MECHANIKA BUDOWLI
Architektura sem. II letni
Warunki równowagi: SIŁY
WEWNĘTRZNE
dr inż. Marek BARTOSZEK
KTKB p.126 WB
22 marzec 2011
Za wszystkie uwagi odnośnie poniższych wykładów z góry dziękuję.
Jeśli ktoś chciałby wykorzystać te materiały to proszę o kontakt.
www.rb.polsl.pl
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
2
Warunki równowagi statycznej
Przypomnienie zasad tworzenia warunków
równowagi dla dowolnego ustroju
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
3
Równowaga statyczna konstrukcji
●
Statyka
budowli
–
zajmuje się konstrukcjami, na które działają zrównoważone
układy sił
(lub – zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona – nie działają żadne
siły)
;
–
takie obiekty pozostają w spoczynku – są
statyczne
(lub
poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym)
.
●
Budowla
– t
o przedmiot inżynierskiej działalności człowieka
na
stale związany z podłożem
(gruntem lub nawet inną budowlą) .
●
Związanie z podłożem
unieruchamia budowlę
odróżniając ją
od
mechanizmów
(użytecznych na Wydziale Mechanicznym) .
●
Skoro
budowla jest nieruchoma to oznacza, że siły na nią działające
są w równowadze statycznej
, tzn.:
obciążenia zewnętrzne jako siły
czynne są w równowadze z reakcjami podpór, czyli siłami biernymi.
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
4
Równowaga statyczna konstrukcji
Przypomnienie: więzy i reakcje
●
Pojedynczy element
na płaszczyźnie
ma trzy stopnie
swobody
i aby go unieruchomić potrzeba
trzech więzów
łączących go z podłożem
●
Ustrój złożony z
„e” elementów
ma
3
*
e
stopni swobody i
tyle właśnie potrzebuje więzów aby go unieruchomić. Te
więzy łączą elementy:
–
pomiędzy sobą – to
więzy wewnętrzne
,
–
lub z podłożem – to
więzy zewnętrzne
.
●
W każdym
z więzów
, na skutek działania obciążeń
pojawiają się
siły bierne –
reakcje
.
●
Aby wyznaczyć
reakcje
więzów
układa się
warunki
równowagi statycznej
.
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
5
Równowaga statyczna konstrukcji
stat. wyznaczalność i geometr. niezmienność
●
Warunek konieczny statycznej wyznaczalności
:
W=
s.s.
-(
w.w.
+
w.z.
)=3*
e
-(2*
p
+
r
)=0
●
Ustrój
o takiej samej liczbie więzów jak stopni swobody
(W=0)
może być
statycznie wyznaczalny
– z warunków
równowagi statycznej można wyznaczyć nieznane reakcje
więzów, ale więzy muszą być właściwie rozmieszczone.
●
Ustrój
o większej liczbie więzów niż stopni swobody
(W<0)
jest
statycznie niewyznaczalny
– nie ma wystarczającej
liczby niezależnych równań równowagi aby wyznaczyć
reakcje nadliczbowych więzów.
●
Jeśli ustrój ma
mniej więzów niż stopni swobody
(W>0) to
nie można go unieruchomić – jest
mechanizmem
(jest
geometrycznie zmienny
i
statycznie niewyznaczalny
).
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
6
Równowaga statyczna konstrukcji
Przypomnienie: dobór warunków równowagi
●
Liczba niezależnych równań równowagi
ułożonych
dla
całego ustroju
jest stała:
w 2D są tylko 3 takie równania
.
●
W ustroju złożonym z
„e” elementów
jest w sumie
3*e
nieznanych reakcji więzów zewnętrznych i wewnętrznych.
●
Kolejne warunki równowagi
– poza trzema dla całości –
układa się
dla dowolnej części ustroju
(jednej lub kilku).
●
Więzy
łączące
wydzieloną
część konstrukcji z resztą
ustroju
zastępuje się
siłami wewnętrznymi
,
działającymi na
obie części konstrukcji z przeciwnymi zwrotami
.
●
Każda dowolna
, nawet najmniejsza, wydzielona
część
konstrukcji
musi
być w równowadze – czyli
spełniać
ułożone dla niej warunki równowagi (jak cała konstrukcja)
.
