Elementy dynamiki płynów
1. Zasada zachowania masy – równanie ciągłości przepływu
Natężeniem przepływu nazywamy ilość płynu która w jednostce czasu przepływa
przez jakąś powierzchnię. Rozważmy powierzchnię o polu A. O natężeniu
przepływu decyduje tylko normalna składowa do tej powierzchni wektora
prędkości. Ponieważ ogólnie rzecz biorąc składowa ta ma różne wartości w
różnych punktach (obraz prędkości jest polem). Wobec tego masowe natężenie
przepływu definiowane jest wzorem:
˙m=
∫
A
v
n
dA
Jednostką jest kg/s. Gdy płynem jest ciecz jednorodna (ρ=const), to:
˙m= Q
Q=
∫
A
v
n
dA
gdzie:
- jest objętościowym natężeniem przepływu lub strumieniem
objętości.Jednostką jest m
3
/s
Równanie ciągłości przepływu jest matematyczną formą prawa zachowania masy.
W obszarze który jest objęty przepływem przestrzennym, ściśliwym i nieustalonym
czyli takim że gęstość oraz prędkość są funkcjami miejsca i czasu:
=
x , y , z , t
v=v x , y , z , t
I w którym nie ma źródeł masy ani upustów, wyodrębniamy obszar dV. Równanie
bilansu masy przybiera różniczkową formę równania ciągłości:
∂
∂
t
∂
v
x
∂
x
∂
v
y
∂
y
∂
v
z
∂
z
=
0
W szczególności dla płynu nieściśliwego (ρ = const) i przy wykorzystaniu
niektórych technik rachunku różniczkowego możemy napisać równanie powyższe
w postaci:
∂
v
x
∂
x
∂
v
y
∂
y
∂
v
z
∂
z
=
0
Jeżeli przepływ może być traktowany jako jednowymiarowy, czyli wszystkie
parametry przepływu zmieniają się w zależności od jednej współrzędnej (np. x)
mierzonej wzdłuż osi przepływu o zmiatającej się powierzchni A, to równanie
ciągłości możemy zapisać jako:
∂
A
∂
t
∂
Av
x
∂
x
=
0
Gdzie v
x
będzie w tym przypadku prędkością średnią w danym przekroju.
Dodatkowo jeżeli przepływ w strudze jest stacjonarny oraz nieściśliwy (ρ = const)
to możemy zapisać że dla dowolnie wybranego przekroju strugi natężenie
przepływu jest stałe:
Q=A⋅v
x
=
const
Zatem w sytuacji jak na poniższym rysunku dla przepływu przez zawężający się
obszar spełniona będzie równość:
A2⋅V2=A1⋅V1
Prędkość V2 wzrośnie w porównaniu z
prędkością V1
2. Zasada zachowania energii – równanie Bernoulliego
W rozważaniach technicznych związanych z hydrauliką bardzo szerokie
zastosowanie ma równanie Bernoulliego. Opisuje zachowanie gęstości energii
całkowitej na linii prądu. Obowiązuje ono w podstawowej wersji dla płynu
doskonałego. Założenia dla równania:
●
ciecz jest nieściśliwa
●
ciecz nie jest lepka
●
przepływ bezwirowy
Dla takich założeń możemy napisać dla każdego przekroju przepływu :
e
m
=
V
2
2
gh
p
=
const.
gdzie:
e
m
- energia jednostki masy płynu
ρ
- gęstość cieczy
v
- prędkość cieczy w rozpatrywanym miejscu
h
- wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia
potencjalna
g
- przyspieszenie grawitacyjne
p
- ciśnienie cieczy w rozpatrywanym miejscu
Z równania Bernoulliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi
prawidłowość:
V
1
2
2
gh
1
p
1
=
V
2
2
2
gh
2
p
2
W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (V
1
> V
2
), w związku z tym
panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju. Ciecz płynąc w
rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku, gdzie
przekrój jest mniejszy. Podana wyżej własność cieczy była znana przed
sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć,
stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze zdrowym rozsądkiem wielu ludzi i dlatego
znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny. A także: Ciecz opływając ciało
zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu
jest dłuższa.
Zjawisko to wykorzystywane jest do pomiaru prędkości przepływu w tzw. zwężce
Venturiego. W pewnym miejscu kanału, w którym z prędkością V przemieszcza się
płyn (gaz lub ciecz), znajduje się przewężenie o znacznie mniejszym przekroju. Z
prawa Bernoulliego, oraz warunku ciągłości przepływu, wynika, że kwadrat
prędkości płynu przed zwężką jest wprost proporcjonalny do różnicy ciśnień
przed zwężką i na niej. Mierząc zatem różnicę wysokości h dla danego płynu
możemy obliczyć prędkość przepływu
V
1
2
2
gh
1
p
1
=
V
2
2
2
gh
2
p
2
∣
: g
Jeżeli powyższe równanie podzielimy obustronnie przez g to każdy wyraz
powyższego równania będzie miał wymiar długości (wysokości). Otrzymujemy
wówczas tzw. równanie trzech wysokości:
V
1
2
2g
h
1
p
1
=
V
2
2
2g
h
2
p
2
– ciężar właściwy płynu
V
2
2g
– nazywamy wysokością prędkości
p
– nazywamy wysokością ciśnienia
h
– nazywamy wysokością położenia (lub niwelacyjną)
W sytuacji kiedy ciecz jest lepka w przepływie występowały będą również straty
tarcia, ponadto w miejscach znacznych zmian geometrycznych w przewodzie
(zawężenie przekroju przepływu z ostrą krawędzią) występowały będą również
tzw. straty miejscowe. Równanie Bernoulliego uzupełniamy wówczas o tzw. człon
wysokości strat:
V
1
2
2g
h
1
p
1
=
V
2
2
2g
h
2
p
2
h
s
gdzie:
h
s
=
V
2
2g
- współczynnik strat wyznaczany na drodze doświadczalnej
Przykład – Straty ciśnienia spowodowane zmniejszeniem się przekroju, nagłym z
ostrą krawędzią obliczamy według zależności:
=
F
2
F
1
−
1
2
