plik

-  praktyczne  informacje o  egzaminie  maturalnym,
-  wskazówki  przydatne do  rozwiązywania  testów  maturalnych,
-  wszystkie typy zadań z  przewidywanym czasem  rozwiązywania,
-  przykładowe arkusze egzaminacyjne,
-  odpowiedzi do zadań  ze szczegółowymi  kryteriami zaliczania.
Testy zostały  ułożone  w taki  sposób,  abyś  mógł systematycznie  przygotowywać  się  do  matury.

Materiał podzieliliśmy na typy zadań zgodnych z tymi, które obowiązują na maturze zakresu

podstawowego. Zestawy zadań zostały umieszczone w obrębie działów tematycznych. Zastosowa

liśmy przy tym następujący porządek:

- zadania zamknięte,

- zadania o tw a rte krótkiej odpowiedzi,
- zadania o tw a rte rozszerzonej odpowiedzi.

Na egzaminie maturalnym będziesz znać jedynie czas przeznaczony na napisanie całego testu. Mu

sisz zatem sam rozplanować własną pracę, uwzględniając zapoznanie się z instrukcją, przejrzenie arku
sza oraz załączonych materiałów. Na samo rozwiązywanie zadań maturalnych pozostaje więc odpo

wiednio mniej czasu, w arkuszach maturalnych zamieszczonych w zbiorze nie podajemy informacji

na temat czasu, w jakim należy rozwiązywać poszczególne zadania. Jednak dla ułatwienia przygoto

wań do egzaminu dojrzałości przy zadaniach w  testach uwzględniliśmy szacunkowo czas przewidywa
ny na ich  rozwiązanie.  Umożliwi on  rozeznanie,  ile czasu  powinieneś  przeznaczyć  na dany typ zadań.
Jest to o tyle ważne, że na  przykład zadania otwarte rozwiązuje się dłużej  niż zamknięte.

Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON przygotowało zestawy testów maturalnych do następują

cych  przedmiotów: język  polski  (w form ie przykładowych arkuszy egzaminacyjnych),  historia,  wie
dza o społeczeństwie,  matematyka,  fizyka  i astronomia,  chemia,  biologia,  geografia.  Wszystkie za
warte  w  nich  informacje  są  aktualne  w  momencie  wydania  tych  publikacji.  Do  czasu  egzaminu
w  2010  roku mogą zajść pewne zmiany,  które bedą ogłaszane  na stronach Centralnej  Komisji  Eg

zaminacyjnej, dlatego tak ważne jest Siedzenie zamieszczanych tam informacji.

Jako znakomite uzupełnienie testów dla ucznia proponujemy naszą najnowsza publikację

Nowa matura

2010. Obowiązkowa matura

matematyki. Zakres podstawowy,

dzięki której uzupełnisz swoją wiedzę, a

także nauczysz się rozwiązywać zadania maturalne krok po kroku.

Zapraszamy także na stronę www.matura.operon.pl, gdzie z myślą o maturzystach zamieściliśmy dodat

kowe materiały, które pomogą skuteczniej przygotować się do egzaminu dojrzałości.

Podstawowe in&Htnaeje o egzaminie maturalnym

Od roku 2005 egzamin maturalny jest jednakowy dla wszystkich absolwentów szkót średnich

w catej Polsce, bez względu na typ szkoty i profil ukończonej klasy. Ta nowa form uła m atury spra

wia,  że  wiele  wyższych  uczelni  przyjmuje  kandydatów  na  studia  na  podstawie  wyniku  egzaminu
maturalnego.  Abiturient  zdaje  więc  egzamin  tylko  raz,  nie  zaś -  jak  kiedyś -   dwa  lub  więcej  razy.
Wiele  wydziałów  wskazuje, jakie  przedmioty  uczeń  musi  zdać  na  maturze,  aby  się  móc  ubiegać
o przyjęcie  na  pierwszy  rok  studiów,  Niektóre  z nich  organizują dodatkowe  egzaminy  czy  rozmo
wy  kwalifikacyjne.  Od  roku szkolnego  2006/2007  egzamin  przeprowadzany jest  raz  w  roku.

A biturient przystępujący do egzaminu zdaje trzy przedm ioty jako obowiązkowe - są to zda

wane  na  poziomie  podstawowym  w form ie  ustnej  i  pisemnej język  polski  oraz  nowożytny jeżyk
obcy,  a  także  matematyka  zdawana  tylko  w  form ie  pisemnej.  Ponadto  uczeń  może  wybrać je
den,  dwa  lub trzy  przedmioty dodatkowe,  które zdaje na poziomie podstawowym  lub rozszerzo

nym. Wyjątek stanowi egzamin z matematyki wybranej jako przedm iot dodatkowy - w tym wy
padku zdaje się ją tylko na poziomie rozszerzonym. Do końca września roku kalendarzowego po

przedzającego egzamin uczeń dokonuje wstępnego wyboru przedmiotów, które będzie zdawać

na egzaminie, oraz poziomu, na jakim będzie zdawać przedm ioty wybrane jako obowiązkowe

Zadania na pisemny egzamin maturalny opracowuje centralna komisja Egzaminacyjna, z którą

współpracują Okręgowe  Komisje Egzaminacyjne organizujące sprawdzanie prać.  Harmonogram eg
zaminów Jest ogłaszany na stronie Centralnej  Komisji  Egzaminacyjnej  nie później  niż na cztery m ie
siące  przed  rozpoczęciem egzaminu;

Prace sprawdzane są przez egzaminatorów zewnętrznych, którzy stosują jednolite w catym kra

ju kryteria oceniania według jednakowego schematu punktowania. Każda praca sprawdzana jest

dodatkowo przez innego egzaminatora - specjalnie przeszkolonego weryfikatora. W ten sposób
w całej Polsce zachowana zostaje jednolitość i obiektywizm oceniania

Absolwent, który zamierza zdawać maturę, chcąc mieć wyczerpującą wiedze na tem at wyma

gań oraz formy egzaminu, powinien zapoznać się z następującymi dokumentami:

- strona internetowa Centralnej Komisji Egzaminacyjnej www.cke.edu.pi, na której na bieżąco

podawane  są  wszystkie  informacje  dotyczące  matury,  takie jak  lista  przedmiotów,  które  można
zdawać,  terminy  egzaminów,  zmiany  w  zasadach,  standardy  egzaminacyjne  oraz  arkusze  wraz
z odpowiedziami  z  przeprowadzonych egzaminów maturalnych;

- strona internetowa Ministerstwa Edukacji Narodowej www.men.gov.pl, na której podaje się

ważne komunikaty na tem at egzaminu maturalnego oraz planowanych zmian w form ule egzami
nu od nowego roku szkolnego;