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
7
Warunki równowagi statycznej
Warunki równowagi dla części ustroju
Przekrój przez przegub – siły wewnętrzne
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
8
Warunki równowagi statycznej
Reakcje wyznaczone w ostatnim przykładzie
Schemat statyczny ramy
stat.
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
Przyjmijmy w ostatnim zadaniu
α
=60°
oraz P=12*2
0.5
kN
Poprzednio wybrane równania
pozwalają obliczyć reakcje:
L
P
=12*2
0.5
kN
r=3
H
A
M
V
A
B
C
D
H
D
P
y
P
x
r=1
p=1
L/2
L/2
α
x
y
M =−PL∗[
1
2
1
2
3
2
]=
=−
2
3
4
PL
H
A
=−
P
x
−
H
D
=−
1
2
P−
3
4
P=
=−
2
3
4
P
V =P
y
=
3
2
P
H
D
=
1
2
P∗
3
2
=
3
4
P
4 rakcje
w. zewn.
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
9
Warunki równowagi statycznej
Oswobodzenie z więzów zewnętrznych
VI zasada statyki (zasada
oswobodzenia z więzów)
mówi, że:
każde ciało można oswobodzić
z więzów, zastępując ich
działanie reakcjami,
a następnie rozpatrywać je
oddzielnie jako ciało
swobodne, znajdujące się
pod działaniem sił czynnych
i biernych (obciążeń i reakcji
więzów).
Zgodnie z tym aksjomatem
odrzucamy
podpory
a
pozostawiamy odpowiednie
reakcje
– jak na rysunku.
L
P
=12*2
0.5
kN
H
A
M
V
A
B
C
D
H
D
P
y
P
x
p=1
L/2
L/2
α
L
x
y
M =−
2
3
4
PL
H
A
=−
2
3
4
P
V =
3
2
P
H
D
=
3
4
P
4 rakcje w. zewn.
P
y
=
3
2
P
P
x
=
1
2
P
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
10
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne
jako „reakcje”
więzów wewn.
Przegub B to
dwa więzy
wewnętrzne
blokujące
możliwość wzajemnego
przesuwu obu części
w dwóch kierunkach.
Można “rozciąć„ przegub B
zastępując
dwa więzy
wewnętrzne
w przegubie
dwoma
„reakcjami” – zgodnie
z
aksjomatem oswobodzenia
z więzów
.
Przegub nie blokuje obrotu
(brak odpowiedniego więzu)
więc nie ma tam momentu
skupionego (
M
B
=0).
x
y
H
B
V
B
H
B
V
B
H
A
M
V
A
B
L
e1
Przekrój I-I przez przegub
L
P
C
D
H
D
α
L/2
L/2
e2
Ι
Ι
Przegub jednokrotny
p=1
, to dwa
więzy
wewnętrzne:
2*
p=2 w.w.
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
11
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju
Więzy wewnętrzne
przesuwu
zastąpiono dwoma
„reakcjami”
więzów wewn
.
–
siłami wewnętrznymi:
H
B
oraz
V
B
.
Siły wewnętrzne
H
B
i V
B
przyłożono do obu części
z przeciwnymi zwrotami,
gdyż każda z części
oddziałuje na drugą z taką
samą siłą ale w przeciwnym
kierunku – zgodnie
z zasadą
akcji i reakcji (V zasada
statyki).
Przegub jednokrotny
p=1
, to dwa
więzy
wewnętrzne:
2*
p=2 w.w.
x
y
H
B
V
B
H
B
V
B
L
P
C
D
H
D
α
L/2
L/2
e2
H
A
M
V
A
B
L
e1
Ι
Ι
Przekrój I-I przez przegub
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
12
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju
Siły wewnętrzne H
B
i V
B
są
nieznane, tak samo jak (były
nieznane)
reakcje więzów
zewn (reakcje podporowe)
.
Element “
e2
” ma 3 więzy:
1 zewn
. w podporze D oraz
2 wewn.
w przegubie B.
Element “
e1
” ma 5 więzów:
3 zewn.
w podporze A oraz
2 wewn.
w przegubie B.
Cała rama ma w sumie
6
różnych niewiadomych
(w 6
więzach blokujących 6 stopni
swobody – statycznie
wyznaczalnej ramy).
