CPS 1 

2006/2007

 

SYGNAŁY DYSKRETNE 

 

Definicje: 

 
 

U

Sygnały dyskretne w czasie

U

 reprezentowane są przez ciągi liczb i oznaczane 

jako {x[n]} 
 
Elementy tych ciągów nazywa się 

U

próbkami

U

, wartości próbek sygnałów oznacza 

się jako x[n] dla n całkowitych w zakresie 

n

−∞ < < ∞

 

 
Sygnały dyskretne w czasie mogą być zapisane: 
 

1. jako zależności pozwalające obliczyć n-tą wartość ciągu. Na przykład: 

 

( )

1

3

0

0

0

n

n

x n

⎧⎪

⎡ ⎤ ⎨

⎣ ⎦

⎪⎩

≥

<

=

 

lub 

{ }

( )

1 1

1

3 9

3

1, , , ,

,

n

x n

⎧

⎫

⎡ ⎤

⎨

⎬

⎣ ⎦

⎩

⎭

=

…

…

 

 

2. jako listy wartości ciągów. Na przykład: 

 

{ }

{

}

,1.1, 0.2,2.1,3.0, 1.2,

x n

↑

⎡ ⎤

⎣ ⎦

=

−

−

…

…  

gdzie strzałka oznacza próbkę o indeksie 

n=0,

 

 
lub 

1

0.2,

0

2.1, 1

3.0

x

x

x

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

− = −

=

=

…

…  

 
 
 

U

Graficzna reprezentacja sygnału dyskretnego w czasie

U

: 

 

MATLAB 

c

lear; 

n=-8:1:27; 
x=0.2+sin(0.13*n); 
plot(n,x); 
grid

 

 

CPS 2 

2006/2007

 

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n

T

x[-3]=x

a

(-3T)

 

 
Sygnał dyskretny najczęściej otrzymuje się w wyniku 

U

próbkowania w równych 

odstępach czasu

U

  sygnału ciągłego w czasie (analogowego). 

 
Wtedy n-tą próbkę opisuje zależność: 
 

( )

( )

,

, 2, 1,0,1,2,

p

p

a

a

t nT

x n

x t

x nT

n

=

⎡ ⎤

⎣ ⎦

=

=

=

− −

…

… 

 
 
Odległość między kolejnymi próbkami  ( 

T

B

p 

B

)  nazywa się 

U

przedziałem 

próbkowania

U

 lub 

U

okresem próbkowania

U

. 

 
Odwrotność okresu próbkowania  nosi nazwę 

U

częstotliwości próbkowania

U

  i 

oznacza się jako  

f

B

p

B

  

1

p

p

f

T

=

 

 
 

Klasyfikacja: 

 

U

Rzeczywiste i zespolone sygnały: 

 
Ze względu na typ wartości próbek sygnały dzielimy rzeczywiste i zespolone. 
W

 

wielu aplikacjach cyfrowego przetwarzania sygnały zespolone mają duże 

zastosowanie. Sygnały zespolone wyraża się jako sumę części rzeczywistej i 
urojonej: 
 

n

n

jy

z

x

n

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

+

=

 

 

CPS 3 

2006/2007

 

lub w postaci wykładniczej: 
 

( )

arg

j

z n

e

n

n

z

z

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎣ ⎦

=

 

 
 

U

Deterministyczne i przypadkowe 

 
Sygnały 

U

deterministyczne

U

  są sygnałami, których wartości są znane dla każdej 

chwili czasu. Sygnały takie można zamodelować jako funkcje czasu. Sygnały 

U

przypadkowe

U

 posiadają przypadkowe wartości i muszą być opisywane 

statystycznie. Program wykładu nie obejmuje klasy sygnałów przypadkowych. 
 
 

U

Parzyste i nieparzyste 

 
Sygnał x[n] nazywa się 

U

parzystym

U

 jeżeli: 

 

x

n

n

x

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎣

⎦

⎣ ⎦

−

=

 

x[n]

n

0 1 2 3 4

-1

-2

-3

-4

 

 
Sygnał x[n] nazywa się 

U

nieparzystym

U

 jeżeli: 

 

x

n

n

x

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎣

⎦

⎣ ⎦

−

= −

 

x[n]

n

0 1 2 3 4

-1

-2

-3

-4

 

CPS 4 

2006/2007

 

U

Okresowe i nieokresowe 

 
Sygnał dyskretny  x[n] nazywa się 

U

okresowym

U

 z okresem N (N jest dodatnią 

liczbą całkowitą) jeżeli:  
 

x

n N

n

x

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎣

⎦

+

=

 dla wszystkich n 

 

x[n]

