Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
z-transformata (06)
Sławomir Kulesza
Wykład fakultatywny dla studentów
III r. spec. Informatyka ogólna
Rok akademicki 2012/2013
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
z-transformata (06)
Sławomir Kulesza
Wykład fakultatywny dla studentów
III r. spec. Informatyka ogólna
Rok akademicki 2012/2013
z-transformata
●
Istnieją sygnały czasu dyskretnego, które nie
są zbieżne w sensie DTFT, a więc nie
posiadają transformat DTFT, np.:
●
Aby badać własności tych sygnałów w
dziedzinie innej niż czas należy zdefiniować
odpowiednią transformatę - z-transformatę.
x [n]=u[n]
x [n]=sin (ω n)
x [n]=(0.5)
n
u[−n]
z-transformata
●
Z-transformatą sygnału czasu dyskretnego
x[n] nazywamy funkcję:
gdzie: z – jest zmienną zespoloną.
●
Z-transformatę oznaczamy symbolicznie:
X ( z)=
∑
n=−∞
∞
x [n] z
−
n
z [n]⇔
ℤ
−
1
ℤ
X (z)
Przykłady
Z-transformata a DTFT
●
Wyraźmy zmienną z w postaci wykładniczej:
●
Wówczas z-transformata przyjmie postać:
●
Dla porównania, DTFT ma postać:
z=r e
j ω
Z (r e
j ω
)=
∑
n=−∞
∞
x [n] r
−
n
e
−
j ω n
X (e
j ω
)=
∑
n=−∞
∞
x [n]e
−
j ω n
Z-transformata a DTFT
●
Z porównania DTFT oraz z-transformaty
widać, że ta ostatnia jest tożsama DTFT
zmodyfikowanego sygnału x[n]:
̃x [n]= x [n]⋅r
−
n
Interpretacja geometryczna
●
DTFT sygnału x[n] jest zbieżna wtedy i tylko
wtedy, gdy ROC jego z-transformaty zawiera
okrąg jednostkowy.
Zbieżność z-transformaty
●
Z-transformata jest bezwzględnie sumowalna
wtedy i tylko wtedy, gdy:
●
Może zatem zajść sytuacja, że dla pewnych
wartości parametru r z-transformata sygnału
x[n] będzie zbieżna, a jego DTFT – nie.
●
Zbiór wszystkich wartości r, dla których z-
transformata jest zbieżna nazywa się obszarem
zbieżności – ROC (Region of Convergence).
∑
n=−∞
∞
∣
x [n] r
−
n
∣
<∞
Zbieżność z-transformaty
●
Zauważmy, że:
∣
X (z)∣=
∑
n=−∞
∞
∣
x [n]∣⋅∣r
−
n
∣=
∑
n=−∞
−
1
∣
x [n] r
−
n
∣+
∑
n=0
∞
∣
x [n]
r
n
∣
=
...
...=
∑
n=1
∞
∣
x [−n]r
n
∣+
∑
n=0
∞
∣
x [n]
r
n
∣
Zbieżność z-transformaty
Zbieżność
∑
n=1
∞
∣
x [−n]⋅r
n
∣
Zbieżność
∑
n=0
∞
∣
x [n]
r
n
∣
Przykład
●
Wyznaczyć z-transformatę sygnału: x [n]=a
n
⋅
u [n]
X ( z)=
∑
n=0
∞
a
n
⋅
z
−
n
=
∑
n=0
∞
(
a⋅z
−
1
)
n
=
1
1−a⋅z
−
1
; ROC :∣z∣>∣a∣
Przykład
●
Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
x [n]=−a
n
⋅
u [−n−1]
X ( z)=
∑
n=−∞
−
1
(−
a
n
)⋅
z
−
n
=−
∑
n=1
∞
(
a
−
1
⋅
z)
n
=−
a
−
1
⋅
z
1−a
−
1
⋅
z
=
...
...=
1
1−a⋅z
−
1
; ROC :∣z∣<∣a∣
Przykład (cd.)
Jednoznaczność z-transformaty
●
Istnieją sygnały posiadające identyczną z-
transformatę, np. przyczynowy sygnał u[n]
oraz antyprzyczynowy sygnał u[-n-1]:
●
Zamknięta postać z-transformaty nie pozwala
jednoznacznie odtworzyć sygnału w dziedzinie
czasu – wymagana jest także znajomość
ROC.