Przegub jednokrotny
p=1
, to dwa
więzy
wewnętrzne:
2*
p=2 w.w.
x
y
H
B
V
B
H
B
V
B
L
P
C
D
H
D
α
L/2
L/2
e2
H
A
M
V
A
B
L
e1
Ι
Ι
Przekrój I-I przez przegub
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
13
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju
Reakcję
H
D
wyznaczyliśmy
już z równania
Σ
M
B
(C)
=0,
które jest warunkiem
równowagi dla części
konstrukcji: elementu “e2”.
Pozostały dwie niewiadome e2:
H
B
, V
B
(1 równ. z 1 niewad.)
.
Obliczymy je z kolejnych dwóch
warunków równowagi
ułożonych dla części e2.
Mamy nieskończenie wiele kombinacji
warunków równowagi dla e2,
przeważnie są zależne ale dla
pojedynczej części w 2D zawsze jest
wiele takich trójek warunków, które są
niezależne.
Przegub jednokrotny
p=1
, to dwa
więzy
wewnętrzne:
2*
p=2 w.w.
x
y
H
B
V
B
H
B
V
B
L
P
C
D
H
D
α
L/2
L/2
e2
H
A
M
V
A
B
L
e1
Ι
Ι
Przekrój I-I przez przegub
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
14
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju
Przykładowo
H
B
i
V
B
można
obliczyć z warunków dla „e2”:
W ten sposób obliczymy
wartości
sił wewnętrznych
w
przekroju I-I
przez przegub
B, w którym moment
M
B
=0
.
Mając siły
H
B
i
V
B
można by
obliczyć reakcje
H
B
, V, M
z
3 niezależnych warunków
równowagi
ułożonych
wyłącznie
dla elementu „e1”
.
Oczywiście już je znamy.
Przegub jednokrotny
p=1
, to dwa
więzy
wewnętrzne:
2*
p=2 w.w.
x
y
H
B
V
B
H
B
V
B
L
P
C
D
H
D
P
y
P
x
α
L/2
L/2
e2
H
A
M
V
A
B
L
e1
Ι
Ι
Przekrój I-I przez przegub
∑
P
y
=
0
oraz
∑
M
C
=
0
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
15
Warunki równowagi statycznej
Warunki równowagi dla części ustroju
Siły wewnętrzne w przekroju
przez węzeł sztywny
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
16
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – w sztywnym węźle
Podobny przekrój można
wykonać w dowolnym
miejscu – np przez węzeł C.
Jest to węzeł sztywny
– z
trzema
więzami
wewnętrznymi
, więc po
rozcięciu trzeba je zastąpić
trzema niewiadomymi
siłami
wewnętrznymi
:
H
C
, V
C
, M
C
.
Oczywiście muszą one działać
jednakowo na obie części
ustroju lecz mieć przeciwne
zwroty – zgodnie
z V. zasadą
akcji i reakcji
.
Sztywny węzeł to
trzy
więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
H
A
M
V
A
B
L
e1
ΙΙ
ΙΙ
Przekrój II-II
przez węzeł
sztywny
P
α
L/2
L/2
V
C
H
C
M
C
p=1
H
C
V
C
M
C
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
17
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju
Na części C-D są
4
niewiadome
:
H
C
, V
C
, M
C
i
H
D
a na części A-B-C jest aż 6
niewiadomych
:
H
C
, V
C
, M
C
i
H
A
, V
A
, M
A
.
W sumie
mamy
siedem niewiadomych
.
Dla części
C-D ułożymy
3,
dla A-B-C
4 niezależne war.
równowagi, razem 7 równań.
Jednak najlepiej najpierw
wyznaczyć
reakcje podpór
a dopiero później tylko 3
dodatkowe nieznane siły.
wewnętrzne:
H
C
, V
C
, M
C
.
Sztywny węzeł to
trzy
więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
H
A
M
V
A
B
L
e1
ΙΙ
ΙΙ
Przekrój II-II
przez węzeł
sztywny
P
α
L/2
L/2
V
C
H
C
M
C
p=1
H
C
V
C
M
C
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
18
Warunki równowagi statycznej
Warunki równowagi dla części ustroju
Siły wewnętrzne w dowolnym przekroju pręta
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
19
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – dowolny przekrój
Podobny przekrój można
wykonać w dowolnym
miejscu np. w
¼ pręta C-B
.
