Wykład 5:
Metoda Ritza, a MES
Cz
ęść
3: Przykład belki na gruncie-podło
Ŝ
u Winklera
Leszek CHODOR
dr in
Ŝ
. bud, in
Ŝ
.arch.
leszek@chodor.pl
Literatura:
[1]
Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of Elasticity Mc Graw –Hill, 2 nd , Oxford, 1951
[2]
Piechnik S., Wytrzymało
ść
materiałów dla wydziałów budowlanych, , PWN, Warszaw-Kraków, 1980
[3]
Rakowski G., Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa, 1979
[4]
Bower A., Linear Elasticity,, Lecture Notes, Division of Engineering
Brown University Spring 2005,
[5]
Lebedev L.P., Cloud M.J., Tensor Analysis with Applications in Mechanics, World Scientific, 2010
[6]
Chodor L., publikacje własne - ró
Ŝ
ne.
[7]
Strony www [dost
ę
pne luty-kwiecie
ń
2011] - ró
Ŝ
ne
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
1
tydz 7: 28-03-2011
Wykład 5.
Cz
ęść
3:
1. Podstawy metod wariacyjnych
1.1. Zasada prac wirtualnych
1.2. Twierdzenie Lagrange’a
2. Przedstawienie równa
ń
ZBTS w postaci macierzowej
2.1. Stan odkształcenia
2.2. Stan napr
ęŜ
enia
2.3. Zwi
ą
zki konstytutywne
2.4. Równania prac wirtualnych (macierzowo)
3. Rozwi
ą
zanie ZBTS metod
ą
Ritza
3.1. Aproksymacja równania Cauchy’ego i prawa Hooke’a
3
.2. Aproksymacja równania prac wirtualnych
3.3. Kanoniczne równanie Ritza
4. Wprowadzenie do metody elementów sko
ń
czonych
4.1. Fundamentalne zało
Ŝ
enia MES
4.2. Macierz kształtu elementu
4.3. Równania kanoniczne dla całej konstrukcji
5 Przykłady:
5.1. Belka na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
5.2. Płyta,
5.3. Tarcza
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
2
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
3
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
Zadanie 1 (pomocnicze)
Okre
ś
li
ć
funkcje kształtu
elementu (e) pr
ę
ta prostego
bez uwzgl
ę
dnienia wpływu przemieszcze
ń
poziomych na k
ą
ty obrotu i ugi
ę
cia elementu
Pole przemieszczeń u(x) wewnątrz elementu skończonego,
zgodnie z fundamentalnym założeniem metody elementów
skończonych przyjmuje się w postaci:
[ ]
)
(
)
(
e
df
u
N
x
u
⋅
=
(49)
Gdzie – [N] macierz kształtu elementu
,
[ ]
)
(
2
2
2
1
1
1
e
w
u
w
u
N
w
u
ϕ
ϕ
⋅
⋅
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
4
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(50)
[ ]
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
=
−
−
−
−
2
3
2
3
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
0
2
3
1
0
0
2
0
2
3
1
0
0
1
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
x
l
x
N
Rys.1 Ilustracja macierzy
kształtu elementu
prętowego
)
(
'
)
(
x
w
x
=
ϕ
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
5
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(50)
Przemieszczenia pokazane na Rys.1. moŜna uzyskać z rozwiązania równania
róŜniczkowego linii ugięcia przy braku obciąŜenia na pręcie:
0
=
IV
w
3
4
2
3
2
1
x
C
x
C
x
C
C
w
+
+
+
=
Ogólne rozwiązanie tego równania jest funkcją:
Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych:
.
3
2
,
,
,
)
(
,
)
0
(
2
4
3
2
2
1
0
2
1
x
C
x
C
C
gdzie
w
l
w
w
w
dx
dw
l
x
dx
dw
x
dx
dw
+
+
=
=
=
=
=
=
=
ϕ
ϕ
Otrzymujemy stąd równanie macierzowe:
2
2
1
1
4
3
2
1
2
3
2
3
2
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
ϕ
ϕ
w
w
C
C
C
C
l
l
l
l
l
=
⋅
Podstawiając wartości stanu uzyskamy kolejne wyrazy macierzy [N]
Na przykład dla :
.