- Informator maturalny z matematyki od 2010 r. zawiera podstawowe i najważniejsze informacje

o egzaminie maturalnym, odpowiedzi na najczęściej pojawiające się pytania dotyczące matury, stan

dardy maturalne wraz z opisem, czyli listę zagadnień, które powinien znać maturzysta, a także przykła
dowe arkusze maturalne, informator jest dostępny na stronie internetowej Centralnej Komisji Egzami
nacyjnej

Opis egzaminu maturalnego z matematyki zdawanego faks

przedmiot obowiązkowy

Od roku 2010 matematyka jest jednym z trzech przedmiotów zdawanych na egzaminie matu

ralnym jako obowiązkowe, na poziomie podstawowym. Jeżeli abiturient chce zdawać matematy
kę na poziomie rozszerzonym, powinien wybrać ten przedmiot Jako dodatkowy. Wynik uzyskany

na egzaminie z przedmiotu dodatkowego nie ma wptywu na zdanie matury, jednak jest odnoto
wywany na świadectwie i może mieć znaczenie podczas rekrutacji ńa wyższe uczelnie.

Podczas egzaminu maturalnego uczniowie mogą korzystać z kalkulatora prostego i zestawu

wzorów dopuszczonych jako pomoce przez CKE

M atura 2010 z m atem atyki

Matematyka

jako przedmiot obowiązkowy

Egzamin na poziomie

podstawowym

Matematyka

jako przedmiot dodatkowy

Egzamin na poziomie

rozszerzonym

Rozwiązanie zadań z poziomu

podstawowego

i
i

170 minut

\ - maksymalna liczba punktów; 50

- zakres wymagań dla poziomu

podstawowego

Rozwiązanie zadań z poziomu

rozszerzonego

180 minut

- maksymalna liczba punktów; 50
- zakres wymagań dla poziomu

rozszerzonego

[  Warunkiem  zdania  egzaminu  jest  j
I  uzyskanie 30% punktów za  rozwią-  '
;  zanie zadań z arkusza.

¡ Wynik egzaminu nie ma wpfywu na
i zdanie matury.

Ocenianie arkuszy egzaminacyjnych

Prace egzaminacyjne sprawdzają i oceniają zespoty egzaminatorów powotane przez dyrektora

Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej

Egzaminatorzy sprawdzający prace przyznają punkty za czynności opisane w schemacie ocenia

nia, Ocenianiu podlega zarówno poprawność merytoryczna rozwiązań, jak I kompletność prezen

tacji  rozwiązań,  czyli wykonanie cząstkowych  obliczeń  I  przedstawienie toku  rozumowania.  Ocenie
podlegają wyłącznie  fragmenty pracy dotyczące  polecenia.  Dodatkowe działania,  obliczenia  i  opi
sy  (poprawne)  nie  są oceniane.  Nie są  brane  pod  uwagę zapisy w  brudnopisie.

Jeśli do rozwiązania jednego zadania zdający podaje kilka odpowiedzi, z których tyiko jedna ilub

kilka) jest prawdziwa, to nie otrzymuje punktów.

W M A T E M A T Y K A - I E S T Y M A T U R A L N E

Rozwiązanie całkowicie poprawne, lecz inne niż w schemacie oceniania, je st oceniane na mak

symalną liczbę punktów. Jeżeli metoda ta jest poprawna, lecz podczas rozwiązywania pojawity sie

btędy, to uczeń otrzymuje punkty proporcjonalnie do punktów uzyskiwanych za poprawne części
rozwiązania.

Jeśli uczeń zastosował btędną metodę - nie otrzymuje punktów.

T fp y zs&Bń m a te m a ty c z n y c h w a rk u sza ch m a łu r a fn y c ii

Standardy wymagań, będące podstawą przeprowadzenia egzaminu maturalnego z matematyki,

obejmują pięć obszarów:  1,  wykorzystanie  ¡tworzenie  informacji,  2.  wykorzystanie  i  interpretow a
nie  reprezentacji,  3.  modelowanie  matematyczne,  4.  użycie  i tworzenie strategii,  5.  rozumowanie
i  argumentacja.

Standardy te oraz opis wymagań i treści programowe znajdują sie w inform atorze maturalnym

z matematyki, ponadto omawiają je z maturzystami nauczyciele.

Zadania maturalne sprawdzają umiejętność postuźenia się znaną definicją lub twierdzeniem,

umiejętność dobrania odpowiedniego algorytmu do podanej sytuacji problemowej, przetwarzania
informacji w inną postać służącą do rozwiązania problemu.

W rozwiązaniach zadań mających polecenia typu „uzasadnij...", „wykaż..." uczeń powinien wy

raźnie wyszczególnić założenie i tezę podanego twierdzenia, a wyciągane wnioski opisywać czytel
nie i poprawnie językowo.

Polecenia powinny być wykonywane precyzyjnie, Zadania typowe, które wydają się uczniowi

znane,  często  rozwiązywane są w sposób, jaki uczeń  zapamięta! z lekcji.  Trochę inne polecenie m o
że w konsekwencji wpfynąć na  utratę punktów,  na przykład jeśli  w zadaniu należy  podać,  który wy
raz  ciągu jest  równy 7,  to   nie wystarczy  w  odpowiedzi  zapisać

= 3", ale „trzeci wyraz ciągu jest

równy 7" lub „u,-- 7". Uczeń powinien też pamiętać o założeniach i dziedzinach funkcji i ich wyko
rzystaniu przy podaniu odpowiedzi, gdyż właśnie one często decydują o wyborze rozwiązania

(a więc o przyznanym punkcie).

Rysunki w zadaniach nie zawsze są punktowane. Punkty przyznawane sa oczywiście, gdy pole

cenie  brzmi  „wykonaj  rysunek'  lub „zilustruj  rozwiązanie"  itp.  Rysunek  może być również  punkto
wany, jeśli  związany jest z analizą zadania  lub ją  zastępuje  (zdarza  się to   w  zadaniach z  planimetrii
czy  stereometrii),

Przećwiczenie przed egzaminem maturalnym dużej liczby zadań zwiększa szansę na uzyskanie na

maturze większej liczby punktów. Trzeba bowiem pamiętać. Ze każde nowe zadanie może wskazać

drogę do rozwiązania następnego i następnego. W trakcie przygotowań do egzaminu maturalnego
dobrze Jest się zastanowić, czy istnieje inna metoda rozwiązania danego zadania - niekiedy bardziej
kształcące okazuje się rozwiązanie jednego zadania kilkoma metodami, niż rozwiązanie kilku zadań tą
samą. metodą.

