L

ABORATORIUM FIZYCZNE

 

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej 

ĆWICZENIE

 

17 

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

 

 

 

 

 

Ćwiczenie 17 

2 
 

      Rys.2.  Odkrycie  zjawiska  Halla.      Między 
punktami P

1

 i P

2

 leżącymi naprzeciwko siebie 

po  obu  stronach  próbki  powstaje  napięcie 
elektryczne  zależne  od  natężenia  prądu  I 
oraz  indukcji  zewnętrznego  pola  magnetycz-
nego. 

ĆWICZENIE

 

17 

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

Ryszard Duraj 

1.

 

Wprowadzenie 

1.1

 

Zjawisko Halla 

Przyrząd  elektroniczny  zwany  hallotronem,  którego  będziemy  używali  do  pomiaru  pola  magne-

tycznego,  wykorzystuje 

zjawisko Halla

.  Efekt ten został odkryty w 1879 roku  przez młodego dokto-

ranta Edwina H. Halla podczas badań nad przepływem  prądu elektrycznego.  Hall zastosował układ 
doświadczalny  przedstawiony na rysunku 2.  Przez cienką folię ze złota przepuszczał prąd o natężeniu 

I. Folia umieszczona była w polu magnetycznym o indukcji  , prostopadłym do kierunku przepływu 
prądu. Między elektrodami P

1 

 i P

2

 umieszczonymi  na bocznej powierzchni  próbki  powstała różnica 

potencjałów, którą można było zmierzyć woltomierzem.  

 

                                                                  

 

 
 
 
 
 
 
 
Przy odpowiednim doborze  punktów  P

1 

 i  P

2

 ,   w nieobecności pola magnetycznego napięcie 

między nimi  było  równa zeru. Pojawiało się dopiero po włączeniu pola.   

Natura zjawiska Halla została wyjaśniona dopiero kilkanaście lat później, kiedy odkryto elektrony i 

wykazano, że są nośnikami prądu w metalach.  

 

Rys.1.  E.  H.  Hall    (1855-
1938)  –  fizyk  amerykański, 
od  1895  r.  profesor  na 
Uniwersytecie Harvarda. 

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

3 

 

Przyjmijmy tzw. 

model  elektronów swobodnych

, czyli założenie, że nośniki prądu w próbce prze-

wodzącej można uważać za swobodne, klasyczne cząstki, podobne do cząsteczek  gazu. Poruszają się 

one chaotycznie we wszystkich kierunkach.  Pod wpływem pola elektrycznego 

x

E

r

związanego z przy-

łożonym napięciem zasilania, elektrony, oprócz swego chaotycznego ruchu, dryfują w kierunku prze-

ciwnym do kierunku pola ze średnią 

prędkością unoszenia

 

x

v

r

.  Oczywiście,  jest to pewna idealizacja 

rzeczywistości.  Ich tory  przedstawiono poglądowo na rysunku 3a.  

 

 

Pojawienie się  pola magnetycznego

 

  

B

r

 (rys. 3b)  powoduje, że na elektrony dodatkowo działa  

siła Lorentza: 

 

 

 

 

 

 

          Rys.3.  Ruch  elektronów  w  zjawisku  Halla.  Czerwone  strzałki  oznaczają  tory 
cząstek. Niebieskie  strzałki wektorowe odpowiadają sile Lorentza, pomarańczowe 
– sile elektrostatycznej. Pole magnetyczne przedstawione na rysunkach (b) i (c) ma 
kierunek prostopadły do płaszczyzny rysunku i zwrócone jest w kierunku czytelni-
ka.  Sytuacja  (c)  odpowiada  stanowi  równowagi.  Między  dolną  a  górną  elektrodą 
wytwarza się napięcie Halla. Rysunek nie uwzględnia zachodzącego równocześnie 
szybkiego, chaotycznego ruchu nośników prądu. 

b) 

c) 

a) 

Ćwiczenie 17 

4 
 

                                                                

=

×  , 

gdzie q oznacza ładunek elektronu równy –e. 
 
