plik

Fizyka statystyczna 12

Rozk»ad Maxwella (rozk»ad prdkoÑci czstek)

Wprowadïmy

L-przestrze½ okreÑlon przez prostoktny uk»ad

wspó»rzdnych , , . PrdkoÑci kaódej czsteczki odpowiada punkt w

L-przestrzeni. W stanie równowagowym gstoÑ tych punktów zaleóy od

(symetria sferyczna ze wzgldu na jednakowe

uprawnienie wszystkich kierunków), ale w kaódym miejscu pozostaje sta»a

w czasie.

- liczba czsteczek o

prdkoÑciach

g s t o Ñ p u n k t ó w w

L-przestrzeni.

funkcja rozk»adu prdkoÑci

czsteczek gazu.

Fizyka statystyczna 14

Obliczenie sta»ej A

(ca»ka Poissona)

Obliczenie sta»ej "

ZnaleïliÑmy juó, óe

Ze zróóniczkowania wzoru na ca»k Poissona

Fizyka statystyczna 15

Funkcje rozk»adu prdkoÑci czsteczek gazu

(rozk»ad Maxwella)

Ðrednie prdkoÑci czsteczek gazu

PrdkoÑ najbardziej prawdopodobna

Fizyka statystyczna 17

Rozk»ad energii kinetycznej czsteczek

DoÑwiadczalna weryfikacja rozk»adu Maxwella

DoÑwiadczenie Sterna (1920 r.)

Parowanie atomów srebra z powierzchni

rozgrzewanej prdem elektrycznym platynowej nici.

Szczelina w cylindrze wewntrznym powoduje

powstanie wskiego Ñladu atomów srebra na

cylindrze zewntrznym.

Po wprawieniu uk»adu w ruch obrotowy pojawia si

si»a Coriolisa

i przesuwa Ñlad na

cylindrze zewntrznym proporcjonalnie do

prdkoÑci.

Fizyka statystyczna 18

DoÑwiadczenie Lammerta (1929 r.)

Gdy tarcze obracaj si z prdkoÑci

ktow T, uk»ad przepuszcza czsteczki

o prdkoÑci

, gdzie jest

ktem jaki tworz szczeliny tarcz.

Rozk»ad Boltzmanna

Wzór barometryczny

- liczba czstek w jednostce objtoÑci

(koncentracja czstek)

Rozk»ad Boltzmanna.

Rozk»ad Boltzmanna jest to rozk»ad koncentracji czsteczek w dowolnym

potencjalnym polu si», o ile mamy do czynienia ze zbiorem jednakowych

czstek poruszajcych si chaotycznym ruchem cieplnym.

Liczba czstek w elemencie objtoÑci

Fizyka statystyczna 19

Prawo Maxwella-Boltzmanna

Gdy ca»kowita energia przyjmuje wartoÑci dyskretne E

, E

, ...

Makrostany i mikrostany

Makrostan

- Stan cia»a makroskopowego (sk»adajcego si

z bardzo duóej liczby czsteczek) za pomoc

parametrów makroskopowych (np. objtoÑ,

temperatura, ciÑnienie, energia wewntrzna)

Mikrostan

- Stan cia»a makroskopowego za pomoc

parametrów mikroskopowych, to znaczy tak

dok»adnie, óe znane s stany wszystkich jego

czsteczek.

Prawdopodobie½stwo

termodynamiczne

(waga statystyczna)

- Liczba róónych mikrostanów odpowiadajca

danemu ma krostanowi.

Fizyka statystyczna 21

b) przypadek dowolnej liczby (N) czstek

OkreÑlmy liczb mikrostanów odpowiadajcych makrostanowi, w którym w

lewej po»owie naczynia jest n czsteczek, a w prawej N - n. Liczba ta jest

równa liczbie kombinacji po n elementów z N elementów i wynosi

Zestawienie wartoÑci

obliczonych dla N = 24

Fizyka statystyczna 22

Fluktuacje

(b»dzenie

przypadkowe)

- Losowe odchylenia (

) pewnej wielkoÑci

fizycznej od wartoÑci Ñredniej

Ðrednia wartoÑ fluktuacji jest równa zero.