W*VW. U

f O i! . P J

I. LICZBY, ICH ZBIORY

I. Liczby, ich z b io ry
Zadania zamknięte

W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

Liczba

jest równa:

*■

j/5 - 3

(

- 2 / 5 +

. i 4 ^

D - 2 / 5 - 6

( a 2)

Po wykonaniu dziatań na potęgach ■—

■

otrzymamy:

a 5

A. o " 1

.a~6

C .a "‘

3. Liczba log 64 jest równa:

A. (log 8)*

B. 2 log 8

C. 2 log 32

D .lo g 3 2 lo g 2

4. Liczba

\2 -

Ijest równa:

A . / 7 - 2

8 , - / 7 + 2

C . - 2 - / 7

D . / 7 + 2

5. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, w których pierwsza cyfra jest nieparzysta?

A. 25

C. 45

D. 50

Wskaż liczbę, której 0,3% jest równe 12:

A. 0,3 6

B. 0 .0 3 6

C. 400

D. 4000

Liczba 3 ’ 0- 2 7 '"je s t równa:

A. 3 "

3“

C. 324i)

D .3™

Liczba — —— jest równa:

/ 7 + 3

B .- 3 / 7 + 9

ł l l ź ź

D .- 3 / 7 - 9

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

9. Dane są liczby

= 50,

= 24. Liczba

jest większa od liczby

p%.

Wówczas;

A, f> = 48

B p = 52

C. 108,(3)

O, p =

20 8 ,(3 )

‘« ♦ » ¿ à 10- Liczba (7 - 2

f $ )

jest równa;

A. 37

B. 61

C. 61 - 1 4 /3

D. 6 1 - 2 8 / 3

11. Liczba ( / 2 - l) jest równa;

A. 5 / 2 - 7

B. 5 / 2 + 7

C. 3 / 2 - 5

D. 3 / 2 + 5

1 2 - Wiadomo, ź e | x - 2 | « 6 . Wskaż przedział, do którego należą wszystkie liczby

x o

tej własności;

A, (-o o . - 4 ) U (

, + co)

B. ( - 4 , 8 )

C ( - 8 , - 4 )

D. ( - o o . - « ) U (4 ,+oo)

j w s i | 13. 2e zbioru liczb { 1 ,2 ,3 .4 ,5 } wybieramy dowolne dwie liczby. Wszystkich możliwości wyboru

pary liczb jest:

A 10

B. 20

C. 25

D. 5

1 *. Dane są dwa przedziały liczbowe

A =

( - 6 ,3 ) ,

B = ( - 2 ,

7). Przedział

B \ A

to:

A. ( - 6 , - 2 )

B. ( - 6 , - 2 )

C. (3 ,7 )

D. (3 ,7 )

•

.ś li** /!) 1 5 - Wśród Itczb należących do zbioru Z = | / 2 4 ,

0 , ( 7 3 ) , •ł-—- ! liczb wymiernych Jest

v « - « c a

— J

A. I

B, 2

C, 3

D. 4

16. Liczba lo g ;)36 jest równa:

A, 2 lo g ,6

B ^ log, 72

C lo g , 9 lo g ,4

D. lo g 320 + lo g ,1 6

W - Wyrażenie

W - 4 x 2- 9 y -

można przedstawić w postaci;

A. ( 2 r - 3 y )

B .(2 x + 3y)

C. (2 x -

3y)(2x

+ 3y)

D, ( 4 . r - 9 y ) ( 4 x + 9 y )

18. Liczba 125 -'jest równa:

“i

A. 25

C ,- 2 5

□ . ------

i. LICZBY, ICH ZBIORY

19. Dla liczby

spełniony jest warunek 3 x -

| =

- 3x. Wówczas:

e (-o o ,2 )

B ..T e ( - o o ,- 2 )

c. x e ( - 2 ,+ o B )

d. x e ( 2 ,+ o c )

20. Wartość wyrażenia W = | x - 6 | - 3 x + 5 dla liczby

e (0 ,6 ) jest równa:

A. — 2

— 11

B. — 2

+ I I

C. 4.t + 11

D . - 4 x + l l

,/20

pfet

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

1. Wiosną cenę zimowej kurtki obniżono o 20% i wówczas kosztowała ona 320 złotych. Oblicz cenę

kurtki przed obniżką.

k .

2. Wyznacz liczbę,!, wiedząc, ż e lo g 2( x - I ) = — 3.

3. Wiadomo, że I o g ^ =

Oblicz łog,5.

a. Dane jest wyrażenie i r = [ 2 ! - 1 Oj — |.r + 2| Zapisz wartość tego wyrażenia bez symbolu wartości

bezwzględnej dla dowolnej liczby a rs ( - 2 ,5 ) .

5. Dla pewnej liczby

prawdziwy jest wzór |2.ï — 7| = 7 —

2x.

Wyznacz maksymalny przedział, do

którego należy liczba

6. Dane są przedziały A = ( - 5 ,2 ) , £¡= (0 ,6 ). Wyznacz przedziały A n

oraz

A\B .

7, Oblicz liczbę

x ,

jeśli wiadomo, że * =

( ~ 8 ) ! + 9 s

8. Wyznacz liczbę

której 7% jest równe 28.

9. Dana jest liczba

= ( / 3 - 2

f Ź )

+ 4 / 6 . Wykaż, że liczba nr jest naturalna.

10. Wykaż, że log,,

b = 2

log„j

11. Dane są przedziały A = (-c o ,

3),B =

(-4 ,+ o o ). Wyznacz przedziały A U B oraz

B\A.

12. Przedstaw liczbę

a =

/ l l - 4 / 7 w postaci

x + y j l ,

gdzie

y są liczbami wymiernymi.

13. Dane są liczby

a = { 2

) V l6 ,

= 20. Jakim procentem liczby a jest liczba

14. Rozwiąż równanie

J(Z x

- 3)~ = 7.

1 5 .

84 krawcowe szyją daną partię odzieży w ciągu

4 dni. Oblicz, w jakim czasie taką samą partię

odzieży i przy takiej samej wydajności pracy uszyją 24 krawcowe.

« MAltMtTYKA - POZIOM POOSUWOWY

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

1. Wymień wszystkie liczby pierwsze, które spetniająjednocześnle nierówność!—* - 7 < 4 i nierówność

. * / - 12.v > 0

5 l6+ 2 5 7

2. Dane są liczby

— i

= (4

J 2 - 2

y 3 ) ( 4 / 2 +

,/3).

26 ■ 5

a) Porównaj liczby

1 i

b~'

b) Porównaj liczby

a b

b “.

3. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 1 i. Jeśli na końcu tej liczby dopiszemy 7, to otrzymamy
liczbę większą od danej o 51.1. Wyznacz tę liczbę dwucyfrową.

4. Na dziatce leśnej założono szkółkę drzewek, która zajmuje 8800 n i

co stanowi 1

całej dziatki.

