Kolokwium I
rok 2010/2011
Zadanie 5:
a)
Obliczyć krzywiznę i promień krzywizny krzywej L: { x
2
+y
2
=1 , z=y } w punkcie P(1,0,0)
b)
co znaczy, że punkt M0(OM=r(t
0
)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma
punkty wyprostowania?
Rozwiązanie:
a) 1) wzory na krzywiznę i promień krzywizny krzywej:
χ(t)=
∣
r
'
(
t
)
×
r
' '
(
t
)
∣
∣
r
'
(
t
)
∣
3
,
R(t)= 1
χ
2) parametryzacja krzywej L:
x=cost , y=sint, z=sint, t=0
3) r(t) i pochodne potrzebne do dalszych obliczeń:
r(t)= [ cost , sint , sint ] , r(t
0
=
0
) = [ 1 , 0 , 0]
r’(t) = [ -sint , cost , cost ] , r’(t
0
=0) = [0 , 1 , 1]
r’’(t) = [ -cost , -sint , -sint ] , r’’(t
0
=0) = [-1 , 0 , 0]
4) obliczenia dla χ(t) i R(t) :
B(t
0
) = r’(t
0
) x r’’(t
0
) =
(
i
j
k
0
1 1
−
1 0 0
)
=[0 , -1 , 1]
|B(t
0
)| =
√
2
,
|r’(t
0
)|=
√
2
Liczę krzywiznę krzywej:
χ(t)=
√
2
√
2
3
=
1
2
Liczę promień krzywizny krzywej:
R(t)=
1
1
2
= 2
b)
1) definicja punktu wyprostowania krzywej:
χ(t)=0
→
r’(t)
x
r’’(t) = [0 , 0 , 0]
2) liczę punkt wyprostowania krzywej:
r(t)= [ cost , sint , sint ]
r’(t) x r’’(t) =
(
i
j
k
−
s i n t
c o s t
c o s t
−
c o s t −s i n t −s i n t
)
=[-sintcost + sintcost , -cos
2
t-sin
2
t , sin
2
t + cos
2
t] = [0 , -1 , 1]
|B(t)| =
√
2
,
|r’(t)|=
√
s i n
2
t+2 c o s
2
t
=
√
1+c o s
2
t
χ(t)=
√
2
√
1+c o s
2
t
3
> 0 bo
1+c o s
2
t >
0 -
Brak punktu wyprostowania krzywej.
Odpowiedź: a)
Krzywizna krzywej:
χ(t)=
√
2
√
2
3
=
1
2
Promień krzywizny krzywej:
R(t)=
1
1
2
= 2
b)
Brak punktu wyprostowania krzywej.
Autor: Katarzyna D. grupa 2
22.11.2013
Punkty krzywej L: r=r(t) dla których χ(t)=0 nazywa-
my punktami wyprostowania krzywej L.