®Maria Majkowska
Wykład 2, Leśnictwo(zaoczne) 2013-2014r.
Własności funkcji ciągłych opisują następujące twierdzenia:
Tw. JeŜeli
)
x
(
f
oraz
X
x
),
x
(
g
∈
, są funkcjami ciągłymi w punkcie
0
x
, to
)
x
(
g
)
x
(
f
m
;
)
x
(
g
)
x
(
f
⋅
(suma, róŜnica, iloczyn) teŜ są funkcjami ciągłymi. Jeśli
0
)
x
(
g
≠
w
pewnym otoczeniu punktu x
0
, to
)
x
(
g
)
x
(
f
teŜ jest ciągła w punkcie
0
x .
Tw. Funkcja ciągła w punkcie
0
x zachowuje znak w pewnym otoczeniu punktu
0
x , tzn. jeśli:
0
)
x
(
f
0
>
, to istnieje
0
r > , Ŝe dla
)
r
,
x
(
U
x
0
∈
)
x
(
f
jest stale dodatnia.
Podobnie gdy
0
)
x
(
f
0
<
, to istnieje
0
r > , Ŝe dla
)
r
,
x
(
U
x
0
∈
)
x
(
f
jest stale ujemna.
Tw. (Weierstrassa) Jeśli
)
x
(
f
jest ciągła w przedziale domkniętym
>
<
b
,
a
, to istnieją takie punkty
>
∈<
b
,
a
x
1
oraz
>
∈<
b
,
a
x
2
, Ŝe liczba
)
x
(
f
1
stanowi kres górny zbioru wartości funkcji oraz
)
x
(
f
2
stanowi kres dolny zbioru wartości funkcji na zbiorze
>
<
b
,
a
. Mówimy, Ŝe funkcja ciągła na
przedziale domkniętym osiąga kres dolny i górny zbioru swoich wartości.
Tw. JeŜeli
X
x
),
x
(
f
∈
jest ciągła w przedziale, do którego naleŜą punkty
1
x i
2
x , to funkcja
)
x
(
f
osiąga kaŜdą wartość zawartą w przedziale określonym przez liczby
)
x
(
f
1
oraz
)
x
(
f
2
Mówimy, Ŝe funkcja ciągła osiąga wszystkie wartości pośrednie (między
)
x
(
f
1
i
)
x
(
f
2
).
Tw. (o ciągłości funkcji złoŜonej) JeŜeli funkcja
)
u
(
f
jest ciągła w punkcie
0
u oraz
)
x
(
g
jest ciągła
w punkcie
0
x przy czym
)
x
(
g
u
0
0
=
, to funkcja złoŜona
))
x
(
g
(
f
)
x
(
h
=
jest ciągła w punkcie
0
x
Tw.(o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej) Jeśli istnieje granica właściwa
g
)
x
(
g
lim
0
x
x
=
→
oraz
funkcja
)
u
(
f
jest
ciągła
w
punkcie
g
u
0
=
,
to
)
g
(
f
)
u
(
f
))
x
(
g
lim
(
f
))
x
(
g
(
f
lim
0
x
x
x
x
0
0
=
=
=
→
→
Twierdzenie powyŜsze mówi, Ŝe jeśli funkcja zewnętrzna jest ciągła a wewnętrzna ma granicę
skończoną w punkcie
0
x , to moŜna najpierw obliczyć granicę funkcji wewnętrznej i następnie
obliczyć wartość funkcji zewnętrznej w punkcie granicznym
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Def. JeŜeli
)
x
(
f
jest róŜnowartościowa w zbiorze X, to dla kaŜdego
0
y
naleŜącego do
f
P
[zbioru
wartość funkcji
)
x
(
f
] istnieje dokładnie jeden punkt
X
x
0
∈
, Ŝe
0
0
y
)
x
(
f
=
. ZaleŜność ta określa
funkcję zmiennej y w zbiorze
f
P
:
)
y
(
h
x =
Funkcja h(y) nazywana jest funkcją odwrotną do funkcji f(x). Funkcja odwrotna h(y) moŜe być
zapisana symbolem
)
x
(
f
1
−
(wykładnik (−1) nie oznacza potęgi).
Specjalną grupę funkcji odwrotnych stanowią funkcje cyklometryczne. Są to funkcje częściowo
odwrotne do funkcji trygonometrycznych. PoniewaŜ funkcje trygonometryczne nie są
róŜnowartościowe, to dobiera się przedziały, na których funkcje te są róŜnowartościowe.
