TWIERDZENIA STATYKI – REDUKCJE UKŁADU SIŁ 

w-4 

MT_SS - w 4 

1 

1. Każdą  siłę  działającą  na  ciało  sztywne  możemy 

przesunąć  do  dowolnie  wybranego  punktu  0 
przykładając    parę  sił  o  momencie  równym 
momentowi siły względem punktu 0. 

MT_SS - w 4 

2 

2. Dowolny  układ  sił  działających  na  ciało  sztywne 

zastąpić  możemy  siłą  R  przyłożoną  do  dowolnie 
wybranego 

środka 

redukcji 

0 

równą 

sumie 

geometrycznej  wszystkich  sił  układu  oraz  parą  sił  o 
momencie 

M

0

 

równym 

sumie 

geometrycznej 

momentów tych sił względem środka 0. 





































 





n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

M

P

r

M

P

R

1

1

0

1

0

Zadanie domowe 

Nr 1 

MT_SS - w 4 

3 

R    – wektor główny 
M

0

 – moment główny względem punktu 0. 

uwaga: 

• wektor główny nie zależy od wyboru punktu 0 
• moment główny jest zależny od wyboru punktu 0   

MT_SS - w 4 

4 

W  przypadku  gdy  znane  są  składowe  sił  w  prostokątnym 
układzie  współrzędnych,  składowe  wektora  głównego  i 
momentu głównego znajdujemy z następujących zależności: 





R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

P

R

P

R

P

R

z

y

x

z

y

x

n

i

i

z

n

i

iy

y

n

i

i

x

z

x































1

1

1

2

/

1

2

2

2

1

1

1

cos

,

cos

,

cos

,

,

,

,







MT_SS - w 4 

5 

















,

cos

,

cos

,

cos

,

,

,

0

0

2

0

0

2

0

0

2

2

/

1

2

0

2

0

2

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

y

P

x

P

M

M

x

P

z

P

M

M

z

P

y

P

M

M

z

y

n

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

x

z

y

x

x

y

z

z

z

x

y

y

y

z

x

x









































































α

1

, 

β

1

, 

γ

1

 

– kąty, jakie wektor R tworzy z osiami współrzędnych 

α

2

, 

β

2

, 

γ

2

 

– kąty, jakie wektor M tworzy z osiami współrzędnych 

x

i

, y

i

, z

i

    

– współrzędne punktu przyłożenia siły P

i 

MT_SS - w 4 

6 

Działania na wektorach 

(ćwiczenia nr 1) 

1.   Cechy wektora i skalara 

 

2.   

Układ odniesienia 

 

3.   

Dodawanie wektorów 

 

4.   

Rozkładanie wektorów 

 

5.   Wektor przeciwny 

Edmund Wittbrodt, Stefan Sawiak, Mechanika 

ogólna, teoria i zadania, WPG, Gdańsk 2010 

MT_SS - w 4 

7 

6.

Odejmowanie wektorów 

 

7.   

Mnożenie wektora przez skalar 

 

8.   

Rzut wektora na oś 

 

9.   Wektor jednostkowy 

 

10. Wersory 

 

11. 

Analityczny zapis wektora w układzie płaskim 

 

12. 

Analityczny zapis wektora w układzie przestrzennym 

 

13. 

Dodawanie i odejmowanie analityczne wektorów 

MT_SS - w 4 

8 

14. 

Analityczne mnożenie wektora przez skalar 

 

15. 

Iloczyn skalarny dwóch wektorów 

 

16. 

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 

 

17. 

Moment wektora względem punktu 

 

18. 

Moment wektora względem osi 

 

19. Pochodna wektora opisanego w nieruchomym   
      

układzie odniesienia, względem czasu  

 

20. 

Pochodna wektora opisanego w ruchomym układzie   

      

odniesienia, względem czasu  

MT_SS - w 4 

9 

3. Dowolny  układ  sił  działających  na  ciało  sztywne 

możemy  zastąpić  siłą  równą  wektorowi  głównemu  R 
oraz  parą  sił  o  płaszczyźnie  prostopadłej  do  linii 
działania siły R. 

• Układ taki nazywamy 

SKRĘTNIKIEM

, a otrzymujemy go 

poprzez odpowiedni wybór punktu redukcji 0. 

• Linię działania siły R wchodzącej w skład skrętnika 

nazywa się 

OSIĄ CENTRALNĄ

.

 

MT_SS - w 4 

10 

4. Układ  sił  działających  na  ciało  sztywne  możemy 

zredukować  do  jednej  siły  wypadkowej  R  w  przypadku, 
gdy moment główny tego układu sił jest prostopadły do 
wektora głównego. 

