2
f
ma silne minimum lokalne w
x
0
f
ma silne maksimum lokalne w
x
0
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0
0
lim
lim
0
lim
lim
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
′
≥
−
−
=
−
−
∃
≤
−
−
=
−
−
∃
′
∃
∈
→
→
∈
→
→
−
−
+
+
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
φ
φ
Twierdzenie
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
0
0
2
>
′′
=
′
∈
∈
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
Dowód:
Niech
( )
( ) ( )
0
:
0
0
0
>
′′
∃
>
′′
∈
′′
x
f
x
x
f
C
f
φ
dla
( )
0
x
x
φ
∈
Ze wzroru Taylor’a (
n=2
):
( )
( )
( )(
)
( )(
)
2
0
0
0
0
2
x
x
c
f
x
x
x
f
x
f
x
f
−
′′
+
−
′
+
=
, gdzie
(
)
(
)
0
0
,
,
x
x
c
x
x
c
∈
∨
∈
Zatem
( ) ( )
0
x
f
x
f
>
poniewa :
( )
( )
(
)
0
0
0
2
0
0
>
−
∧
>
′′
∧
=
′
x
x
c
f
x
f
,
co dowodzi, e
f
ma w
x
o
silne minimum lokalne.
Twierdzenie
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
0
0
2
<
′′
=
′
∈
∈
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
Dowód:
Niech
( )
( ) ( )
0
:
0
0
0
<
′′
∃
<
′′
∈
′′
x
f
x
x
f
C
f
φ
dla
( )
0
x
x
φ
∈
Ze wzroru Taylor’a (
n=2
):
3
f
ma silne minimum lokalne w
x
0
f
ma silne maksimum lokalne w
x
0
( ) ( )
0
x
f
x
f
>
,
co z kolei wiadczy o istnieniu
silnego minimum lokalnego w
x
0
.
( )
( )
( )(
)
( )(
)
2
0
0
0
0
2
x
x
c
f
x
x
x
f
x
f
x
f
−
′′
+
−
′
+
=
, gdzie
(
)
(
)
0
0
,
,
x
x
c
x
x
c
∈
∨
∈
Zatem
( ) ( )
0
x
f
x
f
<
poniewa :
( )
( )
(
)
0
0
0
2
0
0
>
−
∧
<
′′
∧
=
′
x
x
c
f
x
f
,
co dowodzi, e
f
ma w
x
o
silne maksimum lokalne.
Twierdzenie
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
2
0
1
2
0
0
0
0
2
>
=
=
=
′′′
=
′′
=
′
∈
∈
−
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
k
k
k
Dowód:
( ) ( )
( )
( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
0
0
!
2
2
0
2
2
0
2
0
>
−
∧
>
−
+
=
k
k
k
k
x
x
c
f
x
x
k
c
f
x
f
x
f
Analogicznie:
Twierdzenie:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
2
0
1
2
0
0
0
0
2
<
=
=
=
′′′
=
′′
=
′
∈
∈
−
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
k
k
k
4