Resztę przeznaczono na tereny rekreacyjne.

a) Ile hektarów ma tączna powierzchnia dziatki?

Jaki procent terenu rekreacyjnego stanowi teren przeznaczany na szkółkę?

5. Sznurek o długości 2,8 m przecięto na trzy części, których długości są w stosunku

2 : 5 : 7 .

Oblicz

długość każdej części. Sprawdź, czy najdłuższa część wystarczy do obwiązania pudełka w kształcie

prostopadłościanu o wymiarach 2 5 ,1 8 ,3 0 cm, jeśli mamy je przewiązać jednokrotnie wzdłuż ścian
o najdłuższych wymiarach.

. Dane są przedziały

= ( - o o ,/n z-

= (5

10).

a) Dla

= - 2 wyznacz

U 5,

B, A \B .

b) wyznacz wszystkie wartości parametru

przy których część wspólna tych przedziałów Jest

zbiorem pustym.

liczby

ich

zbiory

W partii 1000 płaszczy

stanewia. płaszcze z usterkami. Oblicz, Ile co najmniej płaszczy z wadami

należy usunąć, aby w pozostałych było mniej niż 1% płaszczy z wadami

. Wykonaj działania i zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniu łV = (

2 x - y f - { 2 x + y ) ' -

- ( 4 * - 3 y } ( 4 .ł' + 3.v)+

\ 2 x !y + y 1 + 2 0 x 1 + 4xy,

a następnie oblicz wartość tego wyrażenia dla

* = ./Ś,

y - - 2

/5 .

5 17—5 |fi

9 .-Rozwiąż równanie 25’ * = - ^ —

sprawdź, czy liczba * należy do przedziału określonego

12 5 “ ■ 2 5 “ >

przez nierówność | 2 * - 3| > 7.

10. Dwóch studentów pojechało na wycieczkę rowerową. Pierwszego dnia pokonali I5 % całej

trasy, drugiego dnia przejechali i pozostałej drogi, Trzeciego I czwartego dnia przejechali po —

catej trasy, a piątego dnia przejechali ostatnie 34 km. Oblicz, ile kilometrów studenci przejechali
w ciągu pięciu dni.

*s MATEMATYKA • P02I0M PODSTAWOWY

it.

ftm kcje f ic ii wfasn»$cS

Zadania zamknięte

W zadaniach 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

f—.

dla : i E ( - o o , -

)

1. Dana jest funkcja / określona wzorem

f i x ) =

+ 3 * + l dla x e ( - 2 , 1)

'— r a n o —

[ - ł t - 4 dla x e { l , + c o )

Miejscem zerowym funkcji / jest liczba:

A. I

B .- 2

C - 2

D. i

2 Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji / o 5 jednostek w pra

ln a

— '

wo, to:

A. y = /( .r + 5)

y =f(x)

+ 5

C. v

- f i x -

5 )

y = f ( x )

- 5

Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji

/ o

3 jednostki w dóf,

n—

t O:

y =f(x

+ 3)

y - f i x )

+ 3

y - f ( x

- 3 )

D .v = / { * ) - 3

5x — 5
—

x " + 4

/ f \ { - 2 , 2 }

B. /?\ { 2 }

C R

R \ { - 4 }

(

4- Dziedziną funkcji / określonej wzorem / U ) =

jest zbiór:

f "

S. Dana Jest funkcja / określona wzorem

f i x )

= -

+ 4. Przedział, w którym wartości te j funkcji

' —

— ? są ujemne, to:

A. ( 2 , +

)

B. { 2 , +

)

C. < -o o ,2 )

D. (—c o ,- 2 )

, ^ 6. Funkcja

fix )

= (3

+ 9) x +

Sm -

I jest malejąca dla

III

£ (—

, —3)

B, m £ (3, +

)

C. OT E (—txj,3 )

D. m e ( 3 ,+ o o )

6 x

7. Dziedziną funkcji / ( x ) ~ —

— jest:

- J

|2ar + 7|

Z 21

n PN

L I

R \ L \

B R M - 2 ' 2 f

C R

D' « \ p 2

w#..*

fii-i oią. o!

I I . F U N K C J E I ICH W Ł A S N O Ś C I H

. Dana jest funkcja

określona wzorem

f ( x ) =

A. /(O ) = 1

B . / ( 5 ) = l

( a - 3 )

dla

G (—oc, 0)

x - 2

d l a x e (0 ,5)

.Wówczas:

1 d ia ^ e ( 5 ,+ o o )

C ./( 0 ) = 9

D. / ( 5 )

9. Dana jest funkcja / ( * ) = { m 2+ 4).ie2 + m x + 3. Wówczas:

A. dla m = - 2 funkcja osiąga swoją wartość największą

B. dla

= O funkcja ma dwa miejsca zerowe

C. dla

m = - 2

funkcja jest liniowa

D. dia

m =

O funkcja nie ma miejsc zerowych

C ~

-— n

10. Wykresem funkcji

y = —x - 5

jest prosta prostopadła do wykresu funkcji:

y = 3 * + 5

C.y = j x + 5

11. Dana jest funkcja / określona wzorem

f ( x ) = - x 2- 4 x .

Punkt

P = ( - 2 , b )

należy do wykresu

funkcji / . Wynika stąd, źe:

B b = - ] 2

C. b = 4

D .h = l6

12.

Dana jest funkcja

f ( x ) = x ~ - 3 x .

Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową /

* * * * *

względem osi

0X,

to:

ę — — ' ' ’

k y = - x z - 2 x

B. y = - x 2 + 3x

C > ’ =x"’ - 3 *

y = x

+ 3 x

1S. Dana jest funkcja

f i x ) = J x - 2.

Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową

względem osi

OY,

to:

v'— « b b ~ 2

y - f - x +2

y - - f x ~ 2

D . y = - f x + 2

14. Rozwiązaniem równania

= 4 jest:

- x + 2

x= —

B . jr = 3

C. x = — I

= l

15. Dana jest funkcja / określona wzorem f ( x ) = - 5x + 4. Funkcja, której wykres jest równoległy

do wykresu danej funkcji, to:

A ./ ( * ) = - 5 * - 4

B . f ( x ) = 5x + 4

C ./( x ) = t * - 4

D. f(x ) = - —x + 4

m at?1

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

16.

Dana jest funkcja / określona wzorem

f ( x )

x 2

+ 4.r + 3. Wówczas:

A. funkcja osiąga swoją wartość największą

B. funkcja nie ma miejsc zerowych

C, osią symetrii wykresu jest prosta

x= 2

D, funkcja osiąga swoją wartość najmniejszą

17. Zbiorem wartości funkcji

f ( x)

R \ {

x - 5

jest:

| * - 5 |

B. { 5 }

C, {1,

18. Do wykresu funkcji określonej wzorem

J'{x) =

4 J należy punkt A - I

a, —

J. Wynika stąd, że:

a = - 2

= 2

= -

D.a = ~

19. Do wykresu fu n k c ji,/' określonej wzorem

f (x) = ax + b

należą punkty A - (0 ,3),

B -

( 3, 3).