Ogólnie róóna od zera jest Ñrednia fluktuacja kwadratowa

lub wzgldna fluktuacja wielkoÑci

Gdy jest wielkoÑci addytywn, wtedy

- liczba czsteczek tworzcych cia»o.

Dla przypadku czterech czstek w dwóch po»owach naczynia

Prawie przez ca»y czas uk»ad znajduje si w stanach, w których odchylenia

liczby czsteczek od Ñredniej nie przewyószaj Ñredniej fluktuacji

kwadratowej.

Fizyka statystyczna 23

Stan równowagi jest stanem o maksymalnym prawdopodobie½stwie

termodynamicznym. Uk»ad pozostaje w tym stanie przez przewaóajc czÑ

czasu.

Procesy nieodwracalne s procesami przejÑcia uk»adu ze stanu o bardzo

ma»ym prawdopodobie½stwie termodynamicznym do stanu o duóym

prawdopodobie½stwie termodynamicznym. Proces odwrotny jest skrajnie

nieprawdopodobny.

Entropia

Prawdopodobie½stwo termodynamiczne nie jest wielkoÑci addytywn.

Aby to pokaza, weïmy pod uwag uk»ad sk»adajcy si z dwóch

praktycznie nie oddzia»ywujcych ze sob poduk»adów. Mamy

ale równieó

WielkoÑci addytywna jest

. Jako wielkoÑ charakteryzujc stan

wprowadza si wic entropi uk»adu zdefiniowan jako

(k- sta»a Boltzmanna)

G»ówne w»aÑciwoÑci entropii

Entropia uk»adu odizolowanego w wyniku procesów nieodwracalnych

roÑnie (dS > 0).

druga zasada termodynamiki

Entropia uk»adu izolowanego moóe jedynie rosn.

Entropia uk»adu w stanie równowagi jest maksymalna.

Fizyka statystyczna 24

Entropia uk»adu nieizolowanego

Znajdïmy zwizek przyrostu entropii

z dostarczonym do uk»adu ciep»em

. Weïmy pod uwag jednoatomowy gaz doskona»y i znajdïmy jego

entropi

jako funkcj objtoÑci i temperatury.

- stan równowagi,

- brak zewntrznych si»,

- liczba czsteczek wynosi N.

Makrostan

- okreÑlony przez wartoÑci objtoÑci i temperatury

Mikrostan

- okreÑlony przez wspó»rzdne i prdkoÑci wszystkich

N czsteczek.

- prawdopodobie½stwo termodynamiczne

makrostanu.

OkreÑlenie S

prz

Dzielimy objtoÑ na r jednakowych szeÑciennych komórek o

objtoÑci

. Mamy

. Za»oóymy

Rozwaóymy makrostan w którym w poszczególnych komórkach jest

odpowiednio

, ...,

czsteczek.

Wewntrz komórek ustalmy „miejsca”, w których bdziemy

umieszcza czsteczki, realizujc ich rozk»ad w komórkach.

Fizyka statystyczna 25

OkreÑlenie S

prz

c.d.

CzÑ przestrzenn prawdopodobie½stwa termodynamicznego

rozwaóanego makrostanu moóna zapisa w postaci

W stanie równowagi, gdy nie ma zewntrznych pól si», liczby

czsteczek w komórkach s jednakowe i równe

. Std

Dalsze przekszta»cenia

(wzór Stirlinga)

OkreÑlenie S

prdk

Dzielimy L-przestrze½ na jednakowe, szeÑcienne komórki o objtoÑci

, dostatecznie duóej, aby zawiera»a duóo czsteczek.

W stanie równowagi gstoÑ punktów obrazujcych prdkoÑci jest

opisana rozk»adem Maxwella

Document Outline