Z (u [n])=Z (u [−n−1])=
1
1−z
−
1
Jednoznaczność z-transformaty
●
Sygnały czasu dyskretnego x[n] są określone
jednoznacznie poprzez podanie ich z-
transformaty X(z) oraz obszaru zbieżności
ROC.
●
ROC sygnałów antyprzyczynowych leży
wewnątrz okręgu o promieniu r
1
, zaś ROC
sygnałów przyczynowych leży poza okręgiem
o promieniu r
2
.
Przykład
●
Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
●
Rozpatrzmy 2 przypadki:
●
|b| < |a|: obszary nie przekrywają się, więc X[z]
nie istnieje,
●
|b| > |a|:
x [n]=a
n
u [n]+b
n
u [−n−1]
X ( z)=
∑
n=0
∞
(
a⋅z
−
1
)
n
+
∑
n=1
∞
(
b
−
1
⋅
z)
n
; ROC :∣z∣>∣a∣,∣z∣<∣b∣
X [ z ]=
1
1−a⋅z
−
1
−
1
1−b⋅z
−
1
=
b−a
a+b− z−a⋅b⋅z
−
1
; ROC :∣a∣<∣z∣<∣b∣
Przykład
Przykład
Przykład
Pary z-transformat
Wymierna z-transformata
●
Wymierna z-transformata opisywana jest
wyrażeniem postaci:
gdzie: M – jest stopniem wielomianu P(z), zaś
N – stopniem wielomianu D(z)
H (z)=
P ( z)
D( z)
=
p
0
+
p
1
z
−
1
+…+
p
M
z
−
M
d
0
+
d
1
z
−
1
+…+
d
N
z
−
N
Wymierna z-transformata
●
Alternatywna postać wymiernej z-transformaty
opisywana jest wyrażeniem:
Lub w postaci iloczynowej:
H (z)=z
(
N −M )
p
0
z
M
+
p
1
z
M −1
+…+
p
M
d
0
z
N
+
d
1
z
N −1
+…+
d
N
H (z)=z
(
N −M )
p
0
d
0
∏
k=1
M
(
z−α
k
)
∏
k=1
N
(
z−β
k
)
Zera i bieguny wymiernej
z-transformaty
●
Zauważmy, że z-transformata w postaci
iloczynowej:
w punktach α
k
przyjmuje wartość zero, zaś w
punktach β
k
dąży do nieskończoności.
●
Wartości α
k
to zera z-transformaty (zeros -
(o)), zaś wartości β
k
– jej bieguny (poles - (x)).
H (z)=z
(
N −M )
p
0
d
0
∏
k=1
M
(
z−α
k
)
∏
k=1
N
(
z−β
k
)
Zera i bieguny z-transformaty
●
Z postaci iloczynowej:
wynika także, że z-transformata posiada (N-M)
zer w początku układu (z=0).
●
Wymierna z-transformata jest całkowicie
reprezentowana przez podanie wzmocnienia
p
0
/d
0
oraz lokalizację biegunów β
k
i zer α
k
.
H (z)=z
(
N −M )
p
0
d
0
∏
k=1
M
(
z−α
k
)
∏
k=1
N
(
z−β
k
)
Przykład
●
Wyznaczanie zer i biegunów z-transformaty
postaci:
zera: α = 1.2 ± j1.2
bieguny: β = 0.4 ± j0.69
H (z)=
1−2.4 z
−
1
+
2.88 z
−
2
1−0.8 z
−
1
+
0.64 z
−
2
Przykład
Wymierna z-transformata o
współczynnikach rzeczywistych
●
Zera i bieguny wymiernej z-transformaty o
współczynnikach rzeczywistych są liczbami
zespolonymi parami sprzężonymi:
Fakt ten wykorzystuje się przy projektowaniu
filtrów cyfrowych metodą zer i biegunów z-
transformaty.
