1

Wykład - dynamika

Geometria mas. Dynamika układu 

punktów materialnych

Masowy moment bezwładności

Masowym momentem bezwładności J punktu materialnego względem 
bieguna, osi lub płaszczyzny nazywamy skalarną wielkość, równą
iloczynowi masy punktu i kwadratu odległości tego punktu od tego 
bieguna, osi lub płaszczyzny.

[

]

2

m

kg

J

⋅

2

r

m

J

l

⋅

=

r

m

r

m

r

m

Masowy moment bezwładności

Dla punktu materialnego

∑

=

⋅

=

n

i

i

i

l

r

m

J

1

2

∫

=

dm

r

J

l

2

2

r

m

J

l

⋅

=

Dla układu punktów materialnych

Dla ciała materialnego

Promień bezwładności

JeŜeli ciało sztywne o masie M ma moment bezwładności J

l

względem 

prostęj l-l, to moŜemy znaleźć taką odległość od osi, Ŝe punkt materialny o 
masie M będzie miał ten sam moment bezwładności J

l

. 

Odległość i będzie określona równaniem Mi

2

=J

l

, skąd:

M

J

i

l

=

Masa zredukowana

Masą zredukowaną bryły na odległość nazywamy taką masę M, skupioną
w  punkcie O  odległym  od  prostej  l-l,  której  moment  bezwładności 
względem  prostej l-l jest równy  momentowi bezwładności  bryły  względem 
tej prostej.

2

r

J

M

l

z

=

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności ciała sztywnego względem pewnej osi 
jest równy momentowi ciała względem prostej równoległej 
przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn 
masy ciała i kwadratu odległości między osiami.

2

md

J

J

s

l

+

=

l

S

d

m

J

l

– moment bezwładności względem osi l,

J

s

– moment bezwładności względem osi 

przechodzącej przez pkt. S,

m – masa ciala,

d – odleglość między osiami

2

Momenty bezwładności względem płaszczyzn 

układu współrzędnych

∑

=

=

n

i

i

i

xy

z

m

J

1

2

∑

=

=

n

i

i

i

yz

x

m

J

1

2

∑

=

=

n

i

i

i

zx

y

m

J

1

2

x

x

z

z

m

y

y

i

i

i

i

Dla układu punktów materialnych

Momenty bezwładności względem osi układu 

współrzędnych

∑

=

+

=

n

i

i

i

i

x

z

y

m

J

1

2

2

)

(

∑

=

+

=

n

i

i

i

i

y

z

x

m

J

1

2

2

)

(

∑

=

+

=

n

i

i

i

i

z

y

x

m

J

1

2

2

)

(

x

x

z

z

m

y

y

i

i

i

i

Dla układu punktów materialnych

Moment bezwładności względem bieguna

∑

=

+

+

=

n

i

i

i

i

i

O

z

y

x

m

J

1

2

2

2

)

(

x

O

x

z

z

m

y

y

i

i

i

i

Dla układu punktów materialnych

ZaleŜności między momentami bezwładności

z

zx

yz

y

xy

yz

x

xy

zx

J

J

J

J

J

J

J

J

J

=

+

=

+

=

+

zx

y

x

z

yz

x

z

y

xy

z

y

x

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

=

−

+

=

−

+

=

−

+

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

ZaleŜności między momentami bezwładności

O

zx

yz

xy

J

J

J

J

=

+

+

w płaskim układzie współrzędnych

O

z

y

x

J

J

J

J

=

+

+

)

(

2

1

O

y

x

J

J

J

=

+

Momentem  dewiacji  punktu  materialnego  względem  dwóch 
wzajemnie  prostopadłych  płaszczyzn 

α

i 

β

nazywamy  iloczyn 

masy punktu materialnego i jego odległości od danych płaszczyzn.

Moment dewiacji (odśrodkowy)

'

i

i

i

r

r

m

D

=

αβ

]

[

2

kgm

D

αβ

dm

r

r

D

∫

⋅

=

'

αβ

Dla bryły

i

r

i

r’

α

m

i

i

r

i

3

Momenty dewiacji w układzie kartezjańskim

∑

=

=

n

i

i

i

i

yz

z

y

m

D

1

∑

=

=

n

i

i

i

i

zx

x

z

m

D

1

∑

=

=

n

i

i

i

i

xy

y

x

m

D

1

Płaszczyzny zx oraz yz

Płaszczyzny zx oraz xy

Płaszczyzny yz oraz xy

Główne osie bezwładności

Trzy wzajemnie prostopadłe osie x, y, z poprowadzone z punktu O
wyznaczające trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny xy, yz, zx względem 
których momenty odśrodkowe układu punktów materialnych (bryły 
sztywnej) są równe zeru, nazywamy głównymi osiami bezwładności.