f
f
P
1
,
1
y
D
2
,
2
x
,
x
sin
y
=
>
−
∈<
⇒
=
π
π
−
∈
=
h
h
P
2
,
2
x
D
1
,
1
y
,
y
sin
x
=
π
π
−
∈
⇒
=
>
−
∈<
=
arc
f
f
P
1
,
1
y
D
,
0
x
,
x
cos
y
=
>
−
∈<
⇒
=
>
π
∈<
=
h
h
P
,
0
x
D
1
,
1
y
,
x
=
>
π
∈<
⇒
=
>
−
∈<
=
arccos
f
f
P
)
,
(
y
D
2
,
2
x
,
tgx
y
=
∞
−∞
∈
⇒
=
π
π
−
∈
=
h
h
P
2
,
2
x
D
)
,
(
y
,
tgy
x
=
π
π
−
∈
⇒
=
∞
−∞
∈
=
arc
f
f
P
)
,
(
y
D
)
,
0
(
x
,
ctgx
y
=
∞
−∞
∈
⇒
=
π
∈
=
h
h
P
)
,
0
(
x
D
)
,
(
y
,
tgy
x
=
π
∈
⇒
=
∞
−∞
∈
=
arcc
Aby określić funkcję odwrotną naleŜy wyliczyć z zaleŜności
)
x
(
f
y =
zmienną x wykonując
obustronnie odpowiednie działanie (pierwiastkowanie, logarytmowanie itd.).
Funkcja odwrotna h(y) zachowuje podstawowe własności funkcji f(x) tzn. jeśli f(x) jest ciągła i
rosnąca (malejąca) w pewnym przedziale
>
<
2
1
x
,
x
, to funkcja odwrotna do niej h(y) jest teŜ ciągła i
rosnąca (malejąca) w odpowiednim przedziale
>
<
)
x
(
f
),
x
(
f
2
1
.
Def.Funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy ciągiem
)
n
(
f
a
n
=
Z
N
:
f
→
; gdy zbiór Z jest zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych, ciąg
n
a nazywamy ciągiem
liczbowym.
Dalej słowo ciąg oznacza ciąg liczbowy.
Wykresem ciągu (funkcji
)
n
(
f
) jest zbiór punktów izolowanych.
Monotoniczność ciągu a
n
jest tym samym co monotoniczność funkcji
)
n
(
f
. Mówimy, Ŝe ciąg jest
rosnący wtedy, gdy
k
n
N
k
,
n
a
a
k
n
>
⇒
>
∈
∧
[niemalejący:
k
n
a
a
k
n
≥
⇒
>
]
MoŜna równieŜ ciąg rosnący opisać następująco:
n
1
n
N
n
a
a
>
+
∈
∧
[niemalejący:
n
1
n
a
a
≥
+
]
Analogicznie ciąg malejący
n
1
n
N
n
a
a
<
+
∈
∧
[nierosnący:
n
1
n
a
a
≤
+
]
Def. (o granicy ciągu wg Cauchy) Liczbę g nazywamy granicą ciągu a
n
i piszemy
g
a
lim
n
n
=
∞
→
wtedy i
tylko wtedy, gdy
ε
<
−
>
∈
>
ε
∧
∨
∧
|
g
a
|
n
n
n
N
n
0
0
0
, tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu a
n
(tnz. Wszystkie
poza skończoną ilością) naleŜą do otoczenia liczby g o promieniu ε.
Def.(granicy ciągu według Heinego) Liczba g jest granicą ciągu a
n
wtedy i tylko wtedy, gdy kaŜdy
podciąg
i
k
a ciągu
n
a
ma granicę g.
Wniosek: JeŜeli ciąg a
n
posiada podciąg
1
k
a , dla którego
1
k
k
g
a
lim
1
=
∞
→
oraz podciąg
2
k
a
, dla którego
2
k
k
g
a
lim
2
=
∞
→
i
2
1
g
g ≠
, to ciąg a
n
nie ma granicy.
Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieŜny.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieŜnych)
JeŜeli
2
n
n
1
n
n
g
b
lim
,
g
a
lim
=
=
∞
→
∞
→
, to :
2
1
n
n
n
g
g
)
b
a
(
lim
m
m
=
∞
→
;
2
1
n
n
n
g
g
)
b
a
(
lim
⋅
=
⋅
∞
→
;
2
1
n
n
n
g
g
b
a
lim
=
∞
→
, gdy
0
b
n
≠
i
0
g
2
≠
Tw. (o trzech ciągach) Dane są ciągi takie, Ŝe
n
n
n
b
a
c
≤
≤
. JeŜeli istnieje
n
n
n
n
c
lim
g
b
lim
∞
→
∞
→
=
=
, to
g
a
lim
n
n
=
∞
→
.
Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach ilustruje następujący przykład
Obliczyć
5
n
2
n
sin
lim
2
n
+
∞
→
5
n
2
n
sin
a
2
n
+
=
, niech
5
n
2
1
b
2
n
+
=
,
5
n
2
1
c
2
n
+
−
=
;
5
n
2
1
5
n
2
n
sin
5
n
2
1
2
2
2
+
≤
+
≤
+
−
0
5
n
2
1
lim
5
n
2
1
lim
2
n
2
n
=
+
−
=
+
∞
→
∞
→
, więc
0
5
n
2
n
sin
lim
2
n
=
+
∞
→
__________________________________________________________________________________