NURBS: Non-Uniform
Rational B-Splines
Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej
nazwie:
B-spline
— krzywe NURBS to
krzywe
B-sklejane
, a więc parametryczne
krzywe, które są złożone z
wycinków krzywych
wielomianowych.
Rational
— krzywe wymierne,
ponieważ zdefiniowano je we
współrzędnych jednorodnych
- po
przejściu na współrzędne
kartezjańskie otrzymuje się funkcje
wielomianowe. Rzecz ma się
dokładnie tak samo jak w przypadku
wymiernych krzywych Béziera
.
Non-uniform
— cecha krzywej B-
sklejanej:
węzły
krzywej
nie muszą
być rozmieszczone równomiernie.
NURBS
Na kształt krzywej NURBS wpływają następujące elementy:
punkty kontrolne
5
0
, … , 5
CA8A
węzły
X
0
, … , X
B
dzielące przedział
0,1 na B − 1
podprzedziałów
wagi punktów kontrolnych
,
;
, … , ,
CA8A
— (liczby
rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów kontrolnych
na krzywą;
4 —
stopień
sklejanych
wielomianów
.
Dowolny punkt na krzywej dany jest wzorem:
5 =
∑
,
7
5
7
7
8
CA8A
7:;
∑
,
7
7
8
CA8A
7:;
,
∈ X
8
, X
CA8
gdzie
7
8
() jest
unormowaną bazową funkcją
B-sklejaną.
NURBS
Krzywe NURBS dla
4 = 3
określone na tych samych
punktach kontrolnych
górny rysunek - kontrola
kształtu poprzez zmianę
wartości węzłów - na osiach
liczbowych zaznaczono
rozkład węzłów)
dolny rysunek - kontrola
kształtu poprzez zmianę
wagi punktu
Niejednorodne ułamkowe wielomianowe
krzywe trzeciego stopnia
Ogólnie segmenty
ułamkowej
krzywej
trzeciego stopnia są
stosunkami
wielomianów
parametrycznych
w
jednorownym
układzie
współrzędnych
=
Y
()
,()
=
Y
()
,()
=
Y
()
,()
Niejednorodne ułamkowe
segmenty wielomianowej krzywej
trzeciego stopnia
Zalety:
niezmiennicze
względem
przekształceń elementarnych:
skalowanie, obrót,
przesunięcie
dodatkowo względem
perspektywy
punktów kontrolnych
inne
krzywe
nie są
niezmiennicze w stosunku do
perspektywy
Mogą
definiować
dowolny przekrój stożka – krzywe
nieułamkowe
mogą tylko
aproksymować
krzywe
stożkowe.