Wynika stąd, że:

= 2

b - i

a ~ 2

b = - 3

a = ~

= - 3

a ~ - 2

i> = 3

20. Zbiorem wartości funkcji

f ( x)

= 2* jest:

A. R

B. (O.+oo)

C. <0,+oo)

o. R \ { 0 }

:U,. t:— : ' ' f j

2 0

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

Wyznacz wszystkie wartości

dla których funkcja

f ( x )

= 3ar + 4x + I osiąga wartości ujemne

2. Sporządź wykres funkcji

f i x )

- a : + 4 d la jc e ( - o o ,2 )

x - 2

d l a x e (2,+oo)

3. Wyznacz dziedzinę funkcji:

f ( x) = j l ~ ^ x '

I I . F U N K C J E i IC H W Ł A S N O Ś C I «

4. Dana jest funkcja

f ( x ) = { 3 m -

1 ) .x — 7 Wyznacz parametr

tak aby miejscem zerowym funk

cji byta liczba

= -3 .

5. Zapisz wzór funkcji

f ( x )

= |Sx - 10| + 3 bez symbolu wartości bezwzględnej. Warunki dla

pisz w postaci przedziałów.

( . o , ! " 7

6. Wyznacz dziedzinę funkcji

f{ x) -

x - l x

naszkicowanego wykresu funkcji odczytaj:

a) maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca,

b) maksymalne przedziały, w których funkcja przyjmuje

wartości nieujemne.

8. Wyznacz dziedzinę funkcji

f ( x )

J x 2

6 x

+ 9 ,

9. Wyznacz miejsca zerowe funkcji

f ( x) = x l -

2 * 2- 3x + 6,

13. Narysuj wykres funkcji

f ( x

) = | ~ j - 4. Podaj jej miejsce zerowe.

14. Wyznacz wzór funkcji wykładniczej, której wykres przechodzi przez punkt

10. Funkcja / przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej

należącej do zbioru { 3 ,4 ,5 .6 .7 ,8 } naj

większy wspólny dzielnik liczb

i 10,

a) Sporządź tabelkę wartości tej funkcji / .

b) Podaj zbiór wartości funkcji

f .

11. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji

f ( x )

= 4 * - 5

i przechodzi przez punkt

A -

(- 2 ,1 ) .

12. Wyznacz współczynnik

funkcji kwadratowej

y - x 2+6 x +c ' \

jeśli wiadomo, że ma ona do

kładnie jedno miejsce zerowe.

15. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres je st prostopadły do wykresu funkcji

f(x) = - 2 x + 4 i

przechodzi przez punkt

= ( 6 , - 2 ) .

w w w . o p 6 i o n . p i

1 7

Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi

1. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

f i x )

2.x1- Sx

+ 5 w przedziale ( - 1 ,3 ) .

2. Wzór funkcji / ( . r ) = ( 2 je - 3 ) ' + ( . r - 4 ) J- 4 x 2+ 1 0 * - 16:

a) doprowadź do najprostszej postaci, wykonując dziatanla i redukując wyrazy podobne,

b) narysuj wykres funkcji

l podaj jej zbiór wartości,

c) wyznacz maksymalny przedział, w którym wartości funkcji są ujemne,

d> wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja Jest malejąca,

e) narysuj wykres funkcji

g(x)

3. Marcin zatrudni! się w czasie wakacji w sklepie z częściami do rowerów na 14 dni roboczych.

Otrzymywał wynagrodzenie 50 z ł dziennie plus 6 złotych

każdą sprzedaną częśó rowerową kosz

tującą powyżej 4 0 zł.

a) Podaj wzór funkcji opisującej dochód Marcina

b) Oblicz, ile Marcin zarobił, jeśli sprzedał 25 części rowerowych kosztujących powyżej 40 złotych,

cl Oblicz, ile Marcin sprzedałby części, gdyby zarobił 1240 złotych.

4. Dana jest funkcja kwadratowa

f ( x ) - a x 1+ bx + c.

Do wykresu tej funkcji należy punkt

= (3 ,1 4 ), a je j miejscami zerowymi są liczby 2 i ( - 4 ) . Wyznacz współczynniki

a, h, c.

5. Dana je st funkcja kwadratowa

f ( x ) = a x 2+ b x + c .

Do wykresu tej funkcji należy punkt

= ( - 1 , - 13), a jej wartość największa Jest równa 2 dla

x = 4.

Wyznacz współczynniki

a, b, c.

6. Wyznacz dziedzinę funkcji / ( * ) =

J x -

2 * - 3 — — —

/ 5 - M

7. Dana Jest funkcja

W ( x ) - a ( x 3+ 3 x 2- l x -

21).

a) Wyznacz miejsca zerowe te j funkcji.

b) Wyznacz współczynnika, tak aby do wykresu należał punkt /I = {1. - 48).

c) Wykaż, żejeśli

G(x) - a x ’ -

a x ~

to dla każdego

a +

0 równanie

W(x)

G(x)

= 0 ma dwa

rozwiązania

8. Dana Jest funkcja / ( * ) = * - ' - 3 x 2 + 5. Funkcja g je ś t określona wzorem

g i x ) = f ( x +

l ) - / ( x ) + 8,

Wykaż, że funkcja

nie ma miejsc zerowych.

I I F U N K C J E I ICH W t A S N O Ś t l H

9. Dana jest funkcja

f ( x )

= 2 \

Narysuj wykres funkcji

(.t) =

f ( x ) -

t>) Narysuj wykres funkcji

g i x ) = - f i x ) .

