Wykład 27
Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) światła odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu
się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).
Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnela jest następująca.
S
B
C
P
a)
Fala ze źródła
S
pada na szczelinę
B
i przechodzące przez otwór pada na ekran
C
.
Natężenie w punkcie
P
można obliczyć dodając do siebie wszystkie wektory falowe E
pochodzące od wszystkich punktów szczeliny. Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i
fazy ponieważ: a) elementarne oscylatory Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych
odległościach od punktu P; b) światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami. Sytuacja gdy
fale opuszczające otwór nie są falami płaskimi pojawia się gdy źródło fal
S
i ekran
C
, na
którym powstaje obraz znajdują się w skończonej odległości od ekranu ze szczeliną
B
. Taki
przypadek nosi nazwę dyfrakcji Fresnela. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji są
trudniejsze.
do bardzo
odległego
ekranu
z bardzo
odległęgo
źródła
b)
θ
B
348
Całość upraszcza się, gdy źródło
S
i ekran
C
odsuniemy na bardzo duże odległości od
otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera. Czoła fal
padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to widać na
rysunku (b). Wszystkie promienie oświetlające punkt
P
opuszczają otwór równolegle do linii
przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki dyfrakcji Fraunhofera były z
założenia spełnione w doświadczeniu Younga.
Dyfrakcja Fraunhofera na pojedynczej szczelinie
Rozważmy falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości
a
. Rozpatrzmy
punkt środkowy
0
P ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego punktu te same drogi
optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość długości fal (rozważane
soczewki są cienkie).
P
0
f
B
a
C
Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fazie to po przebyciu takich samych dróg
optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego w środkowym punkcie
0
P będzie
maksimum.
Rozpatrzmy teraz inny punkt
1
P na ekranie (rysunek obok). Promienie docierające do
1
P wychodzą ze szczeliny pod kątem
θ
. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a drugi
w jej środku. (Promień
1
xP przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany).
Jeżeli wybierzemy punkt
1
P tak, żeby różnica dróg
/
bb wynosiła
2
/
λ
, to promienie
zgodne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie
1
P fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie
każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z
odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości
2
/
a
poniżej. Punkt
1
P
349
będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to
minimum ma następującą postać
λ
θ
2
1
sin
2
1
=
a
,
czyli
λ
θ
=
sin
a
.
Gdyby szerokość szczeliny była równa
λ
wtedy pierwsze minimum pojawiłoby się dla
θ
= 90
°
czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerzania szczeliny
środkowe maksimum staje się węższe. Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu
punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w
postaci
a
θ
θ
b
’
b
λ
/2
x
P
1
P
0
λ
θ
m
a
=
sin
,
,
3
,
2
,
1
=
m
(minimum) (27.1)
Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście
maksima natężenia.
350
Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhoffa w przybliżeniu Fraunhofera
Sformułowanie podstaw koncepcyjnych potrzebnych do rozpatrywania zjawisk
dyfrakcji na pojedynczych otworach o różnych kształtach zawdzięczamy Huyghensowi,
Fresnelowi i Kirchhoffowi. Rozważymy, dla uproszczenia, przypadek pojedynczego otworu o
dowolnym kształcie, pokazany na rysunku.
Fala świetlna dochodząca do punktu
P
będzie superpozycją wtórnych fal emitowanych
przez fikcyjne oscylatory Huyghensa rozłożone w otworze i wzbudzane przez falę pierwotną
emitowaną przez źródło
S
. Zakładamy, że spełniony jest warunek Fraunhofera, zatem dwa
promienie dochodzące z
S
do otworu są do siebie równoległe (czyli że fala wychodząca z
S
jest w przybliżeniu falą płaską).