0

1

=

=

∑

=

n

i

i

i

i

xy

y

x

m

D

0

1

=

=

∑

=

n

i

i

i

i

yz

z

y

m

D

0

1

=

=

∑

=

n

i

i

i

i

zx

x

z

m

D

x

x

z

z

m

y

y

S

O

S

ś

rodek masy

i

i

i

i

Główne centralne osie bezwładności

x

x

z

z

m

y

y

O=S

S

 

ś

rodek masy

i

i

i

i

JeŜeli punkt O jest środkiem masy rozpatrywanego układu 
punktów materialnych (bryły sztywnej), to osie te nazywamy
głównymi centralnymi osiami bezwładności.

Transformacja obrotowa momentu bezwładności

moment bezwładności ciała względem prostej, której połoŜenie w układzie 
współrzędnych Oxyz określają kąty  ,  , .

α

β

γ

α

γ

γ

β

β

α

γ

β

α

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

2

2

zx

yz

xy

z

y

x

l

D

D

D

J

J

J

J

−

−

−

−

+

+

=

i

ρ

x

i

y

i

z

i

m

i

Masowe momenty bezwładności

y

y

y

x

x

l,m

m,r

m,r

x

z

z

z

r

r

pr

ę

t

tarcza

kula

2

12

1

ml

J

J

z

y

=

=

2

2

2

1

4

1

mr

J

mr

J

J

z

y

x

=

=

=

2

5

2

mr

J

J

J

z

y

x

=

=

=

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

Na rysunku zostało przedstawione ciało sztywne obracające się z prędkością kątową

ω

= const

dm

x

2

ω

dm

h

2

ω

dm

y

2

ω

z

x

y

Ay

R

Ax

R

By

R

Bx

R

l

x

y

dm

A

ω

B

4

∫

=

+

+

0

2

xdm

R

R

Bx

Ax

ω

∫

=

+

+

0

2

ydm

R

R

By

Ay

ω

Równania rzutów na osie x i y przybierają następującą postać

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

∫

=

−

−

0

2

xzdm

l

R

Bx

ω

∫

=

−

−

0

2

yzdm

l

R

By

ω

Biorąc pod uwagę to, Ŝe momenty względem osi Ax i Ay
elementarnej siły odśrodkowej wynoszą odpowiednio:

-ω²yzdm

oraz 

ω

²xzdm

przyrównując kolejno do zera sumy momentów sił względem 

wspomnianej osi, otrzymujemy:

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

∫

=

c

mx

xdm

∫

=

c

my

ydm

∫

=

yz

D

yzdm

∫

=

xz

D

xzdm

W równaniach momentów, występują całki, które równe są momentom 

odśrodkowym:

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

Równaniom równowagi moŜna nadać następującą postać

0

2

=

+

+

c

Bx

Ax

mx

R

R

ω

0

2

=

+

+

c

By

Ay

my

R

R

ω

0

2

=

−

−

yz

By

D

l

R

ω

0

2

=

−

−

xz

Bx

D

l

R

ω

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

Z powyŜszych równań znajdujemy

l

D

R

xz

Bx

2

ω

−

=

l

D

R

yz

By

2

ω

−

=













−

−

=

c

xz

Ax

mx

l

D

R

2

ω













−

−

=

c

yz

Ay

my

l

D

R

2

ω

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

2

2

2

2

2













−

+













−

=

+

=

c

yz

c

xz

Ay

Ax

A

my

l

D

mx

l

D

R

R

R

ω

2

2

2

2

2

yz

xz

By

Bx

A

D

D

l

R

R

R

+

=

+

=

ω

Wartości bezwzględne reakcji dynamicznych łoŜysk moŜemy zatem zapisać:

REAKCJE DYNAMICZNE ŁOśYSK OSI OBROTU

5

Środek masy

Środkiem masy układu nazywa się punkt 
geometryczny S, którego promień-wektor 
r

s

wyznacza się wg wzoru:

M

r

m

r

n

i

i

i

s

∑

=

=

1

 

x 

y 

z 

1

r

2

r

n

r

S 

 

S

r

Momenty statyczne

Momentem statycznym układu punktów materialnych 
względem płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas 
punktów układu przez odległości od tej płaszczyzny

,

,

,

1

1

1

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

i

i

i

xy

n

i

i

i

zx

n

i

i

i

yz

z

m

M

y

m

M

x

m

M

 

x 

y 

z 

1

r

2

r

n

r

S 

 

S

r

Zasada ruchu środka masy

Zasada ruchu środka masy:

Ś

rodek masy porusza się jak swobodny punkt materialny o masie 

równej masie całego układu pod działaniem sumy geometrycznej 
sił czynnych i reakcji.

Zasada zachowania ruchu środka masy

JeŜeli suma geometryczna sił czynnych i reakcji jest równa zeru, to środek 
masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym 
prostoliniowym (jeŜeli miał początkową prędkość).