Wyznacz wszystkie wartości je, dla których

f i x 1)

<s/(jc + 2).

f - 2x - 8 d l a j r e ( - 6 , - 2 )

10. Dana jest funkcja:

f ( x ) =

- x 2

d l a x e ( - 2 , 2 )

[ 2 x - S

d l a * e ( 2 , 6 )

a) Narysuj wykres funkcji.

b) Podaj zbiór wartości funkcji.

ci Podąj najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale ( - 2 , 1).

www.ap-er&n.pi

1 9

matemjtvka - p o n o * p o d s t a w o w y

iii. Wielomiany i funkcje wymierne

Zadania zamknięte

zadaniach 1-20 wybier

i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

ę ~

Funkcja liniowa / przyjmuje wartości dodatnie jedynie w przedziale (2, +

>. Wzór tej funkcji, to:

A. y =

+ l

B. v =

i x

+ 6

G. y =

+ 2

D, V = 3x

1 Dana Jest rurłkęja kwadratowa /(* ■ )= x 2+ 2 x - 4. Zbiorem wartości tej funkcji jest:

A. {- 5 ,+ c o )

B, ( - l, + o o )

C. (—« ¡ ,—1)

D. ( - o o ,- 5 )

f ~ T

5- Wielomian W = x ~ 7 * - - 4 x + 2 8 p o rozłożeniu na czynniki ma postać:

- 7 )(x - 2 ) ( x - 2)

B, ( x - 7 ) ( x — 2 ) (x + 2}

C . ( x - 7 ) ( x - 4 ) ’

D. ( x - 7 ) ( x + 2)"

. x 2- 16

fifwssA 4. Rozwiązaniem równania;

x - 4

A.,

= —4 lu d x = 4

B. tylko,* = 4

= O jest:

C. ty lk o * = - 4

x -

16 lu b * = -1 6

fśg sl) 5. Para liczb (2, - 2 ) jest rozwiązaniem układu:

| - 3 x - 5 y = 16

i - 3 x + 5v = - 16

B-

3 x - 5y = 16

D. i

' | x + y = 4

[x + y = 4

[3 a c + 5 y = 16

1 * - y = 4

6. Dana jest funkcja kwadratowa / ( * ) = - * + 6 * + c\ Do wykresu tej funkcji należy punkt

A =

( - 2 , - 9). Parametr c jest równy;

A .- 2 5

B .- 1 7

C. 7

D. 17

■— ■

Bask-—

7. W

r funkcji liniowej, której wykresem jest prosta nachylona do osi

pod kątem 60", to:

y ~ x

+ ,/ 3

B. y = / 3 x + 5

D, ,y = x +

v/3

(

3 f 5 3 ^ 8

Liczby -3 , 3, - I , I są pierwiastkami wielomianu:

A. W (*) = ( *

- 3 ) ( * 2 + 3 ){

- ! ) ( * + I)

B. W<x) = ( x 2- 3 ) ( * 2+ 3 ) ( x 2- l ) ( * 2 + l)

W(x)

= ( x ! - 9 ) ( x 2- I)

D. W (x) = ( x 2 + 9 ) ( * 2- I)

a w w .

O j >' ; f o

I I I . W I E L O M I A N Y I F U N K C J E W Y M I E R N E

Rozwiązaniem równania -

* 2

- 4

- O są liczby:

( x - 2 ) ( x + 3)

= - 2 lub * = 2

x ~ - 2

lub * = 2 lub

= - 3

ty lk o * = - 2

D. ty lk o x = 2

10.

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu

W (x)= x' + m x2- 3 x + 2 .

Parametr

jest równy:

A. 2

B . - 2

C .l

D .- 1

(

-A

k— m w t — Z

11. Wielomian W = x 4~ 8 x 2+ 16 po rozłożeniu na czynniki ma postać:

A ( x 2- 4 ) { x 2+ 4)

B. (

- 2 ) 2( * + 2 ) 2

C .(

2 + 4 )3

D .(

+ 2 ) 4

12. Równanie

+ 4 = 0:

A. nie ma pierwiastków

C. ma jeden pierwiastek x „ = - 2

B. ma pierwiastki * , = 2, x 2= - 2

D. ma jeden pierwiastek

x„= 2

15. Pierwiastkami równania

x ~ - x

są;

A. tylko

= I

B. tylko x=<)

C. x, = 0, * , = 1

D. * , = - ! , x , = 0

14. Dane są wielomiany W'(x) = x 4- 5 x , + 3, G (x ) = 2 x 4 + 4 x ‘ + 2. Wielomian

W ( x ) - G ( x )

wzór:

B . - x '‘ - 9 x 3+ l

C. - x 4- 9 x3+ 5

D . - x 4- 9 x 3+ 5

15. Dany iest wielomian

W{x) = 2 x i - x ~ - l .

Wartość wielomianu dla * = - 2 jest równa:

A .- 2 7

B. - 1 9

C. 13

D. 5

16. Równanie x 3 + 1 = 0:

A. ma tylko jeden pierwiastek,

x ~

C. ma dwa pierwiastki,

x.=

1, x , = - L

B. ma tylko jeden pierwiastek, x = - l

D. nie ma pierwiastków

x 2 —

2 1

17. Rozwiązaniami równania---- —- = 0:

(Je- D*

A. są liczby

= - 5 lub

x =

C, jest tylko x = - l

B. są liczby

x = - S

lub

= 5 lub

= l

D. jest tylko x = I

18.

Dana jest funkcja kwadratowa / ( x ) = x 2- 8 x - 5 . Funkcja jest rosnąca w przedziale

A, (4 ,+co)

B .(-4 ,+ o o )

' C. (-00,2 1)

□. (2 1 ,+

)

SS M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

jj 'Y

—

19.

Dane jest wyrażenie wymierne

W (x) -

—

Wartość tego wyrażenia dla

= y'7 je s t rOwna:

- 3

20. Dany jest wielomian

W(x) = x 3 - l x 2 + 5x

- 9, Wartość tego wielomianu dla

x = -

/ 2 jest równa:

A .—7 / 2 - 1 3

6. - 3 / 2 - 5

C . - 7 / 2 - 5

D .- 3 / 2 - 1 3

Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi

1. Roztóż na czynniki stopnia możliwie najniższego wielomian

W(x) = x 6-

3 x 4+

3 x l -

2. Roztóż na czynniki stopnia możliwie najniższego wielomian

W ( x ) = x 3- 3 x 2—2x + 6.

S. Rozwiąż nierówność

- 6 x 1

- l > O,

Rozwiąż nierówność 1 6at2 — 8ar + 1 > 0.

—

Rozwiąż rów nanie---------- 1 = 0 .

■+*1

Dany je st wielomian

(a )

5 x , + 4 x i +

3 a /+

2 x 1+ax.

o którym wiadomo, że

(1)

(-1).

Wykaż,

ż e a = -

7. Dany jest wielomian

W ( x ) = x i - 6 x i + a x i +Ax,

o którym wiadomo, że i y ( - 2 ) = 8. Wyznacz

liczbę a.

. Suma dwóch liczb jest równa 35. Różnica 60 % większej liczby 1120% mniejszej liczby Jest rów

na 3. Wyznacz te liczby.

9. Dane Jest wyrażenie W (jc) =

- o którym wiadomo, że Wd2 ) = W (—3). Wyznacz liczbę

I I I . W I E L O M I A N Y I F U N K C J E W Y M I E R N E

10. Dana jest funkcja

f ( x ) =

2 x 3- 8x + l. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykre

sem funkcji / .

