FILTRACJA WODY W ZŁOŻU GRUNTOWYM 

 
TEORIA 
 
 Zasadniczą cechą ośrodka rozdrobnionego jest jego porowatość. Chociaż porowate są 
także liczne inne materiały, jak cegła, beton, drewno itp., to jednak w ośrodkach 
rozdrobnionych ziarna (cząstki) albo nie są niczym spojone ze sobą, albo spojenia te są 
bardzo słabe. 
 Jeśli liczba ziaren w ośrodku różnoziarnistym, składającym się z frakcji grubszych i 
drobnych, jest taka, że stykają się one ze sobą bezpośrednio, mówi się, że tworzą one szkielet 
ziarnisty (szkielet gruntowy). Tworzą one wówczas mniej lub bardziej stabilną konstrukcję, 
zdolną do przenoszenia obciążeń zewnętrznych. Gdy liczba ziaren jest mała lub, gdy są one 
tak rozmieszczone, że tworzą jedynie wypełnienie części przestrzeni i nie stykają się ze sobą, 
będąc zawieszone w cieczy lub w zdyspergowanej frakcji iłłowej, wówczas stanowią one 
jedynie „wypełniacz” cieczy i nie mogą przenosić obciążenia. 
 Układ ziaren szkieletu może być albo bardzo ścisły, albo luźny, albo każdy pośredni, 
przy czym ziarna w jednym miejscu mogą być ułożone szczelnie, w innym zaś luźno. Niech 
część  m jednostki objętości ośrodka będzie wypełniona materiałem szkieletu, część  v wodą 
(lub inną cieczą), część z wreszcie gazem. Oczywiście: 
 

m + v + z = 1,        m < 1, v < 1, z < 1. 

 

 

 

    (1) 

 
Miejsca nie zajęte przez materiał szkieletu zwane są porami, a wartość ułamka 
 

n = v + z = 1 – m                                                        (2) 

 
zwana jest porowatością ośrodka. 
 Porowatość, jak wynika ze wzoru (2), jest stosunkiem objętości zajętej przez 
niewypełnione materiałem ziaren miejsca do całkowitej objętości rozważanego ośrodka V

0

. 

Oznaczając objętość miejsc nie wypełnionych symbolem V

p

, otrzymujemy: 

 

.

 

 

V

V

 

 

n

p

1

0

〈

=

                                                              (3) 

 
Objętość względna szkieletu wynosi: 
 

,

V

V

 

-

 

V

 

 

V

V

 

 

n

 

-

 

 

 

m

p

s

0

0

0

1

=

=

=

                                                    (4) 

 
przy czym: 
 

m + n = 1.                                                             (5) 

 
 Porowatość równoziarnistych ośrodków o ziarnach zaokrąglonych dobrze modeluje 
układ jednakowych kul. Porowatość układu kul zmienia się w zakresie od 0,476 (układ: kula 
nad kulą w narożach siatki kwadratowej) do 0,259 (układ: kula na trzech kulach). Prawie 
dokładnie w tym samym zakresie zmienia się porowatość równoziarnistego piasku rzecznego. 
 Porowatość różnoziarnistego ośrodka gruntowego można modelować za pomocą 
układu kul o różnych średnicach. Do określenia minimalnej porowatości szkieletu ziarnistego 

 

1

złożonego z piasku i pyłu zaproponowano układ kula na trzech kulach, pomiędzy którymi 
wpisano kule mniejsze o takiej średnicy, by stykały się one ze wszystkimi otaczającymi je 
kulami większymi, tworzącymi czworościan foremny.  
Porowatość takiego ośrodka, w którym najgęstsze upakowanie większych kul dodatkowo 
wypełnione jest mniejszymi, wynosi: 
 

n

min

 = 0,209.                                                           (6) 

 
 Stosunek 

objętości porów do objętości szkieletu ziarnistego w próbce gruntu nosi 

nazwę wskaźnika porowatości 

ε

: 

 

,

 

 

 

     

,

n

 

-

 

n

 

 

m

n

 

 

V

V

 

 

s

p

1

1

〉

〈

=

=

=

ε

ε

                                              (7) 

 
a więc: 
 

.

 

 

 

 

n

     

,

 

 

 

 

m

ε

ε

ε

+

=

+

=

1

1

1

                                                    (8) 

 
 Wskaźnik porowatości określa  średni statystyczny rozstaw ziaren (elementów) 
ośrodka w przestrzeni, jest więc jedną z geometrycznych charakterystyk struktury ośrodka. 
Wraz ze średnim rozmiarem ziarna (cząstki) pozwala on określić stopień wypełnienia 
przestrzeni zajętej przez ośrodek. Jeśli struktura ośrodka ziarnistego jest statystycznie 
jednorodna i izotropowa, to znajomość wskaźnika porowatości i średnicy ziarna pozwala 
dostatecznie dokładnie scharakteryzować ośrodek rozdrobniony. Za statystycznie izotropowe 
można uważać tylko ośrodki ziarniste; ośrodki złożone z cząstek o kształcie zorientowanym 
wymagają dla swej geometrycznej charakterystyki dodatkowych danych. 
 
Filtracja wody w gruncie.
 Jeśli w różnych punktach gruntu istnieją różne poziomy wody, to woda w porach 
gruntu znajduje się w ruchu. 

klastry iłu

powietrze

pył 

woda 

piasek

 

Rys.1.Schemat struktury gruntu naturalnego. 