0

N

-N

2N

n

 

 
 

U

Sygnały o skończonej energii i skończonej mocy: 

 
Jeżeli prąd „i” płynący przez rezystor o wartości „R” wywołuje spadek napięcia 
„u” to chwilowa moc na jednostkę rezystancji jest definiowana jako: 
 

( ) ( ) ( )

( )

2

i t u t

p t

i t

R

⋅

=

=

 

 
Wtedy energia całkowita  na jednostkę rezystancji wynosi: 
 

( )

2

E

dt

i t

∞

−∞

= ∫

 

 
oraz średnia moc  na jednostkę rezystancji wynosi: 
 

( )

/ 2

/ 2

2

1

lim

T

T

T

P

d

T

i t

→∞

−

=

∫

t  

 
Analogicznie, dla sygnału dyskretnego x[n] definiuje się 

U

znormalizowaną 

energię sygnału

U

 jako: 

 

2

n

E

x n

∞

=−∞

⎡ ⎤

⎣ ⎦

= ∑

 

 

CPS 5 

2006/2007

 

oraz znormalizowaną moc średnią sygnału dyskretnego: 
 

2

1

2

1

lim

N

n

N

N

P

x

N

=−

→−∞

n

⎡ ⎤

⎣ ⎦

+

=

∑

 

 
Bazując na tych definicjach sygnały dzieli się na: 
 

- 

U

sygnały o skończonej energii

U

, jeżeli  

0 E

< ∞

<

 oraz P=0; 

 
- 

U

sygnały o skończonej mocy

U

 

0 P

< ∞

<

 oraz 

E

∞

=

 

 
 
 

Podstawowe przebiegi dyskretne: 

 
 

U

Skok jednostkowy: 

 

[ ]

1,

0

1

0,

0

n

n

n

≥

⎧

= ⎨

<

⎩

 

 

 

1[n]

n

0 1 2 3 4

...

1

 

 
 

1[n-2]

n

0 1 2 3 4

...

5 6

1

    

1[-n+1]

n

0 1 2

-1

-2

...

1

 

 

CPS 6 

2006/2007

 

 
 

U

Impuls jednostkowy: 

 

[ ]

1,

0

0,

0

n

n

n

δ

=

⎧

= ⎨

≠

⎩

 

δ

[n]

n

0 1 2 3

-1

 

 

 

n

0 1 2 3 4 5 6

δ

[n-2]

     

n

0 1 2

-1

-2

δ

[n+1]

 

 
Z definicji skoku jednostkowego i impulsu jednostkowego wynikają następujące 
zależności: 
 

0

x n

n

x

n

δ

δ

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

=

 

 

x n

n k

x k

n k

δ

δ

⎡

⎤

⎡ ⎤ ⎡

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎤

⎣

⎦

⎣ ⎦ ⎣

⎦

−

=

−  

 
oraz: 
 

1

1

n

n

n 1

δ

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤ −

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣

⎦

=

−  

 

1

n

k

n

k

δ

=−∞

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎣ ⎦

=

∑

 

 
 

CPS 7 

2006/2007

 

 

U

Rzeczywisty sygnał wykładniczy: 

 

n

a

x n

⎡ ⎤

⎣ ⎦

=

  dla   

n

−∞ < < ∞  

 
Często analizowane są sygnały wykładnicze  jednostronne: 
 

[ ]

[ ]

1

n

n

n

a

x

⋅

=

 

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

n

0.5

x[n]=(0.8)

n

1[n]

 

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

n

0.5

x[n]=(0.8)

n

1[n-3]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

n

0.5

x[n]=(0.8)

(n-3)

1[n-3]

 

 
 
 

U

Zespolony sygnał wykładniczy: 

 

0

j n

e

x n

ω

⎡ ⎤

⎣ ⎦

=

  dla   

n

−∞ < < ∞  

 
Tak opisany sygnał jest okresowy z okresem N jeżeli spełniony jest warunek: 
 

0

2

m
N

ω

π

=

 

 
gdzie m jest liczbą całkowitą dodatnią 
 

CPS 8 

2006/2007

 

Konwersja analogowo-cyfrowa: 

 
Proces próbkowania opisuje się jako mnożenie sygnału analogowego f(t) i 
nieskończonego szeregu impulsów (delt) Diraca  d(t). Impulsy w takim szeregu 
powtarzają się z okresem próbkowania T

B

p

B

.  