Siła Lorentza zagina tory cząstek w jednym kierunku. Pod jej wpływem, na jednej z bocznych po-

wierzchni próbki gromadzą się elektrony, a na drugiej powstaje ich niedomiar.  Oznacza to, że jedna 
powierzchnia  próbki    ładuje  się  ujemnie,  a  druga  dodatnio.  W  miarę  gromadzenia  się  elektronów 

powstaje  coraz  silniejsze  pole elektryczne  

E

r

  skierowane  prostopadle  do  kierunku  prądu  (rys.  3c).  

Oddziałuje ono na elektrony siłą elektrostatyczną: 

 

=

   

 

W ciągu krótkiego czasu (rzędu 10

-14

 s) wartości obu sił zrównują się i  tory elektronów przestają 

się zaginać. Między bocznymi powierzchniami próbki ustala się 

napięcie Halla

. Sytuację tę przedsta-

wia   schematycznie rysunek  4: 

 
 

 

 
 

Rozpatrując warunek opisanej powyżej równowagi  (patrz Uzupełnienie) można obliczyć powsta-

jące napięcie Halla: 

 

U

nq h

I B

R

I B

h

H

H

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

1

1

=

   ,                            (1) 

gdzie   n  oznacza koncentrację nośników prądu o ładunku q,  h - grubość próbki (patrz rys.2), I - 

natężenie prądu przepływającego przez próbkę, B - wartość indukcji pola magnetycznego. 

 

Rys.4. Siły działające na elektron w stanie równowagi. Pole magnetyczne ma indukcję 

r

B

, 

natężenie prądu elektrycznego wynosi I. Prędkość unoszenia nośników prądu jest równa 

r

v

x

.    

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

5 

 

    Stała   R

H

 = 1/nq  jest nazywana 

stałą Halla

.  Jak widać, jej znak  zależy od znaku nośników prą-

du. W przypadku elektronów  q = -e, co daje  R

H

 <0. 

Dla  niektórych  materiałów otrzymujemy jednak dodatnią wartość R

H

 . Mówimy  wtedy o 

ano-

malnym efekcie Halla.

 Tłumaczymy go obecnością w próbce dodatnich nośników prądu -

 dziur

. Do-

kładniejsze informacje można znaleźć w literaturze [1]. 

Ważnym  parametrem  jest 

ruchliwość

  nośników  u.  Wielkość  tę  definiujemy  jako  współczynnik 

proporcjonalności między prędkością nośników v a wartością pola elektrycznego w próbce:  

 

v

u E

= ⋅

. 

 
       W  wielu  ciałach  występują  zarówno  elektrony  jak  i  dziury.  Dokładniejsze  rozważania 

uwzględniające ten fakt prowadzą do następującego wzoru na stałą Halla: 

 

R

nk

p

e nk

p

H

=

+

-

(

+ )

2

2

 , 

 
gdzie  k =u

n

/u

p

  oznacza stosunek ruchliwości elektronów do ruchliwości dziur,   n -  koncentrację 

elektronów,  p - koncentrację  dziur. 

Eksperymentalne wyznaczanie stałej Halla pozwala uzyskać informacje m. in. o koncentracji no-

śników prądu , określić ich typ i ruchliwość . 

1.2

 

Budowa i zastosowanie hallotronu 

Efekt Halla jest podstawą działania elementu elektronicznego zwanego hallotronem.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hallotrony wykorzystuje się przede wszystkim do wykrywania pola magnetycznego i pomiaru in-

dukcji magnetycznej, zwłaszcza w maszynach elektrycznych.  

Ponadto mogą być zastosowane m. in.  

•

 

do pomiaru natężeń silnych prądów  

•

 

mocy prądów stałych, zmiennych i szybkozmiennych, 

•

 

jako elementy komputerów,  

•

 

w urządzeniach przekształcających prąd stały na zmienny, 

•

 

w elektronice samochodowej (np. w czujniku położenia wału korbowego). 