(
z−(a+ jb)
)
⋅
(
z−(a− jb)
)
=…
…=
z
2
−
2az+a
2
+
b
2
Obszar zbieżności
wymiernej z-transformaty
●
Określmy ROC z-transformaty sygnału:
h[n]=(−0.6)
n
u [n] , H ( z)=
z
z +0.6
⇔
|z|>0.6
ROC wymiernej z-transformaty
●
ROC z-transformaty sygnału prawostronnego
postaci:
jest określona warunkiem:
●
ROC z-transformaty sygnału lewostronnego:
●
Jest określona warunkiem:
x [n]=
(
a (α)
n
+
b(β)
n
)
u [n− N
0
]
,∣α∣<∣β∣
∣β∣<∣
z∣<∞
x [n]=
(
a (α)
n
+
b(β)
n
)
u [−n− N
0
]
,∣α∣<∣β∣
0≤∣z∣<∣α∣
ROC wymiernej z-transformaty
Własności z-transformaty
Odwrotna z-transformata
●
W wielu aspektach technicznych związanych z
przetwarzaniem sygnału istotnego znaczenia
nabiera problem odwracania z-transformaty,
czyli przejścia od X(z) do x[n].
●
Odwracanie z-transformaty odbywa się
zasadniczo metodami:
–
całek Cauchy'ego,
–
tablicową,
–
rozkładu na ułamki proste,
–
długiego dzielenia.
Metoda całek Cauchy'ego
Metoda całek Cauchy'ego
Metoda tablicowa
●
Najprostszą metodą jest doprowadzenie danej z-
transformaty do postaci ujętej w tablicach i
skorzystanie z gotowego wyrażenia na odwrotną
z-transformatę funkcji.
●
Ponieważ z-transformata jest przekształceniem
liniowym, wystarczy przedstawić ją jako
kombinację liniową z-transformat elementarnych.
Tablica par z-transformat
Przykład
●
Znaleźć odwrotną z-transformatę funkcji:
●
Przekształćmy powyższe wyrażenie do postaci:
●
Porównując z danymi z tabeli znajdujemy, że:
H (z)=
0.5z
z
2
−
z+0.25
∣
z∣>0.5
H (z)=
0.5z
−
1
(
1−0.5z
−
1
)
2
h[n]=n(0.5)
n
u [n]
Metoda rozkładu na ułamki proste
●
Obszarem zbieżności wymiernej z-transformaty
H(z) sygnału przyczynowego h[n] jest obszar
leżący na zewnątrz koła.
●
Metoda rozszerzania ułamków częściowych
polega rozbijaniu funkcji H(z) na sumę
prostszych wyrazów, których odwrotne z-
transformaty można znaleźć np. metodą
tablicową.
Rozkładanie na ułamki proste
●
Wymierna z-transformata dana jest wyrażeniem:
●
Jeśli M≥N, wówczas funkcja wymierna H(z) jest
ułamkiem niewłaściwym.
●
Można w takiej sytuacji dokonać dzielenia
wielomianu P(z) przez D(z) i zapisać wynik w
postaci zawierającej ułamek właściwy P
1
/D:
H (z)=
∑
k=0
M −N
α
k
z
−
k
+
P
1
(
z)
D( z)
H (z)=
P ( z)
D( z)
=
p
0
+
p
1
z
−
1
+…+
p
M
z
−
M
d
0
+
d
1
z
−
1
+…+
d
N
z
−
N
Przykład
●
Dany jest ułamek niewłaściwy postaci:
●
Dokonując długiego dzielenia wielomianów
otrzymamy ostatecznie, że:
H (z)=
2+0.8 z
−
1
+
0.5 z
−
2
+
0.3 z
−
3
1+0.8 z
−
1
+
0.2 z
−
2
H (z)=−3.5+1.5 z
−
1
+
5.5+2.1 z
−
1
1+0.8z
−
1
+
0.2z
−
2
Wydzielanie ułamka właściwego
1.5 z
−
1
−
3.5
0.3 z
−
3
+
0.5 z
−
2
+
0.8 z
−
1
+
2: 0.2 z
−
2
+
0.8 z
−
1
+
1
−(
0.3 z
−
3
+
1.2 z
−
2
+
1.5 z
−
1
)
= −
0.7 z
−
2
−
0.7 z
−
1
+
2
−
0.7 z
−
2
−
2.8 z
−
1
−
3.5
=
2.1 z
−
1
+
5.5
Reszta z dzielenia
Odwrotna
kolejność!!!
