Krzysztof Wójtowicz
Strona 1
Politechnika Poznańska Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz
Instytut Konstrukcji Budowlanych Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka
Zakład Mechaniki Budowli
Obliczenie Ramy Metodą Przemieszczeń
Zakładamy przekroje dwuteowe:
I1- I220 -I1=3060 cm
4
I2- I240 -I2=4250 cm
4
1,389I1
I2
1,389
3060
4250
I1
I2
=
⇒
=
=
Krzysztof Wójtowicz
Strona 2
Tworzymy łańcuch kinematyczny w celu określenia niezależnych przemieszczeń.
Aby układ był kinematycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny wystarczy dodać 1
podporę, w naszym przypadku jest to podpora oznaczona kolorem czerwonym. Zatem
układ posiada jedno niezależne przemieszczenie „u”, któremu towarzyszą
przemieszczenia kątowe „
Ψ
” poszczególnych prętów.
Ponieważ pręty nie ulegają skróceniu (pręt 52 oraz 43 nie dozna przemieszczenia
pionowego) zatem pręty 12 i 23 doznają tylko przemieszczeń poziomych równych „u” a
kąt
Ψ
52
=
Ψ
43
Krzysztof Wójtowicz
Strona 3
Równania łańcucha kinematycznego
Ψ
23
=0 – z uwagi na brak przesuwu pionowego pręta 43 oraz 52
43
→
0+
Ψ
43
*4= u
⇒
Ψ
43
=
Ψ
52
= 0,25u =0,25
⋅
z3
0125
↓
0+
Ψ
01
*0+
Ψ
12
*4+0= 0
⇒
Ψ
12
=0
012
→
0+
Ψ
01
*3+
Ψ
12
*1= u
⇒
Ψ
01
=
z3
0,3333
0,3333u
u
3
1
⋅
=
=
Układ podstawowy
SGN=3
z1, z2, z3- przemieszczenia po kierunku reakcji R1, R2 ,R3
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
⇒
=
=
=
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
R3
0
R2
0
R1
3P
33
32
31
2P
23
22
21
1P
13
12
11
Krzysztof Wójtowicz
Strona 4
Zapisujemy momenty węzłowe dla poszczególnych prętów korzystając z wzorów
transformacyjnych
1,5
z3
0,6666EI
z1
1,333EI
12
3
2
z3)
0,3333
3
0
z1
(2
3
2EI
M
1,5
z3
0,6666EI
z1
0,6667EI
12
3
2
z3)
0,3333
3
z1
0
(2
3
2EI
M
1
1
2
1
10
1
1
2
1
01
+
⋅
−
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
−
+
⋅
=
z3
0,3750EI
z2
1EI
z3)
0,25
3
0
z2
(2
4
2EI
M
z3
0,3750EI
z2
0,5EI
z3)
0,25
3
z2
0
(2
4
2EI
M
z3
0,1875EI
z3)
0,25
(0
4
3EI
M
22,5
z2
0,6945EI
16
6
20
3
0)
(z2
6
)
3E(1,389I
M
0,1667
z1
0,6738EI
z2
1,348EI
12
1
2
0)
3
z1
z2
(2
4,123
)
2E(1,389I
M
0,1667
z2
0,6738EI
z1
1,348EI
12
1
2
0)
3
z2
z1
(2
4,123
)
2E(1,389I
M
1
1
1
25
1
1
1
52
1
1
43
1
1
23
1
1
2
1
21
1
1
2
1
12
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
−
+
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
−
+
⋅
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
−
⋅
=
⋅
⋅
−
−
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
−
+
⋅
=
−
⋅
+
⋅
=
⋅
−
⋅
−
+
⋅
=
Krzysztof Wójtowicz
Strona 5
Krzysztof Wójtowicz
Strona 6
Z równowagi węzłów otrzymujemy
r
11
-1,348EI
1
-1,333EI
1
=0
⇒ r
11
=2,681EI
1
r
12
-0,6738EI=1=0
⇒ r
12
= r
21
= 0,6738EI
1
r
13
- (-0,6666EI
1
)=0
⇒ r
13
= r
31
= -0,6666EI
1
r
22
-0,6945EI-EI
1
-1,348EI
1
=0
⇒ r
22
= 3,0425EI
1
r
23
- (-0,375EI
1
)=0
⇒ r
23
= r
32
= -0,375EI
1
r
1P
- (-0,1667)-1,5=0
⇒ r
1P
= 1,3333kNm
r
2P
-2- (-22,5)-0,1667=0
⇒ r
2P
= -20,333kNm
Korzystając z zasady pracy wirtualnej obliczamy pozostałe reakcje.