 
Szereg impulsów Diraca opisuje zależność: 
 
 

( )

(

)

p

d t

t nT

δ

∞

−∞

=

−

∑

 

 
Na wykresie przedstawia się taki szereg w postaci strzałek o jednostkowej 
długości ( jest to miara pola powierzchni delty), oddalonych od siebie o stały 
przedział czasu równy Tp (okres próbkowania).  
 

0

t

d(t)

1

T

p

(

)

p

nT

t

−

δ

p

nT

t

=

0

 

 
Oznaczając sygnał spróbkowany jako: 
 

( )

( ) ( )

*

f

t

f t d t

=

⋅

 

 

( )

( )

(

)

*

p

f

t

f t

t nT

δ

∞

−∞

=

⋅

−

∑

 

 
i wykorzystując własność filtracyjną delty Diraca otrzymujemy  wyrażenie 
opisujące sygnał dyskretny: 
 

( )

( ) (

*

p

p

)

f

t

f nT

t nT

δ

∞

−∞

=

⋅

−

∑

 

 

CPS 9 

2006/2007

 

Zapis ten należy interpretować  jako szereg  impulsów Diraca o polach równych 
wartościom próbkowanej funkcji analogowej w punktach, w których znajdują 
się impulsy szeregu d(t). 
 

0

t

f*(t)

( ) (

)

p

p

nT

t

nT

f

−

⋅

δ

p

nT

t

=

0

 

 
 

U

Widmo delty Diraca

U

 zgodnie z definicją przekształcenia Fouriera wynosi: 

 

( )

{ }

( )

1

j t

t

t e

dt

ω

δ

δ

∞

−

−∞

=

=

∫

F

 

 

( )

1

t

δ

⎯⎯→

F

 

 
Inne pary transformat Fouriera:  
 

(

)

j T

t T

e

ω

δ

−

−

⎯⎯→

F

 

 

( )

1

2

πδ ω

⎯⎯→

F

 

 

(

)

0

0

2

j t

e

ω

πδ ω ω

⎯⎯→

−

F

 

 
 

U

Widmo przebiegu okresowego.

U

 Do wyznaczenia wykorzystamy zespolony 

szereg Fouriera 
Przebieg okresowy f(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera ma postać 
 

( )

0

jk t

k

k

f t

c e

ω

∞

=−∞

=

∑

 

 
 

CPS 10 

2006/2007

 

Jego transformata Fouriera 
 

( )

{

}

0

jk t

k

k

F j

c e

ω

ω

∞

=−∞

=

∑

F

 

 

( )

{ }

0

jk t

k

k

F j

c

e

ω

ω

∞

=−∞

=

∑

F

 

ostatecznie: 

( )

(

0

2

k

k

F j

c

k

)

ω

π

δ ω

ω

∞

=−∞

=

∑

+

    

 

 

(**) 

gdzie  

( )

0

0

0

0

1

T

jk t

k

c

f t e

T

ω

−

=

∫

dt

   współczynniki szeregu Fouriera 

 

0

0

2

T

π

ω

=

 

  

 

  odstęp między impulsami widma  

t

ω

t

ω

 

 
 
Wniosek: 

 Widmo dowolnego sygnału okresowego, opisuje szereg impulsów 

Diraca oddalonych od siebie o stałą wartość 

ω

B

0

B

 i o polach równych odpowiednio 

2

k

c

π

. 

Sygnał okresowy posiada dyskretne widmo

. 

Wykorzystując właściwość symetrii przekształcenia Fouriera można stwierdzić, 
że 

sygnał dyskretny posiada okresowe widmo

.  

 
Ta właściwość charakterystyki widmowej sygnału dyskretnego, ma swoje 
ważne konsekwencje w teorii próbkowania. 
 

CPS 11 

2006/2007

 

U

Szereg impulsów Diraca

U

 rozpatrzymy jako szczególny przypadek przebiegu 

okresowego 

( )

(

)

p

k

d t

t kT

δ

∞

=−∞

=

−

∑

 

 
Po przedstawieniu 

d(t)

 w postaci szeregu Fouriera  

 

( )

p

jk

t

k

k

d t

c e

ω

∞

=−∞

=

∑

 

 
współczynniki tego szeregu wynoszą 
 

( )

/ 2

/ 2

1

1

p

p

p

T

j

kt

k

T

p

p

c

t e

d

T

T

ω

δ

−

−

=

=

∫

t

 

 
Stąd charakterystyka widmowa szeregu impulsów Diraca przyjmuje postać (**) 
 

( )

2

2

k

p

p

D j

k

T

T

π

π

ω

δ ω

∞

=−∞

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

 

 

Transformata Fouriera szeregu impulsów powtarzających się z okresem 

T

B

p

B

  (w dziedzinie czasu) jest również szeregiem impulsów powtarzających się z 

okresem 2 /

p

T

π

(w dziedzinie częstotliwości).  