Dwie części jednego pręta
łączą się w sposób sztywny.
W takim połączeniu w
2D
są
trzy więzy wewnętrzne
(w
3D byłoby 6 więzów
).
Więzy
w miejscu rozcięcia
zastępujemy
siłami
wewnętrznymi
:
H
α
, V
α
, M
α
.
Działają one
jednakowo na obie
części lecz z przeciwnymi
zwrotami
.
Sztywny węzeł to
trzy
więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
L/4
α
α
Przekrój
α
-
α
prostopadły
do osi pręta
H
A
M
V
A
B
L
e1
p=1
L/4
P
α
L/2
V
α
H
α
M
α
V
α
H
α
M
α
X
α
=
¼ L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
20
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – dowolny przekrój
Podobnie jak poprzednio mamy
7 niezależnych równań
równowagi statycznej ustroju
(3 dla całości i 4 dla części),
z których wyznaczymy
7 niewiadomych
:
H
α
, V
α
, M
α
oraz
H
D
, H
A
, V
A
, M
A
.
Aby wyznaczyć nieznane
siły
wewnętrzne
:
H
α
, V
α
, M
α
w
przekroju
α
w tym
przypadku, najlepiej najpierw
obliczyć
reakcje podpór
dla
całego (niepodzielonego)
ustroju (nie zawsze możliwe).
W dowolnym przekroju
pręta w 2D mamy
3 więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
L/4
α
α
Przekrój
α
-
α
prostopadły
do osi pręta
H
A
M
V
A
B
L
e1
p=1
L/4
P
α
L/2
V
α
H
α
M
α
V
α
H
α
M
α
X
α
=
¼ L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
21
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne – dowolny przekrój
Znając
reakcje
:
H
D
, H
A
, V
A
, M
A
,
obliczymy
siły wewnętrzne:
H
α
,
V
α
, M
α
(
przekrojowe
) np. z 3
warunków równowagi dla
części
α
-
C
-
D
:
Wartości
sił
, które obliczymy
z równań dla drugiej części,
muszą być takie same więc
używa się ich do sprawdzenia
W dowolnym przekroju
pręta w 2D mamy
3 więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
L/4
α
α
Przekrój
α
-
α
prostopadły
do osi pręta
H
A
M
V
A
B
L
e1
p=1
L/4
P
α
L/2
V
α
H
α
M
α
V
α
H
α
M
α
∑
P
y
=
0 :
∑
P
x
=
0:
∑
M
D
=
0 :
V
=
0
H
=
H
D
=
3
4
P
M
=
H
D
∗
L=
3
4
PL
X
α
=
¼ L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
22
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Funkcje sił wewn. wzdłuż osi pręta
Jak zmienią się wartości
sił
wewnętrznych:
po przesunięciu przekroju
α
-
α
wzdłuż osi pręta?
W powyższych równaniach nie
miało znaczenia położenia
przekroju x
α
=¼ L
więc
wartości sił były stałe dla
dowolnego przekroju
x
α
∈
<0,½L)
.
W dowolnym przekroju
pręta w 2D mamy
3 więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
L/4
α
α
Przekrój
α
-
α
prostopadły
do osi pręta
H
A
M
V
A
B
L
e1
p=1
L/4
P
α
L/2
V
α
H
α
M
α
V
α
H
α
M
α
V
=
0
H
=
H
D
M
=
H
D
∗
L
X
α
=
¼ L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
23
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Funkcje sił wewnętrznych
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
24
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Funkcje
sił wewn. wzdłuż osi pręta
Przesuńmy przekrój
α
-
α
aż
poza
siłę skupioną P.
Położenie przekroju opisuje
współrzędna:
x
α
∈
(½L, L>
.
Warunki równ. dla części
α
-C-D
będą tym razem
funkcjami
współrzędnej
x
α
:
W dowolnym przekroju pręta w 2D
mamy
3 więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
L/2
P
α
L/4
α
α
Przekrój
α
-
α
prostopadły
do osi pręta
H
A
M
V
A
B
L
e1
p=1
L/4
V
α
H
α
M
α
V
α
H
α
M
α
x
α
∈(
½L, L>
∑
P
y
=
0 :
∑
P
x
=
0:
∑
M
D
=
0 :
V
P
y
=
0
H
=
H
D
P
x
M
P
y
∗
x
−
L
2
=
H
D
∗
L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
25
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Funkcje sił wewnętrznych
Wartości
sił wewnętrznych
w
przekroju
α
-
α
:
W tym przypadku
moment
przekrojowy M
α
jest funkcją
współrzędnej
x
α
∈
(½L, L>
;
pozostałe dwie
siły
są
funkcjami stałymi
.