Pozostałe wyrazy znajdziemy analogicznie.
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
6
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(51)
Stąd [C]
3
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
4
3
2
1
)
(
2
)
(
3
2
l
l
l
l
w
w
w
w
w
C
C
C
C
−
−
−
+
−
=
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
3
3
2
2
1
2
3
1
l
x
l
x
w
w
+
−
=
0
,
1
2
2
1
1
=
=
=
=
w
w
ϕ
ϕ
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
7
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(52)
Zadanie 2 (pomocnicze)
Obliczyć macierz sztywności
dla elementu pręta z poprzedniego zadania.
Wprowadźmy pojęcia uogólnionych napręŜeń oraz odkształceń
, które występują na poziomie przekroju pręta. Za napręŜenia uogólnione
przyjmiemy siły przekrojowe, natomiast odkształcenia uogólnione odpowiadają
wielkościom, których iloczyn z napręŜeniami określa pracę wewnętrzną. W
przypadku zginania z rozciąganiem napręŜenia uogólnione, to momenty zginające
M i siły osiowe N. Natomiast odkształcenia uogólnione, to krzywizna w” i
wydłuŜenie względne u’.
Znane zaleŜności
ε
σ
,
'
,
''
EAu
N
w
EJ
M
y
=
+
=
w
u
EJ
EA
M
N
∂
∂
=
2
0
0
0
0
stanowią związki fizyczne. Znak (+) wystąpił wobec przyjętego układu współrzędnych.
Związki te zapisaliśmy w zwartej formie spójnej z definicjami przyjętymi przy
rozwiązaniu ZBTS metodą Ritza:
[ ] [ ]
u
E
df
⋅
∂
⋅
=
σ
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
8
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(51)
skąd otrzymujemy wyraŜenia na podstawowe macierze metody:
macierz Hooke’a
i macierz operatorów róŜniczkowania
wektor napręŜeń
i przemieszczeń
[ ]
E
[ ]
∂
σ
u
,
[ ]
[ ]
∂
∂
=
∂
=
2
0
0
,
0
0
EJ
EA
E
w
u
u
M
N
=
=
,
σ
Macierz zgodności geometrycznej [B] obliczymy z definicji
[ ] [ ][ ]
⋅
∂
∂
=
∂
=
2
0
0
N
B
df
( )
( )
=
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
⋅
−
−
−
−
2
3
2
3
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
3
1
0
2
2
3
1
0
0
0
0
0
1
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
x
l
x
( )
( )
−
+
+
−
+
−
−
=
−
−
2
3
2
2
3
2
)
(
6
4
)
(
12
6
6
4
12
6
1
1
0
0
0
0
0
0
l
x
l
l
l
x
l
l
l
x
l
l
x
l
l
l
(53)
(54)
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
9
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(51)
,
Macierz sztywności
elementu (e) otrzymamy z definicji.
[ ]
)
(e
k
[ ]
[ ] [ ][ ]
∫
=
V
T
df
e
dV
B
E
B
k
)
(
(55)
[ ] [ ] [ ][ ]
∫
l
T
e
B
E
B
k
0
)
(
(55)’
[ ]
+
−
+
+
−
+
−
−
−
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
e
k
4
6
0
2
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2
6
0
4
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
)
(
(56)
Macierz
sztywności
określa siły
przywęzłowe w
funkcji
przemieszczeń
węzłów.
ZaleŜności te
są znane w
mechanice
budowli pod
nazwą wzorów
transformacyjn
ych dla
elementu
sztywno-
sztywnego
a przemieszczeniami węzłowymi .
Macierz sztywności
moŜna
określić, znając zaleŜność pomiędzy
siłami węzłowymi
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
10
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(57)
,
Zadanie 3 (pomocnicze)
Obliczyć macierz sztywności
dla prostoliniowego, jednorodnego elementu,
obciąŜonego ściskającą siłą osiową.