Ψ=0,3333
Ψ =0,25
Ψ=0,25
_
_
_
_
− −
0
0,25
)
0,1875EI
(
0,25
)
0,375EI
(
2
0,3333
)
0,6666EI
(
2
1
r
_____
1
_____
1
________
1
_
33
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
r
33
= 0,6787EI
1
−
−
_
_
_
_
Ψ=0,25
Ψ=0,25
Ψ=0,3333
0A
→
0+
01
_
ψ
*1,5=H
A
⇒ H
A
=
___
5
,
0
Krzysztof Wójtowicz
Strona 7
H
B
=
_
1 ponieważ pręty 01, 52, 43 nie doznają przesuwu pionowego zatem pręt 12 ulegnie
tylko przesuwowi poziomemu o wartości 1
Ponieważ pręt 23 doznaje przesuwu poziomego siła pionowa P=20kN nie wykona pracy.
0
1
2
0,5
6
0,3333
1,5)
1,5
(
1
r
_
___
________
_
3P
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
−
+
⋅
r
3P
= -5kN
Podstawiając do układu równań kanonicznych otrzymujemy:
=
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
0
5
6787
,
0
375
,
0
6666
,
0
0
333
,
20
375
,
0
0425
,
3
6738
,
0
0
333
,
1
6666
,
0
6738
,
0
681
,
2
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
=
=
=
37202
,
12
086853
,
8
546538
,
0
1
3
1
2
1
1
EI
z
EI
z
EI
z
Podstawiając do wzorów transformacyjnych otrzymujemy wartości momentów
kNm
kNm
-6,0187
1,5
12,372024
0,6666
0,546538
1,333
M
3828
,
9
1,5
2,37202
1
0,6666
0,546538
0,6667
M
10
01
=
+
⋅
−
⋅
=
−
=
−
⋅
−
⋅
=
3,4473kNm
12,37202
0,3750
8,086853
1
M
5961
,
0
12,37202
0,3750
8,086853
0,5
M
3198
,
2
12,37202
0,1875
M
8837
,
16
22,5
8,086853
0,6945
M
4360
,
11
0,1667
0,546538
0,6738
8,086853
1,348
M
0190
,
6
0,1667
8,086853
0,6738
0,546538
1,348
M
25
52
43
23
21
12
=
⋅
−
⋅
=
−
=
⋅
−
⋅
=
−
=
⋅
−
=
−
=
−
⋅
=
=
+
⋅
+
⋅
=
=
−
⋅
+
⋅
=
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
Krzysztof Wójtowicz
Strona 8
Kontrola kinematyczna
H
A
= 0
⇒
0
1
_
=
⋅
∑∫
dx
EI
M
M
N
[
]
%
1
,
0
%
100
3723
,
12
0128
,
0
0128
,
0
3723
,
12
)
8698
,
25
7396
,
15
651
,
14
85541
,
1
794
,
27
241
,
1
(
389
,
1
1
75
,
6
9818
,
3
1
3198
,
2
3
2
4
4
2
1
]
5582
,
21
3
2
3
2
,
1
2
1
)
5582
,
21
3
2
8837
,
16
3
1
(
3
2
,
1
2
1
)
5582
,
21
3
1
8837
,
16
3
2
(
3
4
,
2
2
1
4
,
5
2
1
123
,
4
8
1
2
3
2
)
019
,
6
3
1
436
,
11
3
2
(
123
,
4
4
,
2
2
1
)
019
,
6
3
2
436
,
11
3
1
(
123
,
4
3
2
1
[
389
,
1
1
3
2
1
3
8
3
2
3
2
)
0187
,
6
3
2
3828
,
9
3
1
(
3
3
2
1
1
1
1
2
2
1
=
⋅
=
+
−
−
+
−
+
−
+
+
−
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
EI
EI
EI
Krzysztof Wójtowicz
Strona 9
Obliczenie sił tnących
(
siły tnące obliczamy z sumy momentów, dlatego siły normalne pomijamy na rysunkach gdyż nie
wchodzą one do równań momentowych)
8,1338kN
T
0
1,5
3
2
9,3828
-
6,0187
-
3
T
:
M
2,1338kN
T
0
1,5
3
2
9,3828
-
6,0187
-
3
T
:
M
01
01
1
10
10
0
=
=
⋅
⋅
−
⋅
=
=
⋅
⋅
+
⋅
∑
∑
kN
9910
,
3
T
0
0,5
1
2
-
0
6
11,43
6,0190
4,123
T
:
M
4,4761kN
T
0
0,5
1
2
11,4360
6,0190
4,123
T
:
M
12
12
2
21
21
1
−
=
=
⋅
⋅
+
+
⋅
−
=
=
⋅
⋅
+
+
+
⋅
∑
∑
kN
8140
,
12
T
0
3
20
16,8837
6
T
:
M
kN
1861
,
7
T
0
3
0
2
16,8837
6
T
:
M
23
23
3
32
32
2
=