Część wydzielona
Bieguny pojedyncze
●
Gdy H(z) jest ułamkiem właściwym z
pojedynczymi, rozdzielonymi biegunami λ
k
,
można ją wówczas przedstawić w postaci
sumy ułamków prostych:
●
Stałe r
k
w powyższym wzorze to tzw. residua
funkcji H(z).
H (z)=
∑
k=1
N
r
k
1−λ
k
z
−
1
Residua
●
Wartości residuów obliczamy ze wzoru:
●
Ponieważ zakładamy przyczynowość
badanych sygnałów (ROC: |z| > |λ
k
|), zatem:
r
k
=(
1−λ
k
z
−
1
)⋅
H ( z)∣
z=λ
k
H (z)=
∑
k=1
N
r
k
1−λ
k
z
−
1
⇒
Z
−
1
g [n]=
∑
k=1
N
r
k
(λ
k
)
n
u [n]
Przykład
●
Znaleźć odwrotną z-transformatę funkcji:
●
Funkcja ma dwa rozdzielone bieguny: -0.6, 0.2
●
Dokonujemy rozkładu na ułamki proste:
H (z)=
1+2z
−
1
(
1−0.2z
−
1
)(
1+0.6z
−
1
)
H (z)=
r
1
1−0.2z
−
1
+
r
2
1+0.6z
−
1
Przykład
●
Obliczamy wartości residuów:
●
Poszukiwana odwrotna z-transformata ma
więc postać:
r
1
=(
1+0.6z
−
1
)
H ( z)∣
z=−0.6
=
1+2z
−
1
1−0.2z
−
1
∣
z=−0.6
=−
1.75
r
2
=(
1−0.2z
−
1
)
H (z)∣
z=0.2
=
1+2z
−
1
1+0.6z
−
1
∣
z=0.2
=
2.75
h[n]=−1.75(−0.6)
n
u [n]+2.75(0.2)
n
u [n]
Przykład
●
Wartości residuów można także obliczyć
doprowadzając sumę ułamków prostych z
powrotem do postaci wyjściowej i porównując
wartości powstałych wyrażeń:
H ( z)=
r
1
1−0.2z
−
1
+
r
2
1+0.6z
−
1
=…
…=
(
r
1
+
r
2
)+(−
0.2 r
1
+
0.6 r
2
)
z
−
1
(
1−0.2z
−
1
)(
1+0.6z
−
1
)
=
1+2z
−
1
(
1−0.2z
−
1
)(
1+0.6z
−
1
)
{
r
1
+
r
2
=
1
−
0.2 r
1
+
0.6 r
1
=
2
⇒
{
r
1
−
1.75
r
2
=
2.75
Bieguny wielokrotne
●
Gdy H(z) jest ułamkiem właściwym z L-krotnym
biegunem λ
1
, i pozostałymi biegunami
pojedynczymi, należy ją wówczas przedstawić w
postaci:
H (z)=
∑
k=1
L
β
k
(
1−λ
1
z
−
1
)
k
+
∑
k=2
N − L+1
r
k
1−λ
k
z
−
1
Bieguny wielokrotne
●
Stałe β
k
w powyższym wzorze (nie będące
residuami dla k>1) oblicza się ze wzoru:
●
Użyteczny wzór dla biegunów podwójnych:
β
k
=
1
(
L−k )! (−λ
1
)
L−k
d
L−k
d ( z
−
1
)
L−k
(
(
1−λ
1
z
−
1
)
L
H (z)
)
∣
z=λ
1
H (z)=
1
(
1−λ z
−
1
)
2
⇔
Z
h [n]=(n+1)(λ)
n
u [n]
Przykład
●
Dana jest funkcja H(z) postaci:
H ( z)=
1
(
1−
1
2
z
−
1
)(
1+
1
3
z
−
1
)
2
=
...
...=
r
1
1−
1
2
z
−
1
+
β
1
1+
1
3
z
−
1
+
β
2
(
1+
1
3
z
−
1
)
2
=
...
...=
0.36
1−
1
2
z
−
1
+
0.24
1+
1
3
z
−
1
+
0.4
(
1+
1
3
z
−
1
)
2
Metoda długiego dzielenia
wielomianów
●
Istotą tej metody jest przedstawienie funkcji
wymiernej w postaci szeregu potęgowego z
-k
,
gdy sygnał jest przyczynowy, i z
k
, gdy sygnał
jest antyprzyczynowy.