11. Wyznacz wzór wielomianu pierwszego stopnia, jeśli wiadomo, że do jego wykresu należą punk

ty .4 = ( 0 ,- 5 ) , 5 = (- 3 ,4 ) .

12. Dany jest wielomian

f ( x ) = 2 x %+ x - 3 .

Przedstawień wielomian w postaci iloczynowej.

13. Napisz wzór wielomianu postaci

W(x) = x i + axi + b x i + c x ± d .

o którym wiadomo, że jego

pierwiastkami są liczby:

- J l ,

-1,1, / 2 .

14. Rozwiąż równanie /(5 -

3x)~

= 12.

15 .5 maszynistek pisze pewną, liczbę stron maszynopisu w ciągu 6 godzin. Oblicz, w jakim czasie

taką samą partię stron i przy takiej samej wydajności pracy napisze 12 maszynistek.

3 0 pkt

’

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

2 x - 3

. Rozwiąż równanie

I = -

x — 2

2. Z miejscowości

do miejscowości

odległej cc

o 160 kin wyruszyły samochód osobowy i ro

werzysta, Prędkość rowerzysty jest o 50 ~

mniejsza od prędkości samochodu. Czas przejazdu sa

mochodu jest o 3 godziny I 20 m inut krótszy od czasu przejazdu rowerzysty, Oblicz średnie pręd
kości samochodu i rowerzysty.

3. Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa 19. Różnica cyfr setek i jedności jest równa l. Jeśli cy

fry zapiszemy w odwrotnej kolejności, to otrzymamy liczbę mniejszą od danej o 99, Wyznacz tę

liczbę trzycyfrową.

4.  Stojak na  plakat ma  kształt trójkąta równoramiennego o podstawie 2,4 m i wysokości 2 m .  Na
klejony  na  trójkąt  plakat  ma  mieć  kształt  prostokąta  (wpisanego w trójkąt).  Jakie  wymiary  musi
mieć ten  prostokąt,  aby  powierzchnia  plakatu  zajmowata jak  największą  część  powierzchni  tró j
kąta?

w w w . o j s e r o n . p i

* M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

Dany jest wielomian W (,x )= x 3 + a * 2- 9 x + 6 spełniający warunki W ( - I ) = - 1 6 i

(4 ) = 49.

a) Wyznacz parametry

a, b

b) Rozłóż wielomian na czynniki I wyznacz jego miejsca zerowe.

3 — 2x ~ — 3x

" j j y g f r

. Dane jest wyrażenie W (x ) =

x 6- l& ^ + S b r

Wyznacz dziedzinę tego wyrażenia,

b! Przekształć to wyrażenie do postaci ułamka nieskracalnego.

7. Liczby 4 i ( - 5 ) są pierwiastkami wielomianu W ( x ) = x 3 + a x 2 + i> x -8 0 .

a) Wyznacz wartości parametrów

a, b.

b) Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu

. Dany jest wielomian W (jf) = x 3+ Z v + 5 . Wykaż, że wielomian

G ( x ) ~ W ( x +

) - W ( x )

nie ma

miejsc zerowych

Dane jest wyrażenie

W (x) =

~ —

Oblicz wartość tego wyrażenia dla x = / 2 + 3 . Wynik

przedstaw w postaci

a J l

gdzie

a, b

są liczbami wymiernymi,

( ~

10- w Dawnej szkole maturzyści mieli zapłacić za salę i muzykę na bal studniOwkowy w sumie

16500 złotych. Gdyby 10 osób nie poszło na studniówkę, każdy z pozostałych musiałby zapłacić

o 15 złotych więcej. Oblicz, ilu maturzystów jest w tej szkole.

€

754

pk t

f w w .

cjperon.pl

IV. FUNKCJE

T R Y G O N O M E T R Y C Z N E

IV. Funkcje try g o n o m e try c z n e

Zadania zamknięte

W zadaniach 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

1. W trójkącie prostokątnym

ABC

kąt przy wierzchołku

ma miarę 30°, a najkrótszy bok ma

(

długość 4 cm. Długość przeciwprostokątnej Jest równa:

-— c a a

» — '

A.4 / 3

C . M

D, 8

2. W kwadracie

ABCD

o boku

połączono wierzchołek A z punktem

należącym do boku

i dzielącym ten bok w stosunku 1:2 licząc od wierzchołka

Tangens kąta

AEB

jest równy:

S. Kąt a jest ostry i s i n a = - Wówczas cos a jest równy:

A .-

B . -

C .

D . / f

y 5

4. Wiadomo, że a jest większym kątem ostrym w trójkącie prostokątnym. Wtedy na pewno:

A. sin Or < tg

B. s in a > t g a

C. s in a c c o s a

D. cosQł> -—

tg a

5. Sinus kąta ostrego

jest dwa razy większy od jego cosinusa. Wówczas;

„

A . s m c ^ 2^ -

B .

cosot

= - ^ -

C . s in a = -

D .c o s a = -

6. Cosinus kąta ostrego er jest trzy razy większy od jego sinusa. Wówczas:

A .c o s a = -

B, tg er = 3

C. t g a = -

D .s m a = -

7. Wiadomo, że dla pewnego kąta ostrego

prawdziwy jest warunek sinorcoscr=

Zatem

wyrażenie H/ = ( s i n a - c o s a ) 2 ma wartość:

A.W=2

t W = -

w w w ,opsran.pl

a MA1EM1YKA - POZIOM PODSTAWOWY

Wiadomo, że dla pewnego kąta ostrego a prawdziwy jest warunek s in a c o s a = ^ . Wybierz

wartość, którą przyjmie wyrażenie

= ( t g a + —

]

a !

Przekątna rombu tworzy z jego bokiem

kąt 30°. Wiadomo, że e =

cm. Dłuższa przekątna

rombu ma długość:

3 / 3

B. 3

D. 6 / 3

10. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 10 i

, zaś ramie ma długość 4. Miara kąta

ostrego trapezu jest równa:

A. 60°

B. 30°

C. a > 6 0 °

D. a < 3 0 °

11. Jeśli a jest kątem ostrym i s jn a = ~ , to:

A. cosot = —

B. c o s a = —

C. t g a = —

D. t g a = 1 2

12. Jeśli

jest kątem ostrym i tg a =

to:

A . s in a < —

B .c o s a c —

C . c o s a = -

D . s in c r = -

13. Wiadomo, że t g

cr= 3 i 0° < a <90°. Wynika stąd, że;

A, a = 6 0 ”

ce=

30°

C. a > 6 0 °

D. a < 30°

14. Wiadomo, że s'uii a = - i 0°

<a<

90°, Wynika stąd, że:

A ,a = 60°

B. cr= 30°

« = 45°

D .ce<30°

15. Dany je st trójkąt równoramienny o wysokości 24, podstawie 20 i ramieniu 26. Kąt a Jest kątem
przy podstawie trójkąta. Wynika stąd, że.:

A. smQł= —

B. c o s a = —

C. t g a = —

D. s in a = —

16.