                

Rys.5. Hallotrony KSY-14 

Ćwiczenie 17 

6 
 

 

 
 Zapiszmy wzór (1) w postaci: 
 

                             

B

I

B

I

h

R

U

H

H

⋅

⋅

⋅

⋅

=

 

 

=

γ

 ,                                                                                      (2) 

gdzie:    

γ

   =

R

h

H

       nazywa się 

stałą hallotronu

. 

Aby uzyskać dużą wartość stałej 

γ

 do wykonania hallotronów stosuje się najczęściej cienkie war-

stwy z półprzewodników typu  n  naparowane na ceramiczne podłoże. Wykorzystywane są następu-
jące materiały: german, krzem, antymonek indu, arsenek indu, selenek rtęci, tellurek rtęci. Wykonane 
z tego samego materiału hallotrony nie zawsze posiadają identyczne parametry. Dlatego każdy hallo-
tron  posiada indywidualną charakterystykę. Trudno jest   praktycznie tak umieścić elektrody do po-
miaru napięcia Halla, aby znajdowały się na jednej powierzchni ekwipotencjalnej. W związku z tym, 
nawet w nieobecności pola magnetycznego,  między tymi elektrodami istnieje zazwyczaj pewne na-
pięcie U

R

 zwane 

napięciem asymetrii

, proporcjonalne do natężenia prądu zasilającego hallotron. Mie-

rzone napięcie wynosi  zatem: 

 

U

U

U

I B

R I

H

R

=

   

+

+

=

⋅

⋅

γ

 

 

W układach pomiarowych napięcie asymetrii kompensuje się zazwyczaj elektronicznie za pomocą 

odpowiednio włączonego potencjometru. Można także zmierzyć je wcześniej  i  odjąć od napięcia U 
w celu wyznaczenia U

H

. 

1.3

 

Solenoid jako źródło pola magnetycznego 

Często używanymi źródłami pola magnetycznego są solenoidy (cewki) z prądem o odpowiednim 

natężeniu. Jeżeli zależy nam na uzyskaniu pola o dużej indukcji, problemem jest chłodzenie solenoi-
du. Coraz częściej używa się, o ile jest to możliwe, cewek nadprzewodzących. 

 

a)

  

b) 

 

Rys.6. Przykłady zastosowań hallotronów: a) pomiar  silnych prądów, b) przemysłowy czujnik 
przepływu. Czerwony pręt  na rys. b) jest magnesem.  

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

7 

 

 
W przypadku nieskończenie długiego solenoidu całkowite pole magnetyczne zawarte jest w jego 

wnętrzu, jest polem jednorodnym  i z prawa Ampere’a wynika wzór: 

 

=

 

 

gdzie:    B [T] – indukcja w środku solenoidu, 
               n [m

-1

] – ilość zwojów przypadająca na jednostkę długości solenoidu, 

               I [A]– natężenie prądu płynącego przez solenoid, 
          
Wzór ten jest dobrym przybliżeniem dla długich solenoidów w porównaniu z ich średnicą. W in-

nym  przypadku  do  obliczenia  indukcji  magnetycznej  trzeba  użyć  prawa  Biota-Savarta.  Konfiguracja 
pola magnetycznego przypomina przedstawioną na rysunku 7: 

                 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

Jak widać, pole wychodzi poza obszar wnętrza solenoidu i nigdzie nie można go uważać za w peł-

ni jednorodne. 

     
 
 
 
 

 

 

 
 
 
 
 
 

 

Rys.7. Schemat konfiguracji pola magnetycznego wytwarzanego przez sole-
noid o skończonej długości, przez który płynie prąd o natężeniu I 

 

Rys.8.  Schemat solenoidu wraz z oznaczeniami do obliczania jego 

pola magnetycznego. 

 

Ćwiczenie 17 

8 
 

 
 
Wprowadzając  oznaczenia jak na rysunku 8 otrzymujemy z obliczeń:  
   

B

I N

L

a

a

z

s

=

⋅

−

µ

0

2

1

2

cos

cos

 

gdzie: 

(3) 

 

Dla z = 0 (środek solenoidu) otrzymujemy: 

                                                                        

B

I N

r

L

z

s

0

0

2

2

4

=

+

µ

 

(4) 

2.