Funkcje te można wykreślić
wzdłuż osi pręta!
W dowolnym przekroju pręta w 2D
mamy
3 więzy wewnętrzne
x
y
L
C
D
H
D
L/2
P
α
L/4
α
α
Przekrój
α
-
α
prostopadły
do osi pręta
H
A
M
V
A
B
L
e1
p=1
L/4
V
α
H
α
M
α
V
α
H
α
M
α
x
α
∈(
½L, L>
V
=
3
2
P
H
=
32
4
P
M
=
3
2
PL−
x
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
26
Warunki równowagi statycznej
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy funkcji sił wewnętrznych
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
27
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Rozważmy prostszy ustrój -
belkę wolno-podpartą ze
wspornikiem jak na rysunku.
Najpierw obliczmy reakcje:
Ustrój składa się z
1 elementu
, który
ma
3 stopnie swobody w 2D
.
3 więzy zewn.
blokują te
3 st. swob
.
–
ustrój jest statycznie wyznaczalny
.
Te
3 liniowe więzy zewn.
nie przecinają się
w jednym punkcie –
ustrój jest
geometrycznie niezmienny
(warunek
wystarczający rozmieszczenia tych 3
więzów)
.
x
y
A
C
H
A
V
A
L/2
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
∑
P
x
=
0:
∑
M
A
=
0 :
∑
M
B
=
0 :
V
C
L=Kq
L
2
∗
5
4
L
V
A
LKq
L
2
∗
L
4
=
0
H
A
=
P
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Spr. ∑ P
y
=
0 :
V
A
V
C
=
q
1
2
L
−
3
8
qL
7
8
qL=
1
2
qL
L≡P
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
28
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Przyjmijmy początek układu
współrzędnych w punkcie
A
.
Osią OX będzie oś belki.
Dokonajmy przekroju
α−α
belki.
Położenie przekroju wyraźmy
współrzędną
x
α
∈
<0,3/2L>
.
Podpory i obciążenia (oraz
ewentualne węzły) dzielą
belkę na 3 przedziały:
I: A-B: x
α
∈
<0,½L)
II: B-C: x
α
∈
(½L,L)
III: C-D: x
α
∈
(L,3/2L>
x
y
α
α
y
x
α
x
A
H
A
V
A
C
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=q
L
II
III
I
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
29
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Więzy wewnętrzne
w
przekroju
α−α
zastąpimy
siłami
wewnętrzn. (przekrojowymi)
:
N
α
, T
α
, M
α
.
Nazwy
sił wewnętrznych
zależą
od ich działania w stosunku
do osi belki lub w stosunku
do
przekroju
( do osi):
N
– osiowa lub
n
ormalna
T, V
– poprzeczna lub
t
nąca
M
–
m
oment zginający.
W 3D jest 6 więzów i 6 sił wewn.:
N, Ty, Tz, My, Mz, Ms.
x
y
α
α
x
α
A
H
A
V
A
T
α
N
α
M
α
T
α
N
α
M
α
C
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
30
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Zasady znakowania sił wewnętrznych
Zasady
znakowania
sił
wewnętrznych
:
-
dodatnia
siła osiowa
N
działa
od przekroju
– rozciąga
element w miejscu przekroju;
-
dodatnia
siła tnąca
T
kręci
zgodnie ze wskazówkami
zegara względem przekroju
;
-
dodatni
moment M
rozciąga
wybraną przez nas stronę
pręta
(na rysunku kropkami
oznaczono dolną stronę
pręta).
+
+
–
–
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
31
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Która strona belki jest rozciągana przez
M
Dodatni
moment M
rozciąga
wybraną przez nas stronę
pręta a ujemny przeciwną.