 
Zmniejszając odstępy między impulsami w dziedzinie czasu ( większa 

częstotliwość próbkowania ) zwiększają się odstępy miedzy impulsami w 
dziedzinie częstotliwości (i odwrotnie). Ta prosta zależność ma fundamentalne 
znaczenie podczas realizacji zadania próbkowania przebiegów analogowych.  
 

{

U

Obliczenia widma sygnału dyskretnego  

U

( )

}

f * t

F

  

 
Analiza sygnałów w dziedzinie częstotliwości pozwala lepiej rozumieć 
zagadnienia przetwarzania sygnałów.  
 
Transformata Fouriera iloczynu dwóch przebiegów ( twierdzenie o splocie z 
dziedzinie częstotliwości ): 

( ) ( )

{

}

( )

{

}

( )

{ }

1

2

f t d t

f t

d t

π

⋅

=

∗

F

F

F

 

( )

{

}

( )

{

}

( )

{ }

1

*

2

f

t

f t

π

=

∗

F

F

F d t  

CPS 12 

2006/2007

 

W uproszczonej postaci zapiszemy transformatę Fouriera sygnału dyskretnego 
jako 

( )

( )

( )

1

*

2

F

j

F j

D j

ω

ω

ω

π

=

∗

 

 
oraz znając transformatę szeregu impulsów Diraca otrzymamy: 
 

( )

( )

1

2

*

k

p

p

F

j

F j

k

T

T

π

ω

ω

δ ω

∞

=−∞

⎛

⎞

=

∗

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

 

 
Pamiętamy,  że splot funkcji z impulsem Diraca powoduje przesunięcie tej 
funkcji do punktu, w którym znajduje się delta.  

 

( ) (

)

(

)

0

0

T

T

f t

t t

f t t

δ

∗

−

=

−

 

 

( )

t

f

T

t

A

0

T

(

)

0

t

t

−

δ

0

t

przesunięcie

(

)

0

t

t

f

T

−

 

 

Dodatkowo jeżeli funkcja splatana jest z szeregiem impulsów, to następuje 
powielanie tej funkcji i przesuwanie powieleń do miejsc, w których znajdują się 
impulsy Diraca.   
 

( ) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

1

0

1

0

t

t

f

t

t

f

t

t

t

t

t

f

T

T

T

−

+

−

=

−

+

−

∗

δ

δ

 

 

t

A

0

T

(

)

0

t

t

−

δ

0

t

(

)

1

t

t

−

δ

1

t

przesunięcie i powielenie

(

)

0

t

t

f

T

−

(

)

1

t

t

f

T

−

( )

t

f

T

 

 
Wnioskujemy zatem, że widmo sygnału dyskretnego powstaje w wyniku 
powielania widma sygnału analogowego nieskończoną ilość razy i przesuwania 
tych powieleń o wielokrotności 

ω

B

p. 

CPS 13 

2006/2007

 

2

p

p

T

π

ω

=

 

 
Transformata Fouriera sygnału dyskretnego ma zatem następującą postać: 
 

( )

1

2

*

k

p

p

F

j

F j

jk

T

T

π

ω

ω

∞

=−∞

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

 

 
Operację próbkowania sygnału analogowego f(t)  można przedstawić graficznie 
w postaci wykresów w dziedzinie czasu i częstotliwości. 
 

0

t

f*(t)

0

t

f(t)

0

0

t

d(t)

1

T

p

ω

0

D(

ω

)

ω

p

ω

0

F*(

ω

)

2

π

ω

p

ω

ω

F(    )

 

 

Jak wynika z wyprowadzeń postać widma sygnału dyskretnego zależy od 

częstotliwości próbkowania.  

 
W niektórych wypadkach w wyniku powieleń i przesunięć widma sygnału 

analogowego, może występować nakładanie się powieleń.  
 
 

CPS 14 

2006/2007

 

 

SYSTEMY DYSKRETNE 

Definicja: 

 
W systemie dyskretnym, przetwarzanie obejmuje operacje arytmetyczne 
przeprowadzane na sygnale wejściowym  x[n], w wyniku, których na wyjściu 
systemu otrzymuje się sygnał wyjściowy y[n] w postaci ciągu liczb.  
 