 

Metoda pomiaru 

Układ pomiarowy  zastosowany w ćwiczeniu przedstawiony jest na rysunku: 

 
 

 

 

 

 

 

Rys.3. Schemat układu pomiarowego. 

 

,

    

)

+

2

/

(

)

+

2

/

(

cos

2

2

1

z

L

r

z

L

a

+

−

=

2

2

2

)

-

2

/

(

)

-

2

/

(

cos

z

L

r

z

L

a

+

=

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

9 

 

 
 
Hallotron  przymocowany  do  długiej  linijki  znajduje  się  wewnątrz  solenoidu.    Można  go  prze-

mieszczać zarówno wzdłuż osi solenoidu , jak i wzdłuż jego  poziomej średnicy,  odczytując na skalach 
położenie względem geometrycznego środka solenoidu. 

 Zaciski prądowe hallotronu połączone są  w szereg  z zasilaczem i potencjometrem do regulacji 

prądu I.  W obwodzie tym znajduje się także miliamperomierz  do pomiaru tego prądu.  Do zacisków 
napięciowych  dołączony jest woltomierz cyfrowy (multimetr) służący do pomiaru napięcia Halla. 

Nawinięty  na  korpusie  walcowym  solenoid  zasilany  jest  przy  pomocy  regulowanego  zasilacza 

prądu stałego. W jego obwodzie znajduje się także amperomierz do pomiaru prądu  I

S

 .  

 
 
                 

Tabela 1. Dane solenoidu 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Wartość indukcji magnetycznej w geometrycznym środku solenoidu można zapisać: 
 

                                                        B = k 

.

 I

s 

(5) 

gdzie  empiryczna wartość współczynnika proporcjonalności  k  wynosi: 

k = 0,01380 T/A 

(6) 

 

 

 

 

Parametr 

Oznaczenie 

Wartość 

Promień 

r 

5,0 cm 

Długość 

L 

18,8 cm 

Ilość warstw 

k 

11 

Ilość zwojów w każdej 

warstwie 

n 

218 

Całkowita liczba zwojów 

N 

2398 

Średnica drutu Cu 

d 

0,65 mm  

Ćwiczenie 17 

10 
 

3.

 

Wykonanie ćwiczenia 

Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyk hallotronu – zależności napięcia Halla od natę-

żenia prądu płynącego przez hallotron w stałym polu magnetycznym, a następnie zależności napięcia 
Halla od indukcji magnetycznej przy stałym prądzie zasilającym hallotron. Na podstawie tych pomia-
rów  można  wyznaczyć  stałą  hallotronu 

γ

        i    użyć  tego  przyrządu  do  znalezienia  doświadczalnego 

rozkładu pola magnetycznego wzdłuż osi solenoidu.  

W czasie pomiarów prąd solenoidu I

S

  włącza się specjalnym przyciskiem tylko na kilkusekundowy 

okres czasu, potrzebny do odczytu napięcia na woltomierzu cyfrowym, aby nie dopuścić do przegrza-
nia zwojów. 

4.

 

Przebieg pomiarów 

4.1

 

Wyznaczanie charakterystyki  U

H 

= f ( I ) przy 

 

B = const 

1.

 

Posługując się skalą na linijce umieszczamy hallotron w geometrycznym środku solenoidu. 

2.

 

Wartość  natężenia  prądu  zasilającego  solenoid  ustawiamy  na  stałą  wartość  I

s

=I

s0 

podaną 

przez prowadzącego ćwiczenie.  

3.

