Istotną cechą nawierzchni podatnych jest ich stosunkowo mała wytrzymałość na zginanie i ścinanie, w 
związku z tym dopuszczalne obciążenie nawierzchni zależy w bardzo dużym stopniu od nośności 
podłoża gruntowego. 
W czasie działania obciążeń od kół pojazdów nawierzchnia przeciwstawia się deformacjom pionowym 
i poziomym. Naprężenia poziome dość szybko zanikają poniżej powierzchni warstwy ścieralnej i 
dlatego przy obliczaniu grubości poszczególnych warstw nawierzchni podatnych należy uwzględnić 
przede wszystkim wielkość naprężeń i ugięć pionowych.  
Ugięcia pionowe nawierzchni występują wskutek: 
- ściśliwości nawierzchni, podsypki i podłoża; 
-przemieszczeń, występujących w materiale poszczególnych warstw. 
W warunkach małej wilgotności podłoża nawierzchnia pracuje dobrze. Ugięcia nawierzchni można 
uważać za sprężyste, a rozkład naprężeń i odkształceń można obliczać metodami teorii sprężystości. 
W warunkach dużej wilgotności podłoża (na wiosnę), gdy podsypka nie nadąża odsączać nadmiaru 
wody z podłoża, tłuczniowa warstwa nośna staje się również zawilgocona. Nawierzchnia ma 
zmniejszoną sztywność i wytrzymałość na zginanie. Wskutek tego ma miejsce koncentracja naprężeń 
bezpośrednio pod kołem. Zwiększają się naprężenia w podłożu gruntowym, które ulega większym 
ugięciom. W pierwszym okresie zwiększają się ugięcia nawierzchni w dół, czemu towarzyszy 
powstawanie naprężeń rozciągających w dolnej części nawierzchni. W miarę zwiększenia się 
wypierania podłoża i podnoszenia się nawierzchni obok koła powstają naprężenia rozciągające 
również i w jej górnej części. 

 

Z powyższego wynika, że na pracę nawierzchni podatnej mają wpływ następujące parametry: 
- wielkość obc od kół pojazdów 
-intensywność ruchu (powtarzalność obc) 
-stan podłoża gruntowego – rodzaj gruntu, nasycanie wodą, wytrzymałość na ścinanie 
- grubość warstwy nośnej i jej jakość (wytrzymałość na ścinanie i rozciąganie) 
- grubość podsypki 
 
W praktyce projektowania dróg korzysta się z teorii rozkładu naprężeń zarówno w ośrodku 
jednorodnym, jak i w dwu- i trzywarstwowym. Z punktu widzenia bezpieczeństwa przyjęcie 
konstrukcji jezdni i podłoża za ośrodek jednorodny daje duży zapas bezpieczeństwa, ale powoduję 
znaczne zwiększenie kosztów budowy drogi. Dlatego w ostatnich czasach obserwuje się przejście do 
opracowań układów wielowarstwowych, szczególnie potrzebnych w przypadku projektowania 
konstrukcji jezdni z uwzględnieniem ich dopuszczalnych odkształceń,  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

W PÓŁPRZESTRZENI SPRĘŻYSTEJ (ośrodek jednorodny) 
 

(wg Boussinesq’a) Ośrodek gruntowy można uważać za półprzestrzeń, która jest ograniczona od góry 
płaszczyzną poziomą (powierzchnią terenu) i rozprzestrzenia się nieskończenie głęboko i szeroko. 
Przyjmuje się, że ośrodek gruntowy jest sprężysty(liniowo odkształcalny), izotropowy (takie same 
właściwości fizyczne w każdym punkcie) i jednorodny. Takie założenie ułatwia wyznaczenie wartości 
naprężeń i odkształceń, a wartości błędu popełnionego przy obliczeniach zależą od tego, jak dalece 
rzeczywista zależność odkształceń od naprężeń gruntu w rozpatrywanych warunkach różni się od 
prawa Hoocke’a.  
W granicach stosowanych w praktyce obciążeń można przyjąć, że odkształcenia ośrodka gruntowego 
są liniowo zależne od naprężeń (ośrodek liniowo- odkształcalny). [Wiłun]   
Naprężenie jest to graniczna wartość stosunku siły działającej na nieskończenie mały element pola 
przekroju ciała do wymiaru tego pola: 
𝜎 = lim⁡

∆𝑁

∆𝐴

 (A-> 0) 

 

 

Naprężenia - notacja 
Układ współrzędnych radialny 
• 



z 

– naprężenia pionowe 

• 



r 

– naprężenia poziome radialne 

• 



– naprężenia poziome obwodowe 

Układ współrzędnych prostokątny 
• 



x 

– naprężenia poziome w kierunku „x” 

• 



y 

– naprężenia poziome w kierunku „y” 