Ogólne równanie róŜniczkowe dla
jednego elementu skończonego ma
postać
[ ]
)
(
)
(
)
(
)
(
e
V
e
A
e
e
F
F
u
k
+
=
[ ]
)
(e
k
[ ]
)
(
)
(
)
(
e
V
e
A
e
F
F
F
+
=
)
(e
u
Rys.2 Pręt ściskany siłą P
ZaleŜności te dla zadanego zagadnienia (Rys.2) , określimy poprzez rozwiązania równania
róŜniczkowego pręta ściskanego bez obciąŜenia pomiędzy węzłami
0
'
=
+
Pw
EJw
IV
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
11
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(57a)
,
Po wprowadzeniu zmiennych
EJ
Pl
l
x
2
2
,
=
=
λ
ξ
0
2
2
4
4
2
=
+
ξ
ξ
λ
d
w
d
d
w
d
λξ
λξ
λξ
ξ
sin
cos
)
(
4
3
2
1
C
C
C
C
w
+
+
+
=
2
1
2
)
1
(
1
)
0
(
)
1
(
,
)
0
(
,
,
w
w
w
w
l
l
d
dw
d
dw
=
=
=
=
ϕ
ϕ
ξ
ξ
λξ
λ
λξ
λ
ξ
cos
4
3
2
C
C
C
d
dw
+
−
=
l
w
l
w
C
C
C
C
2
2
1
1
2
1
4
3
cos
sin
0
sin
cos
1
0
0
0
1
0
1
ϕ
ϕ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
=
−
−
−
−
+
−
−
−
...
...
...
4
3
sin
)
cos
1
(
2
)]
(cos
)
(
)
(sin
)
cos
(sin
[
2
1
2
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
λ
λ
λ
ϕ
w
w
l
l
C
C
C
C
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
12
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(58)
,
PoniewaŜ
),
cos
sin
(
),
sin
cos
(
"
3
4
3
3
2
4
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
λξ
λ
λξ
λ
λξ
λ
λξ
λ
ξ
ξ
C
C
T
C
C
EJw
M
l
EJ
d
w
d
l
EJ
l
EJ
d
w
d
l
EJ
−
−
=
=
−
−
=
=
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
λ
λ
λ
ϕ
λ
2
1
2
2
1
2
sin
)
1
(cos
)
(cos
)
(
)
(sin
)
cos
(sin
1
+
−
−
−
+
−
−
−
+
=
w
w
l
l
l
EJ
M
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
2
1
2
2
1
3
sin
)
1
(cos
)
(
sin
)
cos
1
)(
(
2
1
+
−
−
+
−
+
+
=
w
w
l
l
l
EJ
T
)
(
)
0
(
),
(
)
0
(
3
4
EJ
1
2
3
EJ
1
3
2
λ
λ
C
T
T
C
M
M
l
l
−
=
=
−
=
=
itd. ...
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
13
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(59)
,
Szczególnie uŜyteczne formuły
znajdziemy dla
:
2
λ
α
=
2
4
1
3
2
1
2
1
2
4
)
(
6
2
ϕ
ϕ
Λ
+
Λ
+
−
Λ
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
w
w
M
2
3
1
4
2
1
2
2
4
2
)
(
6
2
ϕ
ϕ
Λ
+
Λ
+
−
Λ
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
w
w
M
1
2
2
1
2
2
1
1
1
),
(
6
)
(
12
2
3
T
T
w
w
T
l
EJ
l
EJ
−
=
+
Λ
+
−
Λ
=
ϕ
ϕ
,
1
,
1
,
1
,
1
)
(
2
2
2
2
3
1
2
60
1
0
2
1
2
2
3
4
30
1
0
4
1
2
4
3
3
60
1
0
1
2
10
1
0
2
1
EJ
Pl
EJ
Pl
EJ
Pl
ctg
EJ
Pl
ctg
ctg
ctg
+
≈
−
Λ
=
Λ
−
≈
+
Λ
=
Λ
−
≈
=
Λ
−
≈
Λ
=
Λ
≈
≈
≈
−
≈
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
gdzie:
cr
P
P
EJ
P
l
2
2
π
α
=
=
2
2
l
EJ
cr
P
π
=
krytyczne obciąŜenie
„eulerowskie”
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
14
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(60)
,
2
2
1
1
3
4
2
6
4
2
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
4
2
2
6
3
4
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
2
2
1
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
ϕ
ϕ
w
w
M
T
M
T
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
⋅
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
−
Λ
−
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
=
[ ]
)
(e
u
k
F
⋅
=
[ ]
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
l
l
l
l
l
l
l
l
P
k
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
15
2
10
1
30
1
10
1
10
1
5
6
10
1
5
6
30
1
10
1
15
2
10
1
10
1
5
6
10
1
5