=
⋅
−
−
⋅
−
=
=
⋅
+
−
⋅
∑
∑
kN
5800
,
0
T
0
3198
,
2
4
T
:
M
kN
5800
,
0
T
0
3198
,
2
4
T
:
M
34
34
4
43
43
3
=
=
−
⋅
=
=
−
⋅
∑
∑
kN
7128
,
0
T
0
4473
,
3
5961
,
0
4
T
:
M
kN
7128
,
0
T
0
4473
,
3
5961
,
0
4
T
:
M
52
52
2
25
25
5
−
=
=
+
−
⋅
−
=
=
+
−
⋅
∑
∑
Krzysztof Wójtowicz
Strona 10
Obliczenie sił normalnych
(siły normalne obliczamy z sumy na poszczególne osie dlatego momenty pomijamy na rysunkach
gdyż nie wchodzą one w skład równań)
sin
α
=0,24254
cos
α
=0,97014
kN
N
X
19725
,
3
0
1338
,
2
24254
,
0
9910
,
3
97014
,
0
N
0
1338
,
2
sin
9910
,
3
cos
N
:
12
12
12
=
=
−
⋅
−
⋅
=
−
⋅
−
⋅
∑
α
α
4,64729kN
N
0
0,24254
3,19725
0,97014
3,9910
N
-
0
sinα
3,19725
cosα
3,9910
N
-
:
Y
10
10
10
=
=
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
∑
kN
N
Y
kN
N
X
1861
,
7
0
1861
,
7
N
-
:
5800
,
0
0
5800
,
0
N
-
:
34
34
32
32
−
=
=
−
−
=
=
−
∑
∑
kN
N
N
N
5800
,
0
0
N
:
X
32
23
23
32
−
=
=
=
−
∑
kN
2559
,
1
N
0
0,97014
N
-
0,24254
4,4761
0,7128
0,5800
-
0
cosα
N
-
sinα
4,4757
0,7128
0,5800
-
:
X
21
21
21
=
=
⋅
⋅
+
+
=
⋅
⋅
+
+
∑
17,4610kN
N
0
0,24254
2559
,
1
0,97014
4,4761
N
-
12,814
-
0
sinα
2559
,
1
cosα
4,4761
N
-
12,814
-
:
Y
25
25
25
−
=
=
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
∑
α
−3,9910
2,1338
−7,1861
0,5800
Ν
32
Ν
α
25
Ν
−0,7128
−4,4761
21
Ν
12,814
−0,5800
Krzysztof Wójtowicz
Strona 11
Ν 10
Ν 01
Ν 25
Ν 52
Ν 34
Ν 43
2,1332
8,1332
−0,7132
−0,7132
0,5798
0,5798
N
01
=N
10
N
52
=N
25
N
43
=N
34
N
01
=4,64729kN N
52
=-17,4610kN
N
43
=-7,1861kN
+
−
+
−
+
−
8,1338
2,1338
−3,991
−4,4761
12,814
12,814
−71861
−7,1861
0,5800
0,5800
−0,7128
−0,7128
Krzysztof Wójtowicz
Strona 12
Sprawdzenie statyczne
%
01
,
0
%
100
8,1338
0,001
0
0,001
4
2
0,58
-
0,7128
8,1338
-
:
X
=
⋅
≈
=
⋅
+
+
∑
kN
%
00095
,
0
%
100
20
00019
,
0
00019
,
0
20
1861
,
7
4610
,
17
64729
,
4
:
Y
=
⋅
−
=
−
+
+
−
∑
kN
0,0005%
100%
140
0,0007
0007
,
0
71,861
-
69,844
-
1,74
2,1384
-
24,4014
2,3198
-
0,5961
-
9,3828
-
140
9
-
1
-2
10
7,1861
-
4
17,461
-
3
0,58
3
0,7128
-
-
3
8,1338
2,3198
-
0,5961
-
9,3828
-
7
20
1,5
3
2
-
0,5
1
2
2
-
:
M
A
=
⋅
=
+
+
+
+
+
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
∑
kNm
Sprawdzenie naprężeń normalnych od momentu zginającego dla poszczególnych
grup prętów.
Dla pręta 23 największy moment wynosi 21,5582kNm – I=4250cm
4
I240
Dla pręta 01 największy moment wynosi 9,3828kNm – I=3060cm
4
I220
Naprężenia graniczne dla stali f
d
=215MPa
MPa
cm
kN
cm
cm
kNcm
MPa
cm
kN
cm
cm
kNcm
7
,
33
37
,
3
11
3060
28
,
938
8
,
60
08
,
6
12
4250
82
,
2155
2
4
2
4
=
=
⋅
=
=
⋅
Naprężenia są o wiele mniejsze od naprężeń dopuszczalnych . Należy zmienić
przekroje na mniejsze. Ponieważ wartości momentów nie zależą od wartości sztywności
przekrojów tylko ich stosunku ponowne obliczenie momentów dla nowych przekrojów
nie jest konieczne gdy zachowamy ten stosunek.