górę. Wartość najmniejsza jest równa dla x=