W większości przypadków systemy czasu dyskretnego są systemami o jednym 
wejściu i jednym wyjściu. 
 
 

System dyskretny

x[n]

y[n]

Sygnał

wejściowy

Sygnał

wyjściowy

 

 
 
Systemy dyskretne można opisywać, podobnie jak układy analogowe, w 
konwencji wejście-wyjście, do opisu stosuje się w tym przypadku 

U

równania 

różnicowe

U

, stanowiące algebraiczną zależność między ciągiem wejściowym i 

wyjściowym.  
 
 

Klasyfikacja: 

 
 
Systemy dyskretne można klasyfikować ze względu następujących własności: 
 

 

Liniowość 

 

 

Stacjonarność 

 

 

Pamięć 

 

 

Przyczynowość 

 

 

Stabilność 

 

 

Pasywność 

 

CPS 15 

2006/2007

 

U

Liniowość:

U 

 
Definicja: Jeżeli 

[ ]

1

y n

 jest sygnałem wyjściowym systemu zależnym od sygnału 

wejściowego 

[ ]

1

x n

 oraz 

[ ]

2

y n

 jest sygnałem wyjściowym dla sygnału 

wejściowego 

[ ]

2

x n

 to dla sygnału wejściowego: 

 

1

2

x n

x n

x n

α

β

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

=

+

 

 
na wyjściu systemu otrzymamy 
 

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

y n

y n

y n

α

β

=

+

 

 
Zależność powyższa zachodzi dla dowolnie wybranych stałych 

,

α β

 oraz 

dowolnych sygnałów wejściowych 

[ ]

1

x n , 

[ ]

2

x n  

 
Przykład systemu liniowego: 
 

[ ]

[ ]

2

x n

y n

= −

 

 

[ ]

1

sin(

)

p

x n

nT

ω

=

 o częstotliwości f=1Hz próbkowany z  f

B

p

B

=20Hz 

 

[ ]

2

sin(3

)

p

x n

nT

ω

=

 o częstotliwości f=3Hz próbkowany z  f

B

p

B

=20Hz   

 

Superpozycja sygnałów wejściowych 
 

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

sin(

) sin(3

)

p

p

x n

x n

x n

nT

nT

ω

ω

=

+

=

+

 

 
Na wyjściu systemu dla kolejnych sygnałów wejściowych otrzymamy: 
 

[ ]

1

2

1

sin(

)

p

y n

nT

ω

= −

 

 

[ ]

1

2

2

sin(3

)

p

y n

nT

ω

= −

 

 

[ ]

[ ]

[ ]

1

1

2

2

1

2

sin(

)

sin(3

)

p

p

y n

y n

y n

nT

nT

ω

ω

=

+

= −

−

 

 
oraz inaczej  

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

(

)

1

1

2

2

0

1

2

sin(

) sin(3

)

p

p

y n

x n

x n

nT

nT

ω

ω

= −

+

= −

+

 

CPS 16 

2006/2007

 

Dla sygnału liniowego zachodzi równość: 
 

[ ]

[ ]

0

y n

y n

=

 

 

 

 

 

MATLAB 

clear; 
fp=20; T=1/fp; f=1; 
omega=2*pi*f; 
t=0:T:1-T; 
 x1=sin(omega*t); figure(1); stem(t,x1); grid 
y1=-x1/2; figure(2); stem(t,y1); grid 
x2=sin(3*omega*t); figure(3); stem(t,x2); grid 
y2=-x2/2; figure(4); stem(t,y2); grid 
x=x1+x2; figure(5); stem(t,x); grid 
y=y1+y2; figure(6); stem(t,y); grid 
yy=-x/2; figure(7); stem(t,yy,'-r'); grid

 

 

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

1

[n]

y

1

[n]

x

2

[n]

y

2

[n]

x[n]=x

1

[n]+x

2

[n]

y

1

[n]+y

2

[n]

y[n]

system

system

system

 

 

CPS 17 

2006/2007

 

Przykład systemu nieliniowego: 
 

[ ]

[ ]

(

)

2

y n

x n

=

 

 

 

[ ]

1

sin(

)

p

x n

nT

ω

=

 o częstotliwości f=1Hz próbkowany z   f

B

p

B

=20Hz 

 

[ ]

2

sin(3

)

p

x n

nT

ω

=

 o częstotliwości f=3Hz próbkowany z f

B

p

B

=20Hz   

 