 

 

2

 Ruch ten odbywa się z nieznaczną prędkością, ponieważ szkielet ziarnisty stawia opór 
przepływowi wody tym większy, im mniejsze są ziarna gruntu (a więc i kanaliki między nimi, 
przez które przepływa woda). Opór ten wynika z lepkości wody i z szorstkości oraz znacznej 
nieregularności kanalików utworzonych przez połączone ze sobą pory (rys.1). Przy ściankach 
kanalika woda jest prawie nieruchoma; im dalej od ścianek, tym ruch jest szybszy. Grubość 
owej nieruchomej warstwy wody (warstwa przyścienna) nie zależy od średnicy kanalika, a 
jedynie od lepkości wody. Im większy będzie zatem kanalik, tym przy innych jednakowych 
warunkach mniejsza będzie ilość przepływającej w nim wody. Ponadto, w bardzo wąskich 
kanalikach liczyć się należy z działaniem warstwy wody adsorbowanej, której lepkość jest 
większa od lepkości wody swobodnej. Wynika z tego, że w bardzo wąskich kanalikach ruch 
wody może okazać się niemożliwy. Zjawisko to obserwowano w gruntach spoistych, gdy 
różnica ciśnień była zbyt mała, aby pokonać opór stawiany przepływowi wody. 
Podobną rolę jak ziarna gruntu odgrywają także pęcherzyki gazu uwięzionego w porach 
gruntu (por. rys.1). 
 
ZASADA POMIARU 
 
 

Rysunek 2 przedstawia stosowany w ćwiczeniu układ do badania współczynnika 

przepuszczalności (K) w gruntach. 

Q

Q

l

A

Δh

warstwa 

filtracyjna

Rys.2. Schemat układu do pomiaru współczynnika przepuszczalności. 

 
 
 Przez próbkę gruntu (złoża) o długości l i polu przekroju poprzecznego A przepływa woda o 

ciężarze objętościowym 

ρ

w

 

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3

m

N

. Różnica poziomów wody u wlotu i wylotu próbki wynosi 

Δ

h. Różnica ciśnień wody na próbkę z obu jej końców wynosi więc: 

 

A.

 

h

 

 

 

S

w

Δ

ρ

=

 

 
Na jednostkę pola przekroju więc: 
 

h,

 

 

 

w

w

Δ

ρ

σ

=

                                                            (9) 

 

 

3

a na jednostkę objętości: 
 

I,

 

 

 

l

h

 

 

w

w

d

ρ

Δ

ρ

σ

=

=

                                                    (10) 

 
gdzie 
 

l

h

 

 

I

Δ

=

                                                               (11) 

 
nazywane jest spadkiem hydraulicznym (gradientem hydraulicznym). Dla coraz mniejszego l 
otrzymamy w granicy: 
 

l

 

H

 

 

 

I

d

d

=

.                                                             (12)  

 
 Ciśnienie 

σ

d

 mające wymiar [N/m

3

] (wymiar siły masowej) zwane jest ciśnieniem 

filtracyjnym lub ciśnieniem spływowym. Działa ono na ścianki kanalików (a więc na szkielet 
gruntowy) zgodnie z kierunkiem ruchu wody. 
 

Wydatkiem filtracji nazywa się ilość wody q

w

, jaka w jednostce czasu przepływa przez 

jednostkę objętości próbki gruntu podczas filtracji. Wydatek ten jest proporcjonalny do 
ciśnienia filtracyjnego 

σ

d

 i do lepkości postaciowej 

η

w

 wody, wyraża się więc równaniem: 

 

,

K

-

 

 

q

d

w

w

σ

η

=

 

 
co po podstawieniu do zależności (10) daje: 
 

I.

 

K

-

 

 

q

w

w

w

ρ

η

=

                                                        (13) 

 

Tutaj 

η

w

 wyraża się w 

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ⋅

2

m

s

N  

 

, 

ρ

 jako ciężar objętościowy ma wymiar 

w

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3

m

N

, a ponieważ I 

jest wielkością bezwymiarową, zatem K musi mieć wymiar [m

2

]. Współczynnik wymiarowy 

K nosi nazwę współczynnika przepuszczalności. 
 

Równanie (13) wyraża prawo filtracji laminarnej Darcy’ego: wydatek filtracji jest 

wprost proporcjonalny do spadku hydraulicznego. 
 Biorąc pod uwagę zakłócające działanie warstwy przyściennej i wody adsorbowanej 
należy zauważyć,  że przy dostatecznie małym spadku hydraulicznym i drobnoziarnistym 
gruncie filtracja może nie nastąpić. Dochodzi się w ten sposób do pojęcia początkowego 
spadku hydraulicznego, poniżej którego w gruntach spoistych filtracja nie może się odbywać. 
Oznaczając ten spadek symbolem I

0

 można napisać: 

 

(

.

I

 

-

  

I

 

 

K

-

 

 

q

w

w

w

0

ρ

η

=

)

                                                    (14) 

 
Jest to ogólna postać prawa Darcy. 
 

 

4

PRZEBIEG ĆWICZENIA 
 
 Wyznaczyć współczynnik przepuszczalności  K dla danego złoża gruntowego 
korzystając z równania: 
 

w

w

l

h

A

K

-

 

Q 

η

ρ

Δ

⋅

⋅

⋅

⋅

=

,       gdzie 

 

.

 

t

V

 

Q 

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

s

m

3

 

 
Aby wyznaczyć  Q (wydatek obj.) należy zmierzyć czas przefiltrowania określonej ilości 
cieczy (wody) przez złoże. 
 
Dane: 
A = ... [m

2

], 

Δ

h = ... [m], 

l = ... [m], 

,

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

wody

w

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⋅

=

3

4

2

m

N

10

s

m

m

kg

10

10

3

3

ρ

ρ

 

.

 

,

 

 

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ⋅

⋅

=

−

2

w

m

s

N

3

10

01

1

η

 

 

 

5