∑

∑

=

=

+

=

n

i

m

j

j

i

s

R

F

a

M

1

1

M – masa układu,

F

i

– siła czynna

R

j

- reakcja

Równania ruchu środka masy

Równanie poniŜsze określają ruch środka masy (dynamiczne równania ruchu 
ś

rodka masy)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

+

=

+

=

+

=

n

i

m

j

jz

iz

s

n

i

m

j

jy

iy

s

n

i

m

j

jx

ix

s

R

F

z

M

R

F

y

M

R

F

x

M

1

1

1

1

1

1

&

&

&

&

&

&

Pęd układu punktów materialnych

Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi 
całej masy układu skupionej w jego środku masy 

∑

=

=

=

n

i

i

i

s

m

v

M

p

1

ν

Pochodna względem czasu wektora ogólnego układu 
punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił
zewnętrznych, działających na dany układ

∑

=

=

i

F

p

dt

p

d

&

Zasada równowaŜności pędu i impulsu

Przyrost 

wektora 

pędu 

układu 

punktów 

materialnych  w  określonym  przedziale  czasu  jest 
równy  sumie  impulsów  sił zewnętrznych  działających 
na układ

dt

F

p

p

t

t

∫

=

−

2

1

1

2

S

p

p

=

−

1

2

6

Kręt układu punktów materialnych

Kręt ogólny układu punktów materialnych względem 
obranego bieguna nazwiemy sumę geometryczną
poszczególnych wektorów krętu

∑

∑

=

=

×

=

=

n

i

i

i

i

n

i

o

i

o

m

r

K

K

1

1

ν

Kręt układu punktów materialnych

Pochodna względem czasu wektora krętu ogólnego 
układu punktów materialnych obliczonego 
względem dowolnego bieguna jest równa  
wektorowi momentu głównego sił zewnętrznych, 
działających na dany układ, wyznaczonego 
względem tego samego bieguna

o

o

o

M

K

dt

K

d

=

=

&

Zderzenie środkowe proste

Zderzenie środkowe proste

Zderzenie środkowe proste

Zderzenie środkowe ukośne

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

1

O

1

v

2

O

2

v

1

O

u

2

O

u

1

O

'

1

v

2

O

'
2

v

Rozpatrzmy następujący przypadek zderzenia. ZałóŜmy, Ŝe kule poruszają się w 

tym samym kierunku przy czym 

v

1

> v

2

. 

'

2

2

'

1

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

+

=

+

Dla układu mo

Ŝ

na napisa

ć

równanie p

ę

du

Okres pierwszy rozpoczyna si

ę

z chwila zetkni

ę

cia si

ę

uderzaj

ą

cych kul i trwa dopóki pr

ę

dko

ś

ci kul nie wyrównaj

ą

si

ę

, czyli nie osi

ą

gn

ą

pewnej wspólnej pr

ę

dko

ś

ci oznaczonej 

na rysunku przez u. 

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

Przebieg uderzenia mo

Ŝ

emy podzieli

ć

na dwa okresy:

1

O

1

v

2

O

2

v

1

O

u

2

O

u

Z  chwil

ą

wyrównania  si

ę

pr

ę

dko

ś

ci  rozpoczyna  si

ę

drugi 

okres  uderzenia,  podczas  którego  lokalne  odkształcenia  kul 
stopniowo  malej

ą

,  a  co  za  tym  idzie,  malej

ą

równie

Ŝ

siły 

wzajemnego oddziaływania obu kul. 

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

Przebieg uderzenia mo

Ŝ

emy podzieli

ć

na dwa okresy:

1

O

u

2

O

u

1

O

'

1

v

2

O

'
2

v

7

Z powyŜszych równań moŜna wyznaczyć wspólna prędkość obu 

kul na końcu rozwaŜanego okresu

(

)

2

2

1

1

2

1

1

v

m

v

m

m

m

u

+

+

=

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

S’, S’’ to odpowiednio impulsy siły z któr

ą

w pierwszym i 

drugim okresie uderzenia oddziałuje kule na siebie

∫

−

=

−

=

−

'

''

1

'

1

1

τ

τ

S

Fdt

u

m

v

m

∫

=

=

−

'

''

2

'

2

2

τ

τ

S

Fdt

u

m

v

m

Z hipotezy Poissona przyjmujemy 

Ŝ

e :

'

''

kS

S

=

UDERZENIA PROSTE I ŚRODKOWE

k oznacza pewien stały współczynnik wyznaczony na 
podstawie doświadczeń i zwany współczynnikiem 
restytucji.

UDERZENIA

1

2

'

1

'

2

v

v

v

v

k

−

−

−

=

Wg hipotezy Newtona

Wartości współczynnika restytucji dla ciał wykonanych 
z tego samego materiału:

•Drewno 

k=0,26

•Stal 

k=0,56

•śeliwo

k=0,66

•Szkło

k=0,94

•Ołów

k=0,20 

UDERZENIA