• 



z 

– naprężenia pionowe 

 

 

Z powyższego: 
Naprężenia pionowe zależne są od: 
q- obciążenia 
z- głębokości 
a- promienia śladu 
Naprężenia  poziome zależne są od: 
q-obc 
v- wsp Poissona 
z- głębokości 
a- promienia śladu 
 
Naprężenia pionowe 

 

Z powyższego wynikają wnioski: 
- informacja o maksymalnych naprężeniach gwarantuje projektowanie w taki sposób by naprężenia nie 
powodowały uszkodzeń 
- Im większa głębokość tym naprężenia są mniejsze, można stosować słabszy grunt (tym samym, 
słaby grunt może przenieść naprężenia o ile będzie wystarczająco daleko)  
 
Naprężenia pionowe można obliczyć: 
𝜎

𝑧

= 𝑞 ∙



𝑧

 

Gdzie: 



𝑧

− [%] wyznaczany z nomogramu (zależny od 

𝑟

𝑎

 , 

𝑧

𝑎

 ) [nomogram wyklad4/slajd6] 

 
 
 
 
 

 
Naprężenia radialne i obwodowe 

 

𝛾 =

𝜏

𝐺

 

Gdzie: (stałe opisane w punkcie 6) 
𝜏 −Naprężenia styczne 
G- Moduł odkształcenia postaciowego  

𝐺 =

𝐸

2(1 + 𝑣)

 

E- moduł sprężystości 
v- współczynnik Poissona  

 

 

Maksymalne naprężenia styczne: 

 

 
UGIĘCIA 
(Pamiętając o uwadze powtarzanej prze profesora: „Wzory na ugięcia półprzestrzeni jednorodnej 
dotyczą płyty naciskowej, jaka obciąża półprzestrzeń: 
Płyta sztywna = płyta stalowa o dużej grubości(nieodkształcalna) 
Płyta podatna = obciążenie kołem ogumionym” 

Płyta podatna: 

𝑤 =

2𝑞𝑎

𝐸

(1 − 𝑣

2

) 

 

Płyta sztywna:

 𝑤 =

𝜋

2

𝑞𝑎

𝐸

(1 − 𝑣

2

) 

 𝜎 =

𝑃

𝜋𝑎

2

 

 
NAPRĘŻENIA – UKŁAD UPROSZCZONY 

 

W praktyce drogowej przy obliczaniu rozkładu naprężeń przyjmuje się, że naprężenia pionowe na 
styku ośrodków i w głębszych poziomach są rozłożone równomiernie. Przyjmuje się, że na ściśliwych 
gruntach naprężenia pionowe można obliczyć, przyjmując, że rozkładają się one pod kątem 35 st. Na 
piaskach i mało ściśliwych gruntach rozkład naprężeń można przyjąć pod kątem 45 st. Im 
sztywniejsze warstwy tym naprężenia na większym obszarze. 
Założenie to jest ostrożne i daje pewien zapas bezpieczeństwa. 
 
 
 
 
 
 

 

UKŁAD DWUWARSTWOWY 
 

Analiza teoretyczna wykonywana na bazie rozwiązań dla ośrodków dwuwarstwowych typu 
nawierzchnia-podłoże gruntowe, prezentowanych przez Burmistera. 
Rozwiązania dla ośrodków dwuwarstwowych, w odróżnieniu od powszechnie stosowanego w wielu 
modelach projektowania i diagnozowania nawierzchni – ośrodka jako półprzestrzeni sprężystej, daje 
lepszą możliwość oceny rzeczywistych ugięć nawierzchni ze względu na wyraźnie występującą 
warstwowość konstrukcji (warstwy nawierzchni – podłoże gruntowe). 

 

Burmister opracował zagadnienie rozkładu naprężeń dla ośrodka dwuwarstwowego przy 
następujących założeniach i warunkach brzegowych i całości: 
- Materiał w każdej warstwie jest JEDNORODNY, SPRĘŻYSTY I IZOTROPOWY; 
- Górna warstwa ma ograniczoną grubość – h, ale nieograniczoną rozciągłość poziomą; 
- Dolna warstwa jest nieograniczona w poziomie i pionie; 
- Warstwa górna spoczywa na warstwie dolnej i warstwy znajdują się w ciągłym między sobą 
kontakcie (pełna szczepność); 
- Wartość współczynnika Poissona przyjęto: v1=v2=0,5, 
- W górnej warstwie poza obszarem obciążonym nie występują dodatkowe naprężenia 
styczne i normalne. 
Naprężenia i odkształcenia wyznacza Burmister w zależności od stosunku modułów sprężystości E1 i 
E2 górnej i dolnej warstwy.  
Naprężenia pionowe normalne w punkach leżących na osi pionowej obszaru obciążonego można 
obliczyć: 
𝜎

𝑧

= 𝑞 ∙



𝑧

 

Gdzie: 



𝑧

− [%] wyznaczany z nomogramu (zależny od 

𝐸1
𝐸2

 , 

𝑧

𝑎

 ) [nomogram wyklad4/slajd17] 

q- obc na powierzchni warstwy pierwszej, działające na obszarze kołowym o promieniu a. 
 
