EGZAMIN PODSTAWY ROBOTYKI 2 – 2010

1. Podać definicje modelu dynamiki różniczkowego oraz całkowego w postaci

ogólnej oraz związek, który pomiędzy nimi występuje. [opracowane na podstawie:
„Modelowanie i sterowanie robotów”- Kozłowski, Dutkiewicz, Wróblewski]

• model różnicowy

Ogólna postać modelu matematycznego z wykorzystaniem Lagrangianu jest
następująca:

)

(

)

(

)

(

gdzie: - M(q) – jest dodatnio określoną macierzą mas manipulatora, macierz ta

grupuje właściwości masowe manipulatora;

)

(

& - jest wektorem momentów sił dośrodkowych i Coriolisa;

)

- jest N-wymiarowym wektorem momentów sił związanych z

grawitacją, przy czym:

)

(

;

τ - wektor reprezentujący momenty sił niepotencjalnych przyłożonych do
układu;

Zwróćmy uwagę na fakt, że momenty sił interakcji

)

(

wynikają z elementów

leżących po za diagonalą macierzy mas, natomiast elementy macierzy

)

(

& spełniają następujące równanie:

∑∑

∑













∂

−

∂

Często różnicowy model matematyczny zapisujemy w postaci:

(

)

gdzie: - D – jest macierzą o wymiarach N

×12N;

– jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;

• model całkowy

Model całkowy wynika z twierdzenia o energii z klasycznej mechaniki analitycznej:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

−

∫

gdzie:

- τ - jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;
-

( )

(

)

– jest sumą całkowitych energii kinetycznej

potencjalnej w chwili t;

Całkę występującą po prawej stronie równania można zapisać w postaci:

∫

dlX

gdzie:

- dl – jest wektorem zależnym od wektorów położeń i prędkości uogólnionych;
-

- jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;

Dla przedstawionego powyżej robota mobilnego dwukołowego o napędzie różnicowym
ogólne równania dynamiki przyjmują postać:

( )

(

)

( )

−

gdzie:

( )

- określają siły reakcji układu;

( )

- macierz transformacji sygnału wejściowego;

(

)

- macierz oddziaływań;

( )

- macierz mas;

- jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;

Powyższą zależność otrzymano przy założeniu, że robot porusza się po terenie płaskim
(Epc=0; L=Ekc), co wyeliminowało element g(q) podawany przez inne źródła.

Eliminujemy mnożniki Lagrange korzystając z własności:

( ) ( )

⇔

Po obustronnym pomnożeniu powyższego równania przez macierz:

( )

oraz

uwzględnieniu zależności

( )

oraz własności macierzy A(q) i S(q)

otrzymujemy równanie:

( ) ( ) ( )

( )

(

) ( )

[

]

( ) ( )

(

które zapisujemy w postaci:

( )

(

)

( )

3. Dla robota dwukołowego przedstawionego na rysunku podać warunki istnienia

poślizgu wzdłużnego oraz poprzecznego. Warunki holonomiczne oraz
nieholonomiczne podać w formie Pfaffa. Podać stosowne wyprowadzenia. Punkt C
jest środkiem masy pojazdu. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf]

W tym zadaniu robot jest zaopatrzony w dwa niezależne napędy

& i

& . Punkt C jest

rodkiem masy, punkt P – środkiem geometrycznym. Możemy zapisać równania zależności:

( )
( )

sin

cos

Równania różniczkujemy po czasie:

( )

−

cos

sin

Pierwsze równanie mnożymy razy –sin(

)

, drugie razy cos(

następnie dodajemy je do

siebie stronami:

( )

(

)

( )

−

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi poprzecznej robota:
Wszystkie rzuty prędkości na oś Y

muszą się równoważyć. Otrzymane składowe:

(

)

( )

−

cos

sin

cos

Ostatnia składowa wynika z prędkości kątowej.

( )

cos

sin

−

Powyższe równanie jest niecałkowalne po czasie, zatem jest to ograniczenie
nieholonomiczne.

Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi podłużnej robota:
Uwzględniamy rzuty prędkości

& i

& na oś X

( )

(

)

( )

−

sin

cos

Ponadto dla koła prawego uwzględniamy prędkość postępową i prędkość wynikającą z obrotu
kół wokół środka. Warunek dla koła prawego:

( )

sin

cos

−

Postępujemy analogicznie dla lewego koła i otrzymujemy warunek dla koła lewego:

( )

sin

cos

−

Obydwa warunki są niecałkowalne po czasie, a więc są to również ograniczenia
nieholonomiczne.

Przedstawienie uzyskanych ograniczeń w postaci Pfaffa:

( )

Wektor współrzędnych konfiguracyjnych q=[x

( )













−

sin

cos

sin

cos

sin

Macierz zawiera 3 warunki nieholonomiczne. Można przekształcić uzyskane ograniczenia,
aby uzyskać ograniczenia holonomiczne.