W belkach zwykle „wybiera się”
dolną stronę jako „dodatnią”.
x
y
M
α
P
P
T
α
N
α
rozciąganie
ściskanie
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
32
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Szybko określimy
wartości sił
wewnętrznych
zapisując
warunki równ.gi
dla wybranej
części ustroju, od razu
w przekształconej formie
:
po lewej stronie znaku „=”
zapisujemy
obliczaną siłę
;
po
prawej
pozostałe składniki
równania z właściwymi
znakami.
Część ustroju, dla której
będziemy sumowali siły
wybieramy przyjmując tam
początek układu współrzędn.
Tutaj jest to strona
A-
α.
x
y
α
α
x
α
A
H
A
V
A
T
α
N
α
M
α
T
α
N
α
M
α
C
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
33
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Sposób obliczania sił przekrojowych (wewn.)
Siły wewnętrzne są sumami
odpowiednich sił działających
po jednej ze stron przekroju:
-
siła osiowa
N
jest =
sumie
wszystkich sił przyłożonych
po jednej stronie przekroju
i
równoległych do osi pręta
;
-
siła poprzeczna (tnąca)
T
jest
równa sumie wszystkich sił
po jednej stronie przekroju
i
prostopadłych do osi belki
;
-
moment zginający M
jest =
sumie momentów wszystkich
sił po jednej stronie przekroju
względem
śr. ciężk. przekr
.
x
y
α
α
x
α
A
H
A
V
A
T
α
N
α
M
α
T
α
N
α
M
α
C
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
34
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Siły wewnętrzne w przedziale I:
A-B
,
x
α
∈
<0,½L)
:
„–”
gdyż
H
A
działa do ustroju;
„+
V
A
”
kręci wzgl. przekroju
zgodnie ze wskazówkami;
„+”
gdyż
V
A
wygina koniec
pręta w górę rozciągając
zaznaczone
włókna dolne.
x
y
N
=−
H
A
=−
qL
α
α
y x
α
A
H
A
V
A
T
α
N
α
M
α
T
α
N
α
M
α
C
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
T
=
V
A
=−
3
8
qL
M
=
V
A
∗
x
=−
3
8
qL∗x
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
35
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Siły wewnętrzne w przedziale
II:
B-C
,
x
α
∈
(½L,L)
:
gdyż
P
działa „od przekroju”
a
momentu skupionego K
nie rzutuje się na żaden kier.;
gdyż
P
działa prostopadle
a
momentu
nie rzutuje się;
„+K”
gdyż
K
rozciąga
zaznaczone włókna dolne –
kręci w tę stronę co
V
A
.
x
y
N
=−
H
A
P0
=
0
α
α
x
α
y
A
H
A
V
A
L/2
B
T
α
N
α
M
α
T
α
N
α
M
α
C
L/2
V
C
D
q
P=qL
K=qL
2
/4
T
=
V
A
00
=−
3
8
qL
M
=
V
A
∗
x
K
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
36
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Siły wewnętrzne w przedziale
III:
C-D
,
x
α
∈
(L, 3/2L>
:
gdyż nic nowego wzdłuż osi;
gdyż
V
C
kręci zgodnie a
q
przeciwnie do pierwszej skł.;
gdyż
V
C
rozciąga zaznaczony
dół jak
V
A
a
q
przeciwną str.
