Wykład drugi
Ciągi liczbowe
Def. 1.
Ciągiem liczbowym
(nieskończonym) nazywamy każdą funkcję a określoną na zbiorze
liczb naturalnych N o wartościach rzeczywistych. Wartość funkcji a(n) oznacza się przez a
n
i
nazywa n - tym wyrazem ciągu (a
n
).
Ciąg (a
n
) jest
1.
rosnący
, jeśli a
n
< a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n;
2.
niemalejący
, jeśli a
n
¬ a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n;
3.
malejący
, jeśli a
n
> a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n;
4.
nierosnący
, jeśli a
n
a
n+1
dla każdej liczby naturalnej n.
Ciąg (a
n
) jest
1.
ograniczony z góry
, jeśli ∃M ∈ R ∀n ∈ N [a
n
¬ M ];
2.
ograniczony z dołu
, jeśli ∃m ∈ R ∀n ∈ N [a
n
m];
3.
ograniczony
, jeśli jest ograniczony z dołu i z góry.
Def. 2. Liczba a ∈ R jest
granicą ciągu
liczbowego (a
n
) (ozn, lim
n→∞
a
n
= a), jeżeli
∀ > 0 ∃n
0
∈ N ∀n > n
0
|a
n
− a| <
Ciąg jest
zbieżny
, jeśli posiada granicę liczbową. Ciąg jest
rozbieżny
, jeśli zachodzi jeden z
warunków:
1. nie posiada granicy;
2. ∀M ∈ R ∃n
0
∈ N ∀n > n
0
a
n
> M - jest rozbieżny do +∞ (ozn. lim
n→∞
a
n
= +∞);
3. ∀m ∈ R ∃n
0
∈ N ∀n > n
0
a
n
< m - jest rozbieżny do −∞ (ozn. lim
n→∞
a
n
= −∞).
Twierdzenia o ciągach
1. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
2. Jeżeli lim
n→∞
a
n
= a, to lim
n→∞
|a
n
| = |a|. (implikacja w drugą stronę jest prawdziwa tylko dla
a = 0)
3. Jeżeli lim
n→∞
a
n
= a i lim
n→∞
b
n
= b oraz istnieje n
0
∈ N takie, że a
n
¬ b
n
dla n n
0
, to a ¬ b.
4. (tw. o 3 ciągach) Jeżeli lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a oraz istnieje n
0
∈ N takie,że a
n
¬ b
n
¬ c
n
dla n n
0
, to lim
n→∞
b
n
= a.
5. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
1
6. (tw. o działaniach arytmetycznych na granicach) Jeżeli lim
n→∞
a
n
= a i lim
n→∞
b
n
= b, to ciągi
(a
n
+ b
n
) , (a
n
− b
n
) , (a
n
b
n
) ,
a
n
b
n
b
n
6= 0 są zbieżne i
(a) lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = a + b
(b) lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = a − b
(c) lim
n→∞
(a
n
· b
n
) = a · b
(d) jeśli b 6= 0, to lim
n→∞
a
n
b
n
=
a
b
Znane granice
1. lim
n→∞
n
√
a = 1 , dla a > 0;
2. lim
n→∞
n
√
n = 1;
3. lim
n→∞
a
n
=
0
gdy |a| < 1
1
gdy a = 1
+∞
gdy a > 1
nie istnieje gdy a ¬ −1
4. lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e , lim
n→∞
1 −
1
n
n
=
1
e
Oznaczenia
O = (x
0
− δ ; x
0
+ δ) –
otoczenie
punktu x
0
∈ R o promieniu δ
S = (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ) –
sąsiedztwo
punktu x
0
∈ R o promieniu δ
(x
0
− δ ; x
0
) –
sąsiedztwo lewostronne
punktu x
0
∈ R
(x
0
; x
0
+ δ) –
sąsiedztwo prawostronne
punktu x
0
∈ R
δ - dowolnie mała liczba dodatnia.
Granica funkcji
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ).