●
Z własności z-transformaty wynika, że
współczynnik stojący przy wyrazie z
-k
jest
jednocześnie poszukiwaną k-tą próbką
sygnału h[n].
●
Metoda długiego dzielenia prowadzi zwykle do
nieskończonych szeregów potęgowych
zmiennej z
-k
.
Przykład
●
Wyznaczyć odwrotną z-transformatę funkcji
metodą długiego dzielenia wielomianów:
H (z)=
z
−
1
1−2z
−
1
+
z
−
2
,∣z∣>1
Przykład
z
−
1
+
2 z
−
2
+
3 z
−
3
+…
z
−
1
:1−2 z
−
1
+
z
−
2
−(
z
−
1
−
2 z
−
2
+
z
−
3
)
=
2 z
−
2
−
z
−
3
−(
2 z
−
2
−
4 z
−
3
+
2 z
−
4
)
=
3 z
−
3
−
2z
−
4
H (z)=0+ z
−
1
+
2 z
−
2
+
3 z
−
3
+…
h[n]=[0 ,1, 2, 3,…]
Funkcja przenoszenia
●
Funkcja odpowiedzi częstotliwościowej H(e
jω
)
układu LTI jest transformatą DTFT jego
odpowiedzi impulsowej h[n].
●
Funkcja odpowiedzi częstotliwościowej zawiera
kompletną informację o zachowaniu się układu w
dziedzinie częstotliwości, jednak z uwagi na
zespoloną postać, trudno nią manipulować przy
kształtowaniu charakterystyk filtrów.
●
Z drugiej strony, z-transformata jest wielomianem
zmiennej z
-1
i dla rzeczywistych h[n] jest
wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.
Funkcja przenoszenia
●
Wiemy, że:
●
Funkcja przenoszenia H(z) dana jest jako:
●
Jest to więc funkcja wymierna zmiennej z
y [n]=
∑
k=−∞
∞
x [n] h[n−k ]
Y (z)= X ( z) H ( z)
H (z)=
Y ( z)
X ( z)
Funkcja przenoszenia filtrów FIR
●
W przypadku filtrów FIR ich odpowiedź
impulsowa zawiera skończoną liczbę próbek,
a odpowiedź układu ma postać:
●
Funkcja przenoszenia ma zatem postać:
y [n]=
∑
k=N
1
N
2
x [k ] h[n−k ]
H (z)=
∑
k=N
1
N
2
h[k ] z
−
k
Funkcja przenoszenia filtrów IIR
●
Filtry IIR opisywane są równaniami
różnicowymi o stałych współczynnikach:
●
Po zastosowaniu z-transformaty, otrzymujemy
wyrażenie:
∑
k=0
N
a
k
y [n−k ]=
∑
k=0
M
b
k
x [n−k ]
∑
k=0
N
a
k
z
−
k
Y ( z)=
∑
k=0
M
b
k
z
−
k
X ( z)
Funkcja przenoszenia filtrów IIR
●
Stąd, po przekształceniach funkcja przenoszenia
ma postać:
●
Ponieważ odpowiedź jest sygnałem
przyczynowym, ROC tej funkcji spełnia warunek:
H (z)=
Y ( z)
X ( z)
=
∑
k=0
M
b
k
z
−
k
∑
k=0
N
a
k
z
−
k
∣
z∣>max
k
∣λ
k
∣
Stabilność filtrów
●
Filtry z odpowiedzią impulsową h[n] są
stabilne wtedy, gdy:
●
Często trudno jednak sprawdzić ten warunek
wprost, zatem kryterium stabilności
wyprowadza się w oparciu o położenie
biegunów funkcji przenoszenia H(z).
∑
k=−∞
∞
∣
h[n]∣<∞
Stabilność filtrów
●
Jeśli ROC funkcji przenoszenia filtru LTI
zawiera koło jednostkowe, filtr jest stabilny w
sensie BIBO.
●
Wszystkie bieguny stabilnej funkcji
przenoszenia H(z) filtra przyczynowego
muszą leżeć wewnątrz koła jednostkowego.
●
Wszystkie bieguny stabilnej funkcji
przenoszenia H(z) filtra antyprzyczynowego
muszą leżeć na zewnątrz koła
jednostkowego.