Równania opisujące warunki braku poślizgu podłużnego można przekształcić do całkowalnej
postaci:

(

)

−

które prowadzi do uzyskania nowej macierzy:

( )













−

sin

cos

sin

Macierz zawiera 2 warunki nieholonomiczne i jeden holonomiczny.

4. Wykazać, że warunek prędkościowy poślizgu poprzecznego przy jeździe na wprost

ze stałą prędkością v dla robota mobilnego z mechanizmem różnicowym ma
charakter warunku holonomicznego. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf i
tego co w mojej głowie(!więc mogą być bzdury!)]

Ponieważ robot porusza się na wprost, ze stałą prędkością, należy poczynić pewne założenia:

const

Następnie należy przeprowadzić rozumowanie analogiczne do poprzedniego punktu z
uwzględnieniem w/w założeń.

( )
( )

sin

cos

Równania różniczkujemy po czasie:

Warunek na brak poślizgu poprzecznego: rzuty wszystkich prędkości na oś Y

równoważą

się. Otrzymane składowe:

( )

sin

cos

Brakuje występującej w poprzednim zadaniu składowej wynikającej z prędkości obrotowej,
ponieważ ruch jest prostoliniowy,

ω=0. Warunek braku poślizgu poprzecznego:

( )

sin

cos

−

Powyższe wyrażenie jest całkowalne po czasie, ponieważ kąt Θ jest stały, funkcje cos(Θ) i
sin(

Θ) są stałymi współczynnikami. Całka z powyższego równania wynosi:

( )

sin

cos

a więc jest to ograniczenie całkowalne, holonomiczne.

5. Sformułować zadanie pasywności dla układu mechanicznego. [opracowane na

podstawie: forum i wykłady z PR2 z 2010 roku]

Wszystkie układy mechaniczne, w których nie ma dysypacji energii (nie występuje tarcie)
spełniają zasadę pasywności.

Całka z iloczynu sił uogólnionych i prędkości uogólnionych jest równa różnicy energii
całkowitej układu w chwili t i energii całkowitej układu w chwili zerowej.

(

) (

)

∫

−

)

(

)

(

)

(

)

(

Suma energii całkowitej i potencjalnej to funkcja Lapunowa w układzie mechanicznym.

)

(

)

(

−

≥

−

∫

Zasada pasywności układów mechanicznych:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

≥

−

⇒

∫

Interpretacja zasady pasywności układów mechanicznych: ponieważ energia kinetyczna Ek
jest niezależna od wyboru układu współrzędnych, możemy dowolnie dobierać układ
odniesienia, w którym liczymy energię potencjalną.

Energię kinetyczną opisuje zależność:

( )

(

)

. Znając macierz mas dysponujemy

pełną informacją o układzie. Wszystkie składniki związane z siłami Coriolisa i siłami
odśrodkowymi wynikają z macierzy mas. Oddzielnie występuje pochodna Ep względem
współrzędnych uogólnionych, czyli gradient energii potencjalnych względem wektora
współrzędnych uogólnionych.

6. Podać równania Lagrange’a dla manipulatora o N stopniach swobody oraz podać

właściwości każdego występującego w nim elementu z punktu widzenia sterowania.

Manipulator o N stopniach swobody:

Równania Lagrange’a dla manipulatora o N stopniach swobody:

∂

−













∂

, i =1, 2, ... n

Elementy Lagrangianu:

L(q) = Ek(q, q’, t)- Ep(q, q’, t)

– jest funkcją Lagrange’a opisującą dany

układ;

∂

- siła uogólniona;

∂

- pęd uogólniony;

τ - jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;

Równania Lagrange’a otrzymujemy z

zasady najmniejszego działania

i dla znanej funkcji

Lagrange'a są one układem n

równań różniczkowych zwyczajnych

na funkcje q

(t).

Właściwości elementów lagrangianu z pktu widzenia sterowania:

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

7. Zasada d’Alamberta. [opracowane na podstawie: „Mechanika ogólna-dynamika”

Mendzel]

Zasada d’Alamberta (zasada równowagi kineostatycznej opisującej ruch punktu
materialnego): suma geometryczna sił prawdziwych działających na punkt materialny P oraz
sił bezwładności B jest równa zeru.

+ B

Pracę przygotowaną wszystkich sił prawdziwych i bezwładności działających na punkt
materialny m

, które przesunięcie przygotowanie wynosi

δr, określa równanie:

(

)

∂

Powyższy wzór to tzw. ogólne równanie dynamiki.

Wynika z niego, że praca przygotowana wszystkich sił prawdziwych i fikcyjnych
działających na punkt jest zerem. Stosując tę zasadę możemy opisać zjawisko ruchu brył lub
układu brył.