1 |
S t r o n a
Metoda Maxwella-Mohra
1. Dla belki obciążonej jak na rysunku wyznacz kąt obrotu i ugięcie kooca swobodnego belki.
Metoda całkowania analitycznego
Do wyznaczenia ugięcia jak i kątu obrotu będzie potrzebny nam moment :
Moment liczymy dla danego
x
należącego do naszego przedziału, na rysunku zaznaczony na
czerwono
.
𝑀 𝑥, 𝑞
0
= −
1
2
𝑔 𝑥 ∗ 𝑥
∗
𝑥
3
Gdzie:
Pole trójkąta
Ramię
Nie znamy
q(x)
wyznaczymy z podobieostwa trójkątów:
𝑞
0
𝑙
=
𝑞(𝑥)
𝑥
𝑞(𝑥) =
𝑞
0
∗ 𝑥
𝑙
Podstawiamy
q(x)
do momentu:
𝑀 𝑥, 𝑞
0
=
−
𝑞
0
∗ 𝑥
3
6𝑙
A
q
0
B
l, E I
x
y
x
q(x)
Sc
2 |
S t r o n a
Liczymy kąt obrotu:
Mamy taki wzorek:
𝜃
𝑖
=
1
𝐸𝐼
𝑀 ∗ 𝑚 𝑑𝑥
𝐿
Gdzie:
M – moment dla belki danej w zadaniu (to co policzyliśmy na początku)
m – moment dla belki w której dodajemy moment
M=1
i nie uwzględniamy sił danych w
zadaniu
Liczymy moment:
Działa tylko nasz dodany moment o wartości 1 czyli:
m(x)=1
co obrazuje wykres:
Mamy to co potrzebujemy podstawiamy do wzoru:
𝜃
𝑖
=
1
𝐸𝐼
(−
𝑞
0
∗ 𝑥
3
6𝑙
)
∗ 1
𝑑𝑥
𝑙
0
= −
𝑞
0
6𝑙𝐸𝐼
𝑥
3
𝑙
0
= −
𝑞
0
6𝑙𝐸𝐼
𝑙
4
4
−
0
4
4
= −
𝒒
𝟎
𝒍
𝟑
𝟐𝟒𝑬𝑰
l, E I
M=1
A
B
1
+
3 |
S t r o n a
Liczymy ugięcie:
Mamy taki wzorek:
𝑓
𝑖
=
1
𝐸𝐼
𝑀 ∗ 𝑚 𝑑𝑥
𝐿
Gdzie:
M – moment dla belki danej w zadaniu (to co policzyliśmy na początku)
m – moment dla belki w której dodajemy siłę
P=1
i nie uwzględniamy sił danych w zadaniu
Liczymy moment:
𝑚 𝑥 = −𝑃 ∗ 𝑥 =
−𝑥
co obrazuje wykres:
Mamy to co potrzebujemy podstawiamy do wzoru:
𝑓
𝑖
=
1
𝐸𝐼
−
𝑞
0
∗ 𝑥
3
6𝑙
∗ −𝑥
𝑑𝑥
𝑙
0
=
𝑞
0
6𝑙𝐸𝐼
𝑥
4
𝑙
0
=
𝑞
0
6𝑙𝐸𝐼
𝑙
5
5
−
0
5
5
=
𝒒
𝟎
𝒍
𝟒
𝟑𝟎𝑬𝑰
l, E I
P=1
x
_
4 |
S t r o n a
Metoda graficzna (Wereszczagina)
𝑓
𝑖
= Θ
𝑖
=
1
𝐸𝐼
𝑀 ∗ 𝑚 𝑑𝑥
𝐿
=
1
𝐸𝐼
Ω
M
∗
y
m
=
1
𝐸𝐼
Ω
m
∗
y
M
Całka z metody całkowania analitycznego
jest równa
iloczynowi
pola(z wykresu)
i
rzędnej(z wykresu)
momentu.
M – moment liczony z podanej w zadaniu belki,
m – moment liczony po dodaniu P=1 lub M=1, tak jak to było przy metodzie całkowej
Liczymy ugięcie:
Jak wiemy z wcześniejszych obliczeo M(x) wynosi: (jak nie liczyliśmy momentu to liczymy
oczywiście teraz)
𝑀 𝑥, 𝑞
0
=
−
𝑞
0
∗ 𝑥
3
6𝑙
Dla ugięcia m(x) to moment z dodanym P=1, ten moment także już liczyliśmy wynosi:
𝑚 𝑥 = −𝑃 ∗ 𝑥 =
−𝑥
Podstawiamy dolną i górną granice przedziału czyli
0
i
l
następnie rysujemy wykresy:
Warto pamiętad o tym, że wykresy mają byd równo jeden pod drugim.
Najlepiej rysowad wykres dla którego liczymy pole powyżej a pod nim wykres z którego
bierzmy rzędną.
5 |
S t r o n a
Pole bierzemy dla wykresu o funkcji wyższego stopnia czyli u M(x), bo jest to funkcja trzeciego
stopnia
(
−
𝑞
0
𝒙
𝟑
6𝑙
)
,
natomiast m(x) jest stopnia pierwszego
(
−𝒙
)
.
M(x)
m(x)
Z podobieostwa trójkątów wyliczamy 𝑦
𝑚
:
𝑦
𝑚
4
5
𝑙
=
−𝑙
𝑙
𝑦
𝑚
= −
4
5
𝑙
𝑞
0
𝑙
2
6
−
𝑙
Na wykresie dla którego liczymy pole
zaznaczamy
środek ciężkości
.
Sc
4
5
𝑙
𝑦
𝑚
Opuszczamy
środek ciężkości
na
wykres i mamy
rzędną
której
poszukujemy.
4
5
𝑙
−
6 |
S t r o n a
Liczymy ugięcie ze wzoru podanego na początku metody graficznej:
𝑓
𝐴
=
1
𝐸𝐼
1
4
∗ l ∗
−
𝑞
0
𝑙
2
6
∗ (−
4
5
l)
=
𝒒
𝟎
𝒍
𝟒
𝟑𝟎𝑬𝑰
Ze wzoru na pole funkcji 3 stopnia:
Ω =
1
4
L ∗ a
Liczymy kąt obrotu:
Wykres M(x) jest taki sam jak przy ugięciu. Natomiast wykres m(x) jest dla belki z dodanym M=1, m(x)
dla tej belki już liczyliśmy przy metodzie całkowej m(x)=1. Wiec rysujemy wykresy:
M(x)
m(x)
𝑦
𝑚
= 1
𝑎
𝐿
𝑞
0
𝑙
2
6
Sc
4
5
𝑙
−
1
𝑦
𝑚
Czynności te same co przy ugięciu,
czyli środek ciężkości rzutujemy na
drugi wykres i mamy rzędną.
+
7 |
S t r o n a
Liczymy kąt obrotu ze wzoru podanego na początku metody graficznej:
Θ
𝐴
=
1
𝐸𝐼
1
4
∗ l ∗ (−
𝑞
0
𝑙
2
6
)
∗ 1
= −
𝒒
𝟎
𝒍
𝟑
𝟐𝟒𝑬𝑰
Mam nadzieje, że pomogłem, Czerwiec.