Przyjmijmy, że monochromatyczna fala płaska dochodząca do otworu może być
opisana w środku otworu wzorem:
)]
(
exp[
)
0
(
10
0
t
kR
i
E
E
S
ω
−
⋅
=
. (27.2)
Do punktu
x
otworu, znajdującego się wyżej środka otworu, fala płaska dochodzi wcześniej i
ma zatem fazę (
t
kx
kR
ω
θ −
⋅
−
1
10
sin
):
)]
sin
(
exp[
)
,
(
1
10
0
0
t
kx
kR
i
E
t
x
E
ω
θ −
⋅
−
⋅
=
. (27.3)
Dla fali dochodzącej do punktu otworu o współrzędnych
)
,
( y
x
możemy zapisać
]
)
sin
sin
(
exp[
)
,
,
(
1
1
10
0
0
t
i
y
x
R
ik
E
t
y
x
E
ω
φ
θ
−
⋅
−
⋅
−
⋅
=
. (27.4)
Ze wzoru (27.4) wynika, że oscylatory Huyghensa rozłożone wzdłuż osi
x
i
y
w otworze
będą wzbudzane z różnymi fazami i, w związku z tym, wypromieniują fale wtórne, które także
351
będzie miały odpowiednio przesunięte fazy.
Za otworem wypromieniowana w kierunku określonym kątami (
2
2
,
θ
φ
) fala wynosi
]
)
sin
sin
sin
sin
(
exp[
)]
sin
sin
(
exp[
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
2
1
20
10
0
2
2
20
0
t
i
y
y
x
x
R
R
ik
E
y
x
R
ik
t
y
x
E
t
y
x
E
S
ω
φ
φ
θ
θ
φ
θ
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
+
⋅
=
=
⋅
−
⋅
−
⋅
=
, (27.5)
gdzie kąty
1
φ
i
2
φ
odgrywają podobną rolę jak kąty
1
θ
i
2
θ
; mianowicie ustalają położenia
kątowe źródła
S
i punktu obserwacyjnego
P
(patrz rysunek).
Wypromieniowane elementem powierzchni
dxdy
dS
=
otworu fali będą mieli
wypadkową amplitudę
dS
t
y
x
E
t
y
x
dE
S
S
⋅
=
)
,
,
(
)
,
,
(
. (27.6)
Całkowite pole fali świetlnej w punkcie
P
będzie dane całką
∫
∫
⋅
=
=
S
S
S
S
S
dS
t
y
x
E
t
y
x
dE
P
E
)
,
,
(
)
,
,
(
)
(
(27.7)
po całej powierzchni otworu, która jest często nazywana całką dyfrakcyjną (wzorem
dyfrakcyjnym) Fresnela-Kirchhoffa.
Wprowadźmy funkcję:
352
=
.
,
,
0
.
,
,
1
)
,
(
otwor
poza
y
x
dla
otworu
wewn
y
x
dla
y
x
T
, (27.8)
całkę dyfrakcyjną Fresnela- Kirchhoffa możemy zapisać w postaci
(
)
[
]
(
)
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
+
+
+
−
−
+
⋅
=
dxdy
y
x
T
e
e
E
P
E
y
x
ik
t
R
R
k
i
S
)
,
(
)
(
)]
sin
(sin
sin
sin
[
0
2
1
2
1
20
10
φ
φ
θ
θ
ω
. (27.9)
Warto zwrócić uwagę na specjalny punkt
0
P , taki że
1
2
θ
θ
−
=
i
1
2
φ
φ
−
=
. Punkt
0
P będzie
leżał na prostej przechodzącej przez
S
i początek układu
O
, który znajduje się w płaszczyźnie
otworu. Dla punktu
0
P ze wzoru (27.9) mamy
(
)
[
]
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
−
+
=
dxdy
y
x
T
e
E
P
E
t
R
R
k
i
S
)
,
(
)
(
20
10
0
0
ω
. (27.10)
Biorąc pod uwagę (27.10), wzór (27.9) możemy zapisać w postaci
)
(
)
(
)
(
0
P
G
P
E
P
E
S
S
S
⋅
=
, (27.11)
gdzie
.