MT_SS - w 4 

11 

5. W  przypadku  gdy  układ  sił  redukuje  się  do  siły 

wypadkowej, 

moment 

wypadkowej 

względem 

dowolnego  punktu  równy  jest  sumie  geometrycznej 
momentów  wszystkich  sił  układu  względem  tego 
samego  punktu,  zaś  moment  wypadkowej  względem 
dowolnej  osi  równy  jest  sumie  momentów  sił  układu 
względem tejże osi. 

















































n

i

ix

x

n

i

i

M

R

M

M

R

M

1

1

0

,

0

MT_SS - w 4 

12 

6. W przypadku gdy wektor główny jest równy zero, 
      tzn.    
                                                      
 

 

 

 

        , 

 
       
      sprowadzając układ sił do dowolnego punktu 0      
      otrzymujemy parę sił o momencie równym momentowi      
      głównemu układu. 

0

1









n

i

i

P











n

i

i

M

M

1

0

0

MT_SS - w 4 

13 

Przypadki redukcji układu sił działających na ciało sztywne 

Przypadek  R ≠ 0, M

0

 = 0 mieści się w ramach przypadku 2, 

gdyż  wówczas  punkt  0  leży  po  prostu  na  linii  działania 
wypadkowej. 

Lp. 

R, M

0 

Układ redukuje się do 

1. 

R ≠ 0, M

0

 ≠ 0 

siły i pary sił 

2. 

R ≠ 0, M

0

       R 

jednej siły wypadkowej 

3. 

R = 0, M

0

 ≠ 0 

jednej pary sił 

4. 

R = 0, M

0

 = 0 

sił znajdujących się w 
równowadze 

MT_SS - w 4 

14 

METODA GRAFICZNA 

Wypadkowa sił 

W zbieżnym układzie sił wartość liczbową wypadkowej, 
nachylenie jej prostej działania oraz zwrot wyznaczamy 
konstruując wielobok sił. Położenie wypadkowej w 
planie sił wyznacza punkt zbieżności, przez który 
wypadkowa ta musi przechodzić. 

MT_SS - w 4 

15 

W 

układzie  niezbieżnym  nie  ma  takiego  punktu,  przez  który 

przechodziłyby wszystkie siły, wobec czego ustalenie położenia 
wypadkowej  w  planie 

sił  sprowadza  się  do  wyznaczenia  tego 

punktu, przez 

który ta wypadkowa przejdzie. 

Wyznaczamy 

wypadkową  kolejno  za  pomocą  oddzielnych 

równoległoboków  sił,  składając  ze  sobą  poszczególne  siły 
przecinające się. 

MT_SS - w 4 

16 

Inny sposób wyznaczania w planie sił punktu, przez który 

przechodzi wypadkowa 

• dowolną liczbę sił zamieniamy na dwie siły przecinające 

się  w  dowolnie  wybranym  punkcie  0  planu  sił  zwanym 
biegunem 

 

• punkt  przecięcia  się  sił  składowych  będzie  szukanym 

punktem, przez który przejdzie wypadkowa 

MT_SS - w 4 

17 

Przykład

: układ 3 sił P

1

, P

2

, P

3

 

 

1. Wartość  liczbowa,  nachylenie  i  zwrot  wypadkowej 

wyznaczamy  z  wieloboku  sił  –  tak  jak  dla  zbieżnego 
układu sił. 

MT_SS - w 4 

18 

2. Obieramy w wieloboku sił dowolny punkt 0 i rozkładamy 

siły    P

1

,  P

2

,  P

3

 

w  ten  sposób,  aby  wszystkie  składowe 

tych sił przechodziły przez biegun. 

MT_SS - w 4 

19 

3. Modyfikujemy  wielobok  sił,  zastępując  kolejne  siły  P

1

, 

P

2

, P

3

 

ich składowymi (1,2; -2,3; -3,4). 

• układ sił P

1

, P

2

, P

3 

zastąpiony został siłami 1 i 4 

• Siły te są składowymi wypadkowej W układu sił P

1

, P

2

, P

3

.

   

MT_SS - w 4 

20 

• Siły  2,  -2  i  3,  -3  znoszą  się,  zatem  siły  P

1

,  P

2

,  P

3

 

zastąpione  zostały  siłami  1,  4  przecinającymi  się  w 
punkcie  A,  przez  który  przejdzie  wypadkowa  W,  której 
linię działania przenosimy równolegle z wieloboku sił.