Superpozycja sygnałów wejściowych 
 

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

sin(

) sin(3

)

p

p

x n

x n

x n

nT

nT

ω

ω

=

+

=

+

 

 
Na wyjściu systemu otrzymamy: 
 

[ ]

1

1

1 cos(2

)

2

p

y n

nT

ω

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦  

 

[ ]

2

1

1 cos(6

)

2

p

y n

nT

ω

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦  

 
Sygnał jako suma sygnałów wyjściowych 

 

[ ]

1

1

2

2

1

cos(2

)

cos(6

)

p

p

y n

nT

nT

ω

ω

= −

−

 

 
oraz jako sygnał wyjściowy sumy sygnałów wejściowych 

 

[ ]

1

1

2

2

0

1

cos(2

) cos(4

)

cos(6

)

p

p

y n

nT

nT

nT

p

ω

ω

ω

= +

−

−

 

 
Nierówność  

[ ]

[ ]

0

y n

y n

≠

 

 
 
wskazuje na nieliniowość systemu 
 
 
 

 

 

MATLAB 

clear; 
fp=20; T=1/fp; f=1; 
omega=2*pi*f; 

CPS 18 

2006/2007

 

t=0:T:1-T; 
 x1=sin(omega*t); figure(1); stem(t,x1); grid 
y1=x1.^2; figure(2); stem(t,y1); grid 
x2=sin(3*omega*t); figure(3); stem(t,x2); grid 
y2=x2.^2; figure(4); stem(t,y2); grid 
x=x1+x2; figure(5); stem(t,x); grid 
y=y1+y2; figure(6); stem(t,y); grid 
yy=x.^2; figure(7); stem(t,yy,'-r'); grid 

 

 

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

1

[n]

x

2

[n]

x[n]=x

1

[n]+x

2

[n]

system

system

system

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y

2

[n]

y

1

[n]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y

1

[n]+y

2

[n]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y[n]

 

 
 
 
 

CPS 19 

2006/2007

 

 
Stacjonarność 
 
W systemie stacjonarnym przesunięcie w czasie w ciągu  wejściowym powoduje 
równoważne przesunięcie w ciągu wyjściowym  
 
Jeżeli na wymuszenie x odpowiedź  wynosi  y 

 

[ ]

[ ]

system

x n

y n

⎯⎯⎯

→

 

 

to na wymuszenie x przesunięte w czasie o k próbek układ odpowie sygnałem y 
tak samo przesuniętym 

 
 

[

]

[

]

system

x n k

y n k

− ⎯⎯⎯

→

−  

 

 

Przykład systemu stacjonarnego 

 
 

[ ]

[ ]

2

x n

y n

= −

 

 
 

[ ]

[

]

[ ]

[

]

2

2

  n 4

  n 4

system

x n

x

y n

y

=

+ ⎯⎯⎯

→

=

+  

 
 
 

MATLAB 

clear; 
fp=20; T=1/fp; f=1; 
omega=2*pi*f; 
t=0:T:1-T; 
x1=sin(omega*t); figure(1); stem(x1); grid 
y1=-x1/2; figure(2); stem(y1); grid 
x2=x1(5:20);figure(3); stem(x2); grid 
y2=-x2/2; figure(4); stem(y2); grid 

 
 

CPS 20 

2006/2007

 

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

1

[n]

x

2

[n]

system

system

y

2

[n]

y

1

[n]

 

 
Pamięć:  
 
W układach bez pamięci odpowiedź systemu y[n] zależy tylko od teraźniejszych 
wartości wymuszenia x[n].  
 
Przyczynowość

: 

 
Odpowiedź systemu przyczynowego y[n] zależy tylko od przeszłych i 
teraźniejszych wartości sygnału wymuszenia x[n].  
 
Stabilność: 
 
Układ jest stabilny w sensie BIBO (bounded input, bounded output), jeżeli przy 
ograniczonym sygnale wejściowym x[n] sygnał wyjściowy y[n] jest także 
ograniczony. Formalnie można warunek zapisać: 
 

[ ]

[ ]

x

y

x n

M

y n

M

≤

< ∞ ⇒

≤

< ∞  

 
Pasywność: 
 
System dyskretny jest pasywny jeżeli dla każdego sygnału wejściowego x[n] o 
skończonej energii sygnał wyjściowy y[n] posiada energię mniejszą lub równą 
energii x[n]. 

[ ]

[ ]

2

2

k

k

y k

x k

∞

∞

=−∞

=−∞

≤

< ∞

∑

∑