Najbardziej interesuje nas natężenie światła w punkcie
P
, które, po uwzględnieniu
(27.11) na pole fali świetlnej wyrazi się następującym wzorem:
2
0
)
(
)
(
)
(
P
G
P
I
P
I
S
S
S
⋅
=
, (27.12)
gdzie
)
(
)
(
)
(
0
0
0
P
E
P
E
P
I
S
S
S
∗
=
.
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym
Jako przykład wyliczenia całki Fresnela-Kirchhoffa rozpatrzymy otwór prostokątny o
wymiarach
b
a
×
, pokazany na rysunku niżej. Oznaczmy:
353
∫ ∫
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
+
+
+
−
⋅
⋅
=
dxdy
y
x
T
dxdy
e
y
x
T
P
G
y
x
ik
S
)
,
(
)
,
(
)
(
]
sin
(sin
)
sin
(sin
[
2
1
2
1
φ
φ
θ
θ
)
sin
(sin
2
1
θ
θ
λ
α
+
=
a
,
)
sin
(sin
2
1
φ
φ
λ
β
+
=
b
.
Wówczas podwójna całka
)
(P
G
S
przyjmuje postać:
dy
e
dx
e
ab
P
G
b
b
b
y
i
a
a
a
x
i
S
∫
∫
−
−
−
−
=
2
/
2
/
)
/
(
2
2
/
2
/
)
/
(
2
1
)
(
πβ
πα
. (27.13)
Każda z pojedynczych całek daje się łatwo scałkować; zrobimy to dla jednej z nich:
( )
πα
πα
πα
πα
πα
sin
2
2
/
2
/
)
/
(
2
2
/
2
/
)
/
(
2
⋅
=
−
=
−
−
−
−
∫
a
e
i
a
dx
e
a
a
a
x
i
a
a
a
x
i
.
Podobnie będzie z drugą całką, a zatem ostatecznie mamy:
( )
πβ
πβ
πα
πα
)
sin(
sin
)
(
⋅
=
P
G
S
.
Natężenie światła w punkcie obserwacji
P
będzie równe:
( )
2
2
2
2
0
)
(
)
(
sin
)
(
sin
)
(
)
(
πβ
πβ
πα
πα ⋅
⋅
=
P
I
P
I
S
S
. (27.14)
Jedna z dwóch funkcji typu
2
2
/
sin
x
x
występujących w powyższym wzorze jest pokazana na
rysunku. Wszystkie zera pokazanej funkcji odpowiadają zerom funkcji
x
sin
, a zatem ciemne
miejsca na ekranie odpowiadają wartości parametru
α
(dla drugiej funkcji będzie to parametr
β
) równej
,
2
,
1
±
±
itd.
354
Maksymalną wartość funkcji
2
2
)
/(
sin
πα
πα
otrzymujemy w punkcie
0
=
α
. Natężenie w
każdym punkcie ekranu, zgodnie z (27.14) jest iloczynem dwóch takich funkcji, obraz nie
będzie się zatem składał z prążków, tylko z “plam” występujących w punktach przecięciach
“jasnych prążków” odpowiadających kolejnym maksimom obu omawianych funkcji.
Największe natężenia wystąpią zatem w tych “plamach” dla których oba parametry
α
i
β
będą równe zero (zobaczymy zatem charakterystyczny krzyż).
W przypadku wąskiej szczeliny (
a
b
<<
) ze wzoru (27.14) przy
0
→
β
otrzymujemy
( )
2
2
0
2
2
0
)
/
sin
(
)
/
sin
(
sin
)
(
)
(
sin
)
(
)
(
λ
θ
π
λ
θ
π
πα
πα
a
a
P
I
P
I
P
I
S
S
S
⋅
=
⋅
=
. (27.14)
Tu założyliśmy, że
0
1
=
θ
czyli czoło fali padającej jest równoległe do płaszczyzny xOy i
2
θ
θ ≡
.