Def. Liczba g jest
granicą
funkcji f w punkcie x
0
(ozn. lim
x→x
0
f (x) = g), jeśli spełniony jest jeden
z dwóch równoważnych warunków:
(1) ∀ > 0∃δ > 0 [|x − x
0
| < δ ⇒ |f (x) − g| < ] - def.Cauchy’go
(2) ∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → g)] – def.Heinego
Uwaga 1. Jeżeli istnieje ciąg (x
n
) taki, że (x
n
→ x
0
) ∧ (f (x
n
) → g
1
) ∧ g
1
6= g, to lim
x→x
0
f (x) 6= g.
Jeżeli istnieją dwa różne ciągi (x
0
n
), (x
”
n
) takie, że
(x
0
n
→ x
0
) ∧ (f (x
0
n
) → g
1
) i (x
”
n
→ x
0
) ∧ (f (x
”
n
) → g
2
) oraz g
1
6= g
2
,
2
y = sin(1/x)
w punkcie x = 0 nie
istnieje granica funkcji
-0.04
-0.02
0.02
X
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Y
to lim
x→x
0
f (x) nie istnieje.
Tw.1 ( działaniach arytmetycznych na granicach). Jeżeli funkcje f
1
,f
2
są określone na pewnym
sąsiedztwie punktu x
0
oraz lim
x→x
0
f
1
(x) = g
1
i lim
x→x
0
f
2
(x) = g
2
, to
1. lim
x→x
0
(f
1
(x) + f
2
(x) = g
1
+ g
2
,
2. lim
x→x
0
(f
1
(x) − f
2
(x) = g
1
− g
2
,
3. lim
x→x
0
f
1
(x) · f
2
(x) = g
1
· g
2
,
4. lim
x→x
0
f
1
(x)
f
2
(x)
=
g
1
g
2
, jeśli g
2
6= 0.
Tw.2 (O trzech funkcjach) Jeżeli w pewnym sąsiedztwie S punktu x
0
zachodzą nierówności
f (x) ¬ h(x) ¬ k(x) dla każdego x ∈ S oraz lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
k(x) = g, to lim
x→x
0
h(x) = g.
Tw.3 (O granicy funkcji złożonej) Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = g, f (x) 6= g dla x 6= x
0
oraz lim
y→g
h(y) = p,
to lim
x→x
0
h(f (x)) = p.
Def. Liczba g jest
granicą lewostronną
(odp.
granicą prawostronną
) funkcji f w punkcie x
0
,
(ozn. lim
x→x
−
0
f (x) = g, odp. lim
x→x
+
0
f (x) = g) jeśli
∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
< x
0
∧ x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → g)]
(odp.∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
> x
0
∧ x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → g)])
Tw.4 lim
x→x
0
f (x) = g ⇔ lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = g.
Uwaga 2. Twierdzenia (1)–(3) pozostają prawdziwe dla granic jednostronnych.
Ważne granice. lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a (lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1).
3
y = sinx/x dla x ¹ 0
y = 1 dla x = 0
-15
-10
-5
5
10
X
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Y
Granice niewłaściwe
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ).
Def. Funkcja f posiada w punkcie x
0
granicę niewłaściwą +∞ (odp.−∞) (ozn. lim
x→x
0
f (x) = +∞,
odp. lim
x→x
0
f (x) = −∞), jeśli
∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → +∞)]
odp.∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → −∞)]
Granice w nieskończoności
Def. Funkcja f posiada w +∞ granicę g, jeśli
∀(x
n
) ⊂ D
f
[(x
n
→ +∞) ⇒ (f (x
n
) → g)]. (ozn. lim
x→+∞
f (x) = g)
Podobnie definiuje się granice w −∞ (właściwe i niewłaściwe).
Uwaga 3. Twierdzenia (1)–(3) pozostają prawdziwe dla granic w nieskończoności.
Ważne granice. lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= lim
x→−∞
1 +
1
x
x
= e, lim
x→+∞
1 −
1
x
x
=
1
e
.
Symbole nieoznaczone
0
0
,
∞
∞
, ∞ − ∞ , 0 · ∞ , 0
0
, ∞
0
, 1
∞
4