Szereg funkcyjny 

Szeregiem funkcyjnym nazywamy szereg  

(x) +  (x) + … +  (x) + … = ∑

( )  

którego wyrazami są funkcje  : A → R, n є N. Sumy cząstkowe  

( ) =  ( ) +  ( ) + … +  ( ) , n = 1,2,… 

tworzą ciąg funkcyjny określony w zbiorze A. 

 

Zbieżność punktowa 

Dany jest ciąg funkcyjny  : A → R , n є N. Mówimy, że szereg funkcyjny ∑

 jest punktowo zbieżny, 

jeśli ciąg sum częściowych  ( ) := ∑

( ) , x є A, n є N jest zbieżny w każdym punkcie swojej 

dziedziny. 

 

Zbieżność jednostajna 

Mówimy, że szereg funkcyjny  ( ) jest jednostajnie zbieżny do funkcji s(x) w zbiorze A, jeżeli dla 
każdej liczby ε > 0 można dobrać wskażnik 

 niezależny od x i taki, że 

| ( ) − ( )| ≤ ε dla wszystkich x є A i n ≥   

Ciąg  ( ) jednostajnie zbieżny w zbiorze A jest zbieżny punktowo dla każdego x є A, lecz 
niekoniecznie jest odwrotnie. 

Jeżeli wszystkie wyrazy szeregu funkcyjnego są ciągłe, a szereg jest jednostajnie zbieżny, to jego suma 
jest funkcja ciągłą. 
 
 

Kryterium Weierstrassa 

 
Szereg ∑

( ) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze A, jeżeli w zbiorze A zachodzą nierówności 

| ( )| ≤ 

 , gdzie liczby 

 są wyrazami szeregu zbieżnego ∑

. Szereg ∑

 nazywamy 

wówczas majorantą szeregu ∑

( ).