6
6
6
6
12
6
12
6
6
6
12
6
12
4
2
2
4
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
Linearyzacja funkcji
Liniowa Macierz
sztywności
Macierz geometryczna
1 rzędu (quasiliniowa)
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
15
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
(61)
,
[ ]
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
−
Λ
−
−
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
−
=
3
4
2
6
4
2
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
4
2
2
6
3
4
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
k
Ostatecznie w celu uwzględnienia związku obciąŜeń podłuŜnych od przemieszczeń
poziomych węzłów, uzupełnimy macierz sztywności o uzyskane wyniki i otrzymamy
Macirz sztyności pręta zginanego i ściskanego
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
16
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
ObciąŜenie międzywęzłowe
wyznaczymy z definicji
,
Zadanie 4 (pomocnicze)
Obliczyć obciąŜenie węzłowe
, gdy na pręt prosty (ogólnie na krawędź elementu)
elementu), działa obciąŜenie ciągłe pomiędzy węzłami. obciąŜonego ściskającą siłą
osiową .
Rys.3. ObciąŜenie
międzywęzłowe p(x)
[ ]
,
dA
q
N
F
A
T
df
A
∫
=
υ
gdzie zgodnie z Rys.3. ,
)
(x
p
q
=
υ
)
(x
p
q
=
υ
a macierz kształtu (zadanie pomocnicze1 -
wynosi
[ ]
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
−
−
−
−
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
3
1
2
2
3
1
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
T
x
l
x
N
Z definicji dla
mamy:
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
17
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
,
const
p
q
=
=
υ
−
+
=
∫
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
⋅
=
=
−
−
−
−
12
2
12
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
2
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
)
(
2
3
1
2
2
3
1
l
l
l
l
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
A
p
dx
x
l
x
p
M
R
M
R
F
(62)
Analogicznie moŜna znaleźć obciąŜenie węzłowe przy innych postaciach obciąŜenia
między węzłami, np. dla
l
x
p
p
p
x
p
q
)
(
)
(
1
2
1
−
+
=
=
υ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+
−
+
+
+
=
∫
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
⋅
−
+
=
−
−
−
−
2
1
60
2
1
20
3
2
1
60
2
1
20
3
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
3
7
2
3
7
2
)
(
2
3
1
2
2
3
1
)
(
2
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
p
p
p
p
p
p
p
p
dx
x
l
x
p
p
p
F
l
l
l
l
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
A
(63)
Politechnika
Ś
wi
ę
tokrzyska (2011)
, Leszek CHODOR
Teoria spr
ęŜ
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci
18
Przykład belki na spr
ęŜ
ystym podło
Ŝ
u
,
(63)
Zadanie 5 (pomocnicze)
Określić wektor równowaŜników
węzłowych dla elementu belki spoczywającej na
spręŜystym podłoŜu Winklera ze współczynnikiem spręŜystości podłoŜa
Z definicji spręŜystego podłoŜa winklerowskiego, znamy jego odpór:
).
(
)
(
x
w
k
x
p
q
⋅
−
=
=
υ
[ ]
)
(
)
(
e
u
N
x
w
⋅
=
[ ] [ ]
[ ] [ ]
(
)
,
0
)
(
0
)
(
∫
∫
−
=
⋅
−
=
l
e
T
l
e
T
A
u
dx
N
N
k
dx
u
N
k
N
F
PoniewaŜ
[ ] [ ]
2
3
2
3
2
3
2
3
2
)
2
3
(
)
2
(
)
2
3
1
(
+
−
−
+
−
+
−
=
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
l
N
N
T
Dla belki zginanej
mamy
l
x /
=
ξ