Zestaw 4

Dynamika symboliczna

4.1. (Z) Wykaż, że funkcja d : Σ

2

× Σ

2

→ R zdefiniowana wzorem:

d(t, s) =

∞

X

i=0

|t

i

− s

i

|

2

i

jest metryką.

4.2. (Z) Wykaż, że przestrzeń metryczna (Σ

2

, d) jest ograniczona.

4.3. Zbadaj, czy przestrzeń metryczna (Σ

2

, d) jest zupełna.

4.4. (Z) (a) Niech S = {s ∈ Σ

2

: s

0

= 0 ∧ s

1

= 1 ∧ s

2

= 1}. Wykaż, że S jest domkniętym

podzbiorem przestrzeni Σ

2

. Czy jest to zbiór gęsty w Σ

2

?

(b) Niech A = {s ∈ Σ

2

: ∃

n∈N

∗

∀

i­n

s

i

= 0}. Wykaż, że S jest gęstym podzbiorem przestrzeni Σ

2

.

Czy jest to zbiór domknięty w Σ

2

?

4.5. Wykaż, że każdy niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni Σ

2

jest nieprzeliczalny.

4.6. (Z) Wyznacz zbiory: Fix(σ), Per

2

(σ), Per

3

(σ) i Per

4

(σ).

4.7. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par (s, t) punktów przestrzeni Σ

2

o następujących

własnościach:

a) orbity O(s) i O(t) są gęste w Σ

2

,

b) dla każdego n ∈ N zachodzi równość d(σ

n

(s), σ

n

(t)) = 2.

4.8. Dla ciągu s = 10100100010000 . . ., w którym po każdej k-tej jedynce występuje k zer, znajdź

zbiór punktów skupienia orbity O(s).