Analizując nomogram widać, że naprężenia w uwarstwionym podłożu gruntowym wg Burmistera są 
znacznie mniejsze niż w podłożu jednorodnym (gdzie E1=E2) i zależą od stosunku E1/E2. 
Szczególnie duże różnice występują bezpośrednio pod nawierzchnią. 
 

 

 
Ugięcia nawierzchni wg Burmistera oblicza się według wzorów: 
 
𝑠 = 1,5 ×

𝑞𝑎

𝐸

2

× 𝜔

𝑧

 dla płyty podatnej 

𝑠 = 1,8 ×

𝑞𝑎

𝐸

2

× 𝜔

𝑧

 dla płyty sztywnej 

gdzie: 
s – ugięcie nawierzchni pod obciążeniem kołem pojazdu w [m], 
1,5 / 1,18– współczynnik dla obciążenia nawierzchni kołem pojazdu, 
q – obciążenie nawierzchni w [MPa], 
a – promień śladu od obciążenia kołem pojazdu w [m], 
E2 – moduł sprężystości gruntu podłoża w [MPa], 



z – współczynnik zależny od stosunku E1/E2 i h/a. (nomogram do wyznaczenia współczynnika 

wpływu, do obliczeń osiadań nawierzchni o grubości h – w wykładach /slajd 18) 
 
 
 
Różnice w ugięciach w przestrzeni jednorodnej i dwuwarstwowej przedstawia rysunek poniżej: 

 

Zauważyć można wyraźnie mniejsze ugięcia w uwarstwionym podłożu gruntowym wg Burmistera w 
porównaniu do ugięć występujących w podłożu jednorodnym. 
 
Układ dwuwarstwowy został też opracowany przez Kriwisski’ego. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

UKŁAD WIELOWARSTOWY   
 

Założenia: 
-Materiały JEDNORODNE,  SPRĘŻYSTE, IZOTROPOWE 
-Obciążenie równomiernie rozłożone na śladzie koła, elipsy lub innym (np. 2 koła) 

 

 
Metody rozwiązania: 
- analityczna (opisane w punkcie 9 – metody np. CBR, OSŻD) 
- metoda elementów skończonych (MES) -> komputerowa 
Programy komputerowe do obliczeń: 

 

 

BISAR jest programem opartym na teorii wielowarstwowej półprzestrzeni sprężystej służącym do 
mechanistycznego projektowania nawierzchni. Program wylicza naprężenia, odkształcenia i 
przemieszczenia obciążonej konstrukcji nawierzchni. Można w nim uwzględnić wpływ związania 
międzywarstwowego. BISAR jest powszechnie używany, a wyniki wykonanych w nim obliczeń 
przytaczane są w wielu publikacjach. 

Zakłada się, że maksymalne odkształcenia rozciągające 

występują na spodzie warstw bitumicznych.

 

Pierwotnie zajmowano się układem warstwowym, dla którego pierwsze rozwiązanie i dodatkowo 
numeryczne wyznaczenie ugięć podał Burminster. Obliczeniem naprężeń zajmował się m.in. Fox. Do 
obliczenia naprężeń i odkształceń w poszczególnych warstwach modelu potrzebne są następujące 
dane: 
grubość warstwy h, moduł sprężystości warstwy E, współczynnik Poissona ν. 

 

 
Szczepność międzywarstwowa  
Niewystarczające powiązanie międzywarstwowe (sczepność) powoduje zwiększone ugięcia 
nawierzchni, te zaś generują zwiększone odkształcenia i naprężenia rozciągające na spodzie 
poszczególnych warstw. Przy nałożeniu się niekorzystnych warunków obciążenia i stanu konstrukcji 
mogą wystąpić przedwczesne deformacje (np. koleiny), wybrzuszenia, boczne przesunięcia lub też 
strukturalne uszkodzenia w postaci spękań, wyłomów lub odprysków. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ugięcia wg metody OSŻD (Zasada równoważności układów) 
Ugięcia układu wielowarstwowego pod obciążeniem kołem równe ugięciu układu dwuwarstwowego i 
układu jednowarstwowego. 

 

 

𝑤 =

𝑞𝐷

𝐸

𝑧𝑎𝑠𝑡

∙  1 − 𝑣

2

  𝑑𝑙𝑎 𝑣 = 0,3 => 𝑤 =

𝑞𝐷

𝐸

𝑧𝑎𝑠𝑡