 

Odczyty napięcia U wykonujemy mniej więcej co 0,5 mA dla ok. 10 różnych natężeń prądu I 
zasilającego hallotron. Za każdym razem notujemy najpierw wartość  pojawiającą się na wol-
tomierzu  przed włączeniem pola. Jest to napięcie asymetrii U

R

. Aby obliczyć napięcie Halla, 

trzeba od wartości napięcia U,  odczytanej na woltomierzu cyfrowym po włączeniu pola, każ-
dorazowo odjąć  U

R

 . Wyniki notujemy w tabelce:  

 

 

                                Tabela 2. Charakterystyka hallotronu U

H

=f(I) dla B=const=B

0 

 
 

 

 

 

 

 

4.2

 

Wyznaczanie charakterystyki U

H 

= f ( B ) przy 

 

I = const 

1.

 

Podobnie, jak w poprzednim przypadku umieszczamy hallotron w środku solenoidu. 

2.

 

Wartość  natężenia  prądu  zasilającego  hallotron  ustawiamy  na  stałą  wartość  I=I

0   

podaną 

przez prowadzącego ćwiczenie.  

3.

 

Zapisujemy  wartość  napięcia  asymetrii  U

R

  odpowiadającą  nastawionej  wartości    natężenia 

prądu hallotronu. 

I

s0 

[mA] =                       

B

0 

[mT]

 

= k * I

s0 

=              

L.p. 

Natężenie prądu 

hallotronu  I 

[mA] 

Napięcie asy-

metrii   U

R 

[mV] 

Napięcie hallotronu  U 

po włączeniu pola   

[mV]    

       

Napięcie Halla                  

U

H

 = U - U

R

   

              [mV]         

  

1.    

  

  

  

2.    

  

  

  

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

11 

 

4.

 

Odczyty  napięcia  U  wykonujemy mniej  więcej  co  0,2  A  dla ok.  10  różnych  natężeń  prądu  I

s

  

zasilającego solenoid. Za każdym razem od napięcia U odczytanego na woltomierzu odejmu-
jemy napięcie asymetrii, aby obliczyć napięcie Halla. Wpisując dane do tabelki przemnażamy 
wartości prądu solenoidu przez współczynnik  k , co daje nam wartości indukcji magnetycznej 
w miejscu hallotronu .    
 
 

                         Tabela 3. Charakterystyka hallotronu U

H 

= f(B) dla I=const=I

0

 

I

0 

[mA] 

=  

U

R

 [mV] = 

L.p. 

Natężenie prądu 

solenoidu  I

s 

[mA] 

Indukcja w środku 

solenoidu  B

 

= k * I

s 

[mT] 

Napięcie  hallotronu  
U po włączeniu pola 
             [mV]

 

Napięcie Halla                    

U

H

 = U - U

R

  

[mV] 

1.    

  

  

  

2.    

  

  

  

 

4.3

 

Wyznaczanie rozkładu pola magnetycznego wzdłuż osi so-
lenoidu przy pomocy hallotronu 

1.

 

Ustawiamy stałe wartości prądu zasilającego hallotron   I = I

0

  oraz prądu zasilającego soleno-

id  I

s

 = I

s0

 i zapisujemy je. Odczytujemy wartość napięcia asymetrii. 

2.

 

Poluzowujemy śruby uchwytów mocujących linijkę z hallotronem, 

3.

 

Wykonujemy serię odczytów napięcia U dla różnych położeń z hallotronu względem geome-
trycznego  środka  solenoidu.  Pomiary  wykonujemy  co 2  cm. Położeniom  na  lewo od  środka 
odpowiada ujemna wartość z, na prawo – dodatnia.  

4.

 

Wyniki notujemy w tabelce: 

 

                                           Tabela 4. Zależność napięcia Halla od położenia hallotronu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

I [mA] =  

I

s

 [mA] =   

U

R

 [mV] = 

L.p. 

Położenie wzgl. 

środka solenoidu  

z [cm] 

Napięcie hallotronu  

po włączeniu pola       

U [mV]           

Napięcie Halla           

U

H

 = U - U

R

 [mV]          

1. 

  

  

  

2. 

  

  

  

Ćwiczenie 17 

12 
 

5.

 

Obliczenia 

1.