x
y
N
=−
H
A
P
=
0
α
α
x
α
y
A
H
A
V
A
q
K=qL
2
/4
P=qL
L/2
B
L/2
C
V
C
T
α
N
α
M
α
T
α
N
α
M
α
D
q
M
=
V
A
∗
x
K
V
C
∗
x
−
L−q∗
x
−
L
2
2
T
=
V
A
V
C
−
q∗ x
−
L
=
4
8
qL−q∗x
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
37
II
III
I
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
W zależności od przedziału
otrzymaliśmy następujące
funkcje sił wewnętrznych:
osiowe:
tnące:
momenty:
x
y
N
=−
H
A
P
T
=
V
A
V
C
−
q∗ x
−
L
M
=
V
A
∗
x
K
V
C
∗
x
−
L−q∗
x
−
L
2
2
I i II
III
I
II i III
III
II
I
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
A
C
H
A
V
A
L/2
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
38
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Po podstawieniu obc. i reakcji:
- osiowe:
- tnące:
- momenty:
x
y
N
II
=
N
III
=
0
T
I
=
T
II
=−
3
8
qL
M
II
=−
3
8
qL∗x
1
4
qL
2
N
I
=−
qL
T
III
=
3
2
qL−q∗x
M
I
=−
3
8
qL∗x
M
III
=−
1
2
q x
2
3
2
qL x
−
9
8
qL
2
II
III
I
H
A
=
qL ;V
C
=
7
8
qL ;V
A
=−
3
8
qL
A
C
H
A
V
A
L/2
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
39
II
III
I
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Wykreślmy momenty zginające:
- przedział I (f. liniowa):
- przedział II (f. liniowa):
- przedział III (f. kwadratowa):
x
y
M
I
x
=
0
=
0
A
C
H
A
V
A
L/2
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
M
I
x
=
L
2
=−
3
16
qL
2
M
II
x
=
L
2
=
1
16
qL
2
M
II
x
=
L
=−
1
8
qL
2
M
III
x
=
L
=−
1
8
qL
2
M
III
x
=
3
2
L
=
0
dM
III
dx
=−
q x
3
2
qL≡T
III
Poszukujemy ekstremum
M
α
III
(
x
α
):
T
III
=
3
2
qL−q∗x
extr
=
0
dM
III
dx
=
0 ⇒ x
extr
:
x
extr
=
3
2
L
Dane:
q
, L
M
extr
III
=
M
III
x
extr
=
3
2
L
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
40
II
III
I
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Wykreślmy
momenty zginające
:
- przedział I (f. liniowa):
- przedział II (f. liniowa):
- przedział III (f. kwadratowa):
x
y
A
C
H
A
V
A
L/2
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
M
I
x
=
0
=
0
M
I
x
=
L
2
=−
3
16
qL
2
M
II
x
=
L
2
=
1
16
qL
2
M
II
x
=
L
=−
1
8
qL
2
M
III
x
=
L
=−
1
8
qL
2
M
III
x
=
3
2
L
=
0
M
extr
III
=
M
III
x
extr
=
3
2
L
Na wykresie
M
nie umieszczamy
znaków,
ważne aby wykres był
wykonany po właściwiej stronie
.
[qL
2
]
3/16
1/16
1/8
+
K
M
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
41
II
III
I
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Wykreślmy
siły poprzeczne
T
:
- przedział I (f. stała):
- przedział II (f. stała):
- przedział III (f. liniowa):
x
y
T
I
=−
3
8
qL=
const.
A
C
H
A
V
A
L/2
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
T
III
x
=
L
=
3
2
qL−q
L
=
1
2
qL
T
II
=−
3
8
qL=
const.
T
III
x
=
3
2
L
=
3
2
qL−q
3
2
L
=
0
T
III
=
3
2
qL−q∗
x
V
A
=−
3
8
qL
V
C
=
7
8
qL
Na wykresie
T
ważne są znaki
; a strona, po której będą
zaznaczone rzędne „+” oraz „-”, ma drugorzędne znaczenie.
[qL]
3/8
3/8
1/2
qL/2
T
-
+
V
A
V
C
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
42
II
III
I
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta
Wykreślmy
siły osiowe N
:
- przedział I (f. stała):
czyli ściskanie osiowe
- przedział II (f. stała):
- przedział III (f. stała):
x
y
N
I
=−
qL=
const.
A
C
H
A
V
A
L/2
L/2
L/2
V
C
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
N
II
=
0=
const.
H
A
=
qL
Na wykresie
N
ważne są znaki
; strona, po której będą
zaznaczone rzędne „+” oraz „-”, ma drugorzędne znaczenie.
[qL]
1
N
-
H
A
P
1
N
II
=
0=
const.
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
43
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Zależność pomiędzy wykresami
M
i
T
Wykresy na belkach rysuje się
jeden pod drugim.
Pomiędzy wykresami
M
i
T
zachodzi zależność:
T
są pochodną
M
, więc: tam
jest ekstremum
M
, gdzie
T
zmienia znak; rzędna
wykresu
T
to nachylenie
M
.
Gdy wykres
M
jest linowy, to
wartość
T
można obliczyć:
x
y
A
C
L/2
L/2
L/2
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
[qL
2
]
3/16
1/16
1/8
+
K
M
[qL]
3/8
3/8
1/2
qL/2
T
-
+
V
A
V
C
dM
dx
=
T
V
A
=−
3
8
qL
H
A
=
qL
V
C
=
7
8
qL
∣
T
∣
=
M
x
=
1
8
1
16
qL
2
L/2
=
3
8
qL
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
44
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Zasady tworzenia wykresów sił wewn.