Dany jest kąt a = 60°, Dla tego kąta prawdą jest, że:

lo g , c o s a = - l

B, lo g 2s m a = - l

C. l o g , t g a = - l

D .io g

t g a = 2

WWW.opAr

n.pl

I V . F U N K C J E T R Y G O N O M E T R Y C Z N I B

17. Dany jest kąt

= 60°. Dla tego kąta prawdą jest, że.

A. tg

= 3

3 / 3

C. tg sa = 3 / 3

D. cos' t t = -

18.

Dany jest kąt a = 30°. Dia tego kąta prawdą jest, że:

A . ( c o s o - l) 2= i

B. ( s i n a - 1 ) ! = ^

C. ( c o s a - 1 ) 2= ^

D. ( s i n a - l ) 3= i

19, W kwadracie połączono wierzchołek

A ze

środkiem 5 boku

BC.

Kąt

SAB

ma miarę

Wynika

stąd, że:

A. a = 30°

B. c o s a = -

c . t g « = -

D. a = 45°

2 0 .0 kącie ostrym

wiadomo, że c o s a = - i t g a = - Zatem:

A. s in a = —

B. s in a

.1 6

C. takie dane są niemożliwe

D. s in a =

■

— <ESEE>-—

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

1. Wykaż, że dla kąta ostrego

prawdziwa jest tożsamość c o s * - c o s ; ts in 2jc = cos

2. Wyznacz kąt ostry

wiedząc, że log

sin

= - l.

5. Wykaż, że dla kąta o stre g o a prawdziwa jest równość cos

a s in a + s in ’ a = s in a .

4. Dane jest wyrażenie W =

mniejsza od | —^

sin 60° - -

/ 5

. Wykaż, że wartość tego wyrażenia jest liczbą

Dla pewnego kąta

prawdziwy jest wzór (tg

- / 3 ) ( t g

- 1) = 0. Wyznacz a, jeśli 0° < a < 90°.

w w w . o p & r O H . p i

0 M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

. Przedstaw liczbę

= (s in 60" - 2) ” w postaci

a + b j .

3, gdzie

a, b

są liczbami wymiernymi.

7. Wiadomo, że t g a = 3 i 0 ° < a < 9 0 ”. Wyznacz sin a , cosa.

. W trójkącie prostokątnym długość krótszej przyprostokątnej jest równa 10, a sinus kąta leżącego:

naprzeciwko tej przyprostokątnej Jest równy

Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta.

9. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma dtugoSć 12, a jeden z kątów ostrych 30',
Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta

10. Wiadomo, że c o s a =

i 0" <

a <

9 0”. Wyznacz sin a , ig a.

11.

Wykaż, że tg ’ a + l = — J— .

cos

12. Wyznacz kat ostry

wiedząc, że lo g . c o s a = -1 i 0° < a < 90”.

13. Oblicz wartość wyrażenia

(cos 30° + tg 30") 3.

14. Wykaż, że nie istnieje kąt ostry

taki, że sin

a = -

i tg or = —.

15. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość

. Wyznacz sinus I tangens

najmniejszego kąta.

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

1. Zbuduj k ą ta , taki, żeO" < a < 9 0 " , s in a = - Oblicz wartość wyrażenia ( c o s a +

t g a y

Wyznacz wszystkie wartości parametru

dla których równanie

s\nx = m : - 4 m

+ 4 ,0 ° < * < 90'

ma rozwiązanie.

3. a! Wyznacz wszystkie wartości parametru

dla których istnieje kąt ostry

taki, że

t g x = - m 2-

5m +

, 0 “ < * < 9 0 "

bl Wyznacz liczbę

jeśli wiadomo, że kąt ostry

taki, że

t g x = - m ‘ - 5 m

, je st równy 45”.

wwv/.operoo.p.[:|

IV , F U N K C J E T R Y G O N O M E T R Y C Z N E l i

Dane jest kolo o promieniu f2. Poprowadzono cięciwę odległą od środka kola o 6 /3 . Wyznacz

rrilarę kąta środkowego opartego na tej cięciwie.

t© y

Sprawdź tożsamość

= 2 sin

- 1 dla kąta

takiego, że 0" <

< 90°.

+ -

\ ■

Dla pewnego kata 0 ° < a < 9 0 " prawdziwy jest wzór t g a +

= 3cos

Oblicz wartości

tg a

funkcji trygonometrycznych kąta

_ , . . .

. . . .

sin 30 - 2 c o s 4 5 . ^

a) Sprawdź, czy liczba

x =

-:— — — jest liczbą wymierną.

sin 45 tg 60

Zapisz liczbę

w postaci utamka o wymiernym mianowniku.

W rombie o boku

= 26 długość dłuższej przekątnej jest równa 40. Wyznacz sinus kąta ostrego

tego rombu.

Dany jest trapez równoramienny o podstawach długości

i 12 kącie ostrym 60°. Oblicz wartości

funkcji trygonometrycznych kąta między przekątną i podstawą trapezu.

10, Stosunek długości boków prostokąta

jest równy 3 ; 5, Punkt

należy do boku

¡ I M

- i

\CE\

^ } = i . Oblicz cos

ZE AB.

/48r

www.osisrors.pf

H M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

v. C iągi

Zadania zamknięte

W zadaniach 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź,

1. Dany jest ciąg ( a jo w y r a z ie ogólnym

a , = n 2-

4, Wówczas

a, =

O, gdy:

A. rc = O

= 2 lub « = - 2

C, tylko « = 2

D. « = - 4

2. Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym

a„~ 5n

+ 3. Różnica te g o ciągu jest równa:

A. r = 3

B, r = - 3

C . r = 5

D. r = - 5

Ciąg geometryczny, w którym iloraz

= ^ l o, # O jest:

A. na pewno malejący

B. na pewno rosnący

C. na pewno nie monotoniczny

D. na pewno monotoniczny, ale nie wiadomo, czy rosnący, czy malejący

4. Liczby

(2,x,

) tworzą ciąg geometryczny, który nie je st monotoniczny. Wówczas:

x = 4

B . x = - 4

C. zt = 4 lub a: = - 4

D, * = 5

5. Liczby naturalne

których reszta z dzielenia przez 4 je st równa 3:

A. tworzą ciąg arytmetyczny

B. tworzą ciąg geometryczny

C. tworzą ciąg, który nie jest ani arytmetyczny, ani geom etryczny

D. tworzą ciąg o wyrazie ogólnym

a„

= 3n + 4

. Dany jest ciąg arytmetyczny (

„ ) o pierwszym wyrazie a, = 3 i różnicy

m