 

Rysujemy  wykresy  zależności  U

H

(I) oraz U

H

(B). Na podstawie wzoru (2) spodziewamy się za-

leżności liniowych. Do punktów  doświadczalnych dopasowujemy zatem proste metodą regre-
sji liniowej (najlepiej przy pomocy komputera).  Przyjmijmy, że w pierwszym przypadku nachy-
lenie dopasowanej prostej wynosi a

1

 ±u(a

1

), w drugim przypadku a

2

 ±u(a

2

). Niepewności stan-

dardowe nachyleń podaje zazwyczaj program komputerowy. 

2.

 

Na podstawie znajomości nachyleń wykresów możemy obliczyć zarówno z pierwszego jak i z 
drugiego wykresu stałą hallotronu 

γ

: 

=

=

 

=  

 

3.

 

Jako ostateczną wartość stałej hallotronu przyjmujemy średnią arytmetyczną obu wartości: 

 

=

+

2

 

 

4.

 

Obliczamy  niepewność    standardową  stałej  hallotronu 

=

+

  ,  przy 

czym:  

=

 

!

+

"

#$

 

$

  oraz

=

 

!

+

"

$$

 

$

 . Obliczanie 

niepewności odczytu  z  mierników  cyfrowych   

   oraz   

      należy  skonsultować  z 

prowadzącym ćwiczenie. 

5.

 

Używając wyznaczonej stałej 

γ

 przeliczamy wartości  napięcia Halla z tabeli 4 na indukcję ma-

gnetyczną B w miejscu hallotronu.  

6.

 

Rysujemy wykres B(z) – rozkład   pola magnetycznego wzdłuż osi solenoidu . Wielkości punk-
tów pomiarowych (prostokąty błędów) powinny odpowiadać ±u(B) oraz ±u(z). 

 
 

6.

 

Dyskusja wyników 

W  ramach  dyskusji    należy  podać  ewentualne  przyczyny  błędów  systematycznych  mogących 

wpłynąć na wyniki.   

Bardziej zaawansowani studenci mogą obliczyć (np. przy pomocy Excela) teoretyczny rozkład pola 

wzdłuż osi solenoidu ze wzorów (3), bazując na danych solenoidu podanych w tabeli 1. To pozwala 
porównać rozkład doświadczalny z teoretycznym i przedyskutować różnice. 

 

7.

 

Uzupełnienie:  wyprowadzenie wzoru na napięcie Halla 

W warunkach równowagi siły Lorentza i siły elektrostatycznej zachodzi równość: 
 

x

qv

Eq =

 

a stąd:                

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu 

13 

 

                                                                

B

v

E

x

=

                                                           (7) 

Pole elektryczne E

 

 jest związane z potencjałem Halla U

H

  w następujący sposób: 

                                                                               

d

U

E

H

=

                                                 (8) 

Łatwo wykazać, z definicji natężenia prądu, że: 

I

nqSv

x

=

 

gdzie:  n - ilość nośników w jednostce objętości próbki (koncentracja), 
             S - pole powierzchni przekroju próbki. 
 W naszym przypadku S = hd , zatem:  

I

nqhdv

x

=

 

stąd: 

                                                                           

v

I

nqhd

x

=

                                                  (9) 

Podstawiając równania (8) i (9) do równania (7) otrzymujemy: 
 

U

d

I

nqhd

B

H

=

⋅

  , 

skąd: 

U

nq h

I B

R

I B

h

H

H

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

1

1

=

  . 

 

 

8.

 

Literatura 

[1] D.Halliday, R.Resnick, J.Walker: Podstawy fizyki,  t.4, PWN, Warszawa 2003, s.192-194. 

[2] C.Kittel: Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999, s.187-190. 

[3]  F.Kaczmarek:  Ćwiczenia  laboratoryjne  z  fizyki  dla  zaawansowanych,  PWN,  Warszawa  1982, 
s.227-232, 

      [4] A. Januszajtis: Fizyka dla politechnik t.II. Pola, PWN, Warszawa 1986, s.292-294.