Sporządzanie
wykresów sił
wewnętrznych na podstawie
funkcji jest pracochłonne
.
W praktyce staramy się robić
wykresy bez zbędnych
obliczeń
.
Na podstawie rodzaju i
rozmieszczenia obciążeń
ustala się typ funkcji,
charakterystyczne punkty,
oczywiste rzędne
.
Oblicza się tylko brakujące
rzędne w wybranych
przekrojach
tak aby możliwe
było wykreślenie funkcji.
x
y
A
C
L/2
L/2
L/2
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
[qL
2
]
3/16
1/16
1/8
+
K
M
[qL]
3/8
3/8
1/2
qL/2
T
-
+
V
A
V
C
V
A
=−
3
8
qL
H
A
=
qL
V
C
=
7
8
qL
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
45
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Zasady tworzenia wykresów sił wewn.
Gdzie na wykresie sił wewn.
występuje skok wartości
:
- na
wykr. M
jest skok pod
momentem skupionym K
;
- na
wykr. T
jest skok pod
siłami skupionymi
do osi
,
reakcjami
:
V
A
i
V
B
;
- na
wykr N
jest skok od
siły
skupionej P
działającej
wzdłuż osi
.
W miejscu działania
siły
skupione
j do osi
wartość
momentu
M
po prawej i lewej
stronie jest taka sama –
jest
tylko załamanie
zgodne z
kierunkiem działania siły
.
x
y
A
C
L/2
L/2
L/2
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
[qL
2
]
3/16
1/16
1/8
+
K
M
[qL]
3/8
3/8
1/2
qL/2
T
-
+
V
A
V
C
V
A
=−
3
8
qL
H
A
=
qL
V
C
=
7
8
qL
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
46
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Zasady tworzenia wykresów sił wewn.
Moment skupiony K
powoduje
skok
na
wykresie M
w stronę
zależną od kierunku działania
K:
Pochylenie
wykresu momentów
po obu stronach
K
jest
takie
samo
(funkcje M(x) różnią się
tylko o stałą).
Moment skupiony
nie wpływa
na kształt
wykresu sił
poprzecznych T
ani
sił
osiowych N
.
W przegubie
moment zginający
M
jest
równy zeru
.
x
y
A
C
L/2
L/2
L/2
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
[qL
2
]
3/16
1/16
1/8
+
K
M
[qL]
3/8
3/8
1/2
qL/2
T
-
+
V
A
V
C
V
A
=−
3
8
qL
H
A
=
qL
V
C
=
7
8
qL
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
47
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
Zasady tworzenia wykresów sił wewn.
Wykresem momentów
od
obciążenia równomiernie
rozłożonego q
jest parabola
ramionami skierowana
przeciwnie
do kierunku
działania
obciążenia q
.
Aby
wykreśl
ić
parabolę
potrzeba
3 wartości:
na końcach przedziału
i ekstremum
. Oś symetrii
paraboli przechodzi przez jej
wierzchołek (ekstemum).
Obciążenie
q równomiernie
rozłożone
,
działające
do
osi pręta
zmienia
wykres sił T
liniowo
a nie skokowo.
x
y
A
C
L/2
L/2
L/2
K=qL
2
/4
D
B
q
P=qL
Dane:
q
, L
[qL
2
]
3/16
1/16
1/8
+
K
M
[qL]
3/8
3/8
1/2
qL/2
T
-
+
V
A
V
C
V
A
=−
3
8
qL
H
A
=
qL
V
C
=
7
8
qL
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
48
DZIEKUJĘ ZA UWAGĘ
KONIEC wykładu
22.03.11
dr inż. Marek Bartoszek
49
Siły działające na konstrukcję
przyczyny i skutki
●
Siły czynne
czyli
obciążenia
działające na
konstrukcję
●
Siły bierne
są to
reakcje
oraz siły
wewnętrzne powstające na
skutek działania obciążeń
reakcje pojawiąją się w
podporach podtrzymujących
konstrukcję
wyznacza się je metodami
mechaniki budowli