Graficzna konstrukcja Fresnela
Wyliczenie całki dyfrakcyjnej Fresnela- Kirchhoffa nie zawsze jest tak łatwe.
Rozważmy inną graficzną metodę, zaproponowaną przez Fresnela. Ta metoda czasami daje
możliwość łatwo znaleźć dyfrakcyjny albo interferencyjny obraz. Metodę Fresnela zilustrujemy
najpierw rozważając doświadczenie Younga dotyczące interferencji fal pochodzących od
dwóch szczelin.
Aby wyliczyć wypadkowe natężenie światła w doświadczeniu Younga dodawaliśmy
dwa zaburzenia falowe postaci
t
E
E
ω
sin
0
1
⋅
=
,
)
sin(
0
2
ϕ
ω ∆
+
⋅
=
t
E
E
, które miały tę samą
częstość i amplitudę, a różniły się fazą o
ϕ
∆
.
355
E
2
E
1
E
1
E
0
E
0
E
0
ω
t
ω
t
ϕ
∆
Wynik uzyskany został algebraicznie na podstawie prostych wzorów
trygonometrycznych. Jednak metody analityczne stają się znacznie trudniejsze gdy dodajemy
więcej zaburzeń falowych (funkcji typu
x
x cos
,
sin
) i dlatego Fresnel wprowadził następującą
prostą metodę graficzną.
E
2
E
1
E
0
E
0
ω
t
ϕ
∆
E
θ
Harmoniczne (sinusoidalne albo cosinusoidalne) zaburzenie falowe może być
przedstawione graficznie jako obracający się z prędkością kątową
ω
wektor, którego długość
reprezentuje amplitudę
0
E . Taki wektor będziemy nazywać strzałką fazową (wskazem).
Zmienne w czasie zaburzenie falowe
t
E
E
ω
sin
0
1
⋅
=
w chwili t przedstawione jest wtedy
przez rzut tej „strzałki” na oś pionową (odpowiada to oczywiście pomnożeniu
0
E przez
t
ω
sin
). Drugie zaburzenie falowe
)
sin(
0
2
ϕ
ω ∆
+
⋅
=
t
E
E
, o tej samej amplitudzie
0
E , różni
się od
1
E fazą
ϕ
∆
. Znajdujemy je podobnie jako rzut „strzałki” na oś pionową. Teraz
356
wystarczy dodać
1
E i
2
E żeby otrzymać wypadkowe zaburzenie. Widać to jeszcze lepiej gdy
umieści się początek jednej strzałki na końcu poprzedniej zachowując różnicę faz (rysunek
obok).
Jako przykład zastosowania metody graficznej Fresnela rozważmy dyfrakcję na wąskiej
szczelinie. Podzielmy szczelinę o szerokości
a
na
N
pasków o małej szerokości
x
∆
. Każdy
pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie określone zaburzenie
falowe. Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi
θ
sin
⋅
∆
≡
∆
x
r
stąd różnica faz
ϕ
∆
pomiędzy falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi
θ
ϕ
sin
⋅
∆
⋅
=
∆
⋅
=
∆
x
k
r
k
, czyli
θ
λ
π
ϕ
sin
2
x
∆
=
∆
. (27.15)
a
θ
θ
∆
x sin
θ
B
C
P
P
0
•
Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę samą
drogę optyczną do punktu
P
.
•
Dla małych kątów
θ
amplitudy
0
E
∆
zaburzeń falowych w punkcie
P
pochodzące od
różnych pasków przyjmujemy za jednakowe.
Zatem w puncie
P
dodaje się
N
pól elektrycznych o tej samej amplitudzie
0
E
∆
, tej samej
częstości i tej samej różnicy faz
φ
∆
między kolejnymi wektorami.
Na rysunku niżej przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych miejsc
na ekranie. Rys.(a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (
0
0
=
∆
ϕ
). Rys.(b) przed
357
stawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum środkowego(
0
5
=
∆
ϕ
). Rys.(c)
przedstawia warunki dla pierwszego minimum (
0
30
=
∆
ϕ
). Rys.(d) przedstawia warunki
bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym) (
0
42
=
∆
ϕ
).
Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa
M
E ale amplituda
θ
E jest różna.
Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natężenia
trzeba je podnieść do kwadratu.
E
θ
=
E
M
E
θ
E
θ
E
θ
E
θ
= 0
a)
b)
c)
d)
Na rysunku niżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia światła
w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej na poprzednim
rysunku (b).
R
R
E
m
E
m
E
θ
α
α
ϕ
ϕ
358
Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości
dx
to
łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu
R
. Długość łuku wynosi
m
E czyli równa jest
amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt
ϕ
w dolnej części
rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku tzn.
ϕ
jest różnicą faz
pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny. Jak widać z rysunku
R
E
/
)
2
/
(
)
2
/
sin(
θ
ϕ
=
, czyli
2
sin
2
ϕ
θ
⋅
=
R
E
(27.16)
W mierze łukowej
R
E
m
=
ϕ
. Podstawiając
ϕ
m
E
R
=
do równania (27.16) otrzymujemy
α
α
θ
sin
m
E
E
=
, (27.17)
gdzie
2
/
ϕ
α =
.
Przypomnijmy, że kąt
ϕ
jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców
szczeliny. Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi (
θ
sin
⋅
a
), gdzie
a
- szerokość
szczeliny, posługując się znanym związkiem
różnica faz / 2
π
= różnica dróg /
λ
otrzymujemy
θ
λ
π
ϕ
sin
2 a
=
. Skąd
θ
λ
π
ϕ
α
sin
2
a
=
=
(27.18)
Biorąc pod uwagę wzory (27.17) i (27.18) znajdujemy następujący wzór na natężenie światła
dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie w kierunku określonym przez kąt
θ
:
( )
2
2
2
2
)
/
sin
(
)
/
sin
(
sin
)
(
sin
)
(
λ
θ
π
λ
θ
π
α
α
θ
a
a
I
I
P
I
m
m
⋅
=
⋅
=
. (27.19)
Jest to wynik całkowicie zgodny z uzyskanym poprzednio rozważaniem ilościowym (patrz
(27.14)).
359
Interferencja Fraunhofera na N jednakowych,
równoodległych otworach (szczelinach)
Na rysunku niżej jest pokazany układ, składający się z 6 otworów (szczelin)
oświetlonych wiązką światła padającego prostopadle do ekranu (wiązki padającej nie
pokazano). Ponieważ fala padająca dociera do wszystkich otworów w tej samej chwili czasu,
różnica dróg dla fal rozchodzących się z sąsiednich otworów w stronę punktu
P
leżącego
daleko na ekranie obserwacyjnym, pokazana na rysunku niżej dla otworów 1 i 2, będzie równa
(
θ
sin
⋅
a
). A zatem, jeżeli falę świetlną w punkcie
P
, pochodzącą od otworu 1, przedstawimy
w postaci:
)]
(
exp[
1
0
1
t
kr
i
E
E
ω
−
⋅
=
, (27.20)
to falę świetlną w punkcie
P
, pochodzącą od otworu 2 można zapisać w następujący sposób:
)]
sin
(
exp[
1
0
2
t
ka
kr
i
E
E
ω
θ −
⋅
+
⋅
=
. (27.21)
Zatem falę świetlną w punkcie
P
, pochodzącą od
n
-tego otworu można przedstawić w
następujący sposób:
360
)
sin
exp(
)]
sin
)
1
(
(
exp[
1
1
0
θ
ω
θ
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
=
−
ika
E
t
n
ka
kr
i
E
E
n
n
, (27.22)
a całkowitą, wypadkową falę świetlną w punkcie
P
od
N
otworów będzie reprezentować
następująca suma:
∑
∑
=
=
⋅
−
⋅
=
=
N
n
N
n
n
n
ika
E
E
P
E
1
1
1
]
sin
)
1
(
exp[
)
(
θ
. (27.23)
Korzystając ze wzoru
b
b
b
b
b
b
N
N
N
n
n
−
−
=
+
+
+
+
=
−
=
−
∑
1
1
1
1
2
1
1
.
wzór (27.23) możemy zapisać w postaci (tu
)
2
exp(
)
sin
exp(
δ
π
θ
⋅
≡
⋅
=
i
ika
b
;
λ
θ
δ
/
sin
⋅
=
a
):
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
N
n
n
i
E
P
E
1
1
]
)
1
(
2
exp[
)
(
δ
π
(
)
( )
πδ
δ
π
δ
π
πδ
πδ
δ
π
δ
π
πδ
δ
π
πδ
δ
π
sin
sin
1
1
)
1
(
1
1
2
2
1
N
e
E
e
e
e
e
e
e
E
e
e
E
N
i
i
i
N
i
N
i
i
N
i
i
N
i
⋅
⋅
=
−
−
⋅
⋅
=
−
−
=
−
−
−
. (27.24)
Natężenie fali świetlnej w punkcie
P
będzie zatem równe:
(
)
2
1
2
2
1
1
2
)
(
)
(
sin
)
(
sin
)
(
)
(
F
P
I
N
E
E
P
E
P
I
⋅
≡
⋅
⋅
=
∝
∗
πδ
δ
π
, (27.25)
gdzie funkcja
)
(
1
P
I
opisuje rozkład natężenia światła (punkt
P
jest punktem bieżącym na
ekranie obserwacyjnym), a zatem będzie zawierać efekty dyfrakcyjne, natomiast drugi czynnik,
2
F , to czynnik interferencyjny, związany z nakładaniem się światła ugiętego na wszystkich
otworach.
Na rysunku (a) niżej są przedstawione dwie funkcje
)
(
sin
2
δ
π
N
i
)
(
sin
2
πδ
tworzące
czynnik interferencyjny dla układu 10 równoodległych i jednakowych otworów
rozmieszczonych na osi
Ox
. Na rysunku (b) przedstawiono ich iloraz. b), będzie także
okresowa z okresem zmiennej δ równym jeden. Dla
δ
całkowitych (
m
=
δ
;
,
2
,
1
,
0
±
±
=
m
itd.) wyrażenie
361
)
(
sin
)
(
sin
2
2
2
πδ
δ
π
N
F
=
, (27.26)
jest nieoznaczone (typu
0
/
0
). Przy
0
→
δ
ze wzoru (27.26) otrzymujemy:
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
)
(
sin
)
(
sin
N
N
N
F
=
≈
=
πδ
δ
π
πδ
δ
π
. (27.27)
Łatwo wykazać, że dla innych
δ
całkowitych, ze względu na okresowość funkcji, wartości
2
F muszą być takie same i równe
2
N . Będą to wartości maksymalne, a odpowiadające im
prążki jasne będziemy nazywali prążkami głównymi. Inne lokalne maksima funkcji
2
F
odpowiadać będą maksimom funkcji
)
(
sin
2
δ
π
N
(a nie jej zerom, jak w przypadku maksimów
głównych), a ich wartości będą znacznie mniejsze. Będą one odpowiadały tak zwanym jasnym
prążkom bocznym albo wtórnym, a będzie ich, pomiędzy prążkami głównymi,
2
−
N
. Prążki
jasne rozdzielone są prążkami ciemnymi, których będzie, pomiędzy dwoma kolejnymi prążkami
głównymi,
1
−
N
.
Siatki dyfrakcyjne
Własności układu wielu równoległych i równoodległych szczelin zostały wykorzystane
w tzw siatkach dyfrakcyjnych, które umożliwiają jeden z najdokładniejszych pomiarów
(długości fali światła) rutynowo wykonywanych przez fizyków pracujących w wielu różnych
działach fizyki. Pierwsze siatki dyfrakcyjne zostały wykonane przez Fraunhofera już w 1820
roku. Podstawowy rodzaj siatki dyfrakcyjnej, to tzw. siatka odbiciowa pokazana na rysunku
362
niżej. Ponieważ wiązka światła ze źródła
S
nie pada na siatkę prostopadle (tylko pod kątem
1
θ
) różnica faz dla fal ugiętych na sąsiednich otworach będzie składała się z dwóch podobnych
wyrazów. Zatem maksima główne siatki dyfrakcyjnej tego typu muszą spełniać następujący
warunek (patrz wzór (27.26)):
(
)
m
a
a
r
k
=
Φ
⋅
=
+
⋅
=
∆
⋅
=
∆
=
λ
θ
θ
λ
π
π
ϕ
δ
2
1
sin
sin
2
2
, (27.28)
gdzie
(
)
2
1
sin
sin
θ
θ +
=
Φ
i
,
2
,
1
,
0
±
±
=
m
. Dla ustalonego kąta padania
1
θ
, dla każdego
rzędu siatki
m
będziemy mieli wobec tego wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie
pomiędzy kątem
2
θ
i długością fali
λ
. A zatem pomiar długości fali można sprowadzić do
pomiaru położenia odpowiedniego prążka, który może być wykonany bardzo dokładnie. W
praktyce robi to się najczęściej nieco inaczej; przy ustalonych kierunkach do punktów
P
i
S
(których rolę grają szczeliny wyjściowa i wejściowa spektrometru), obracamy całą siatką i
mierzymy jej kąt obrotu. Przyrządy takie często nazywa się monochromatorami.
Kryterium Rayleigha
Bardzo ważną sprawą w przypadku przyrządów takich jakich monochromatory czy
spektrografy jest ich rozdzielczość spektralna, tzn zdolność rozróżnienia dwóch bliskich
długości fali. Rozważmy ten problem na przykładzie omawianej wyżej odbiciowej siatki
dyfrakcyjnej. Zgodnie z kryterium Rayleigha, dwa prążki główne, odpowiadające różnym
363
długościom fali
1
λ
i
2
λ
można rozróżnić, gdy maksimum pierwszego przypada nie bliżej niż
na pierwszy minimum drugiego.
Na rysunku pokazano rozkład natężeń dla którego, zgodnie z tzw kryterium Rayleigha,
można jeszcze rozróżnić dwie bliskie długości fali,
1
λ
i
2
λ
. Kryterium to jest oczywiście
trochę arbitralne, ale jest to w tej sytuacji nieuniknione. Pierwsze, najbliższe do głównego
maksimum (27.28), minima dla długości fali
λ
wypadają, zgodnie z (27.26), dla
N
m
/
1
±
=
δ
,
a zatem:
N
m
a
1
2
min
±
=
Φ
⋅
=
λ
δ
. (27.29)
Ze wzorów (27.28) i (27.29) znajdujemy
N
a
a
1
)
(
2
1
min
max
=
∆Φ
⋅
=
Φ
−
Φ
⋅
=
−
λ
λ
δ
δ
. (27.30)
Tu zgodnie z (27.28)
m
a
=
Φ
=
λ
δ
/
1
max
.
Z drugiej zaś strony, ze wzoru (27.28) otrzymujemy następujący ogólny związek
pomiędzy długością fali
λ
i wielkością
Φ
:
m
a /
Φ
=
λ
. Skąd
∆Φ
⋅
=
∆
m
a
λ
. (27.31)
Zestawiając razem wzory (27.30) i (27.31) otrzymujemy ostatecznie wyrażenie na najmniejszą
możliwą różnicę długości fali:
364
mN
aN
m
a
m
a
λ
λ
λ
=
⋅
=
∆Φ
⋅
=
∆
(27.32)
lub też, w innej, bardziej przyjętej postaci:
N
m
⋅
=
=
∆
R
λ
λ
, (27.33)
gdzie
R
nazywa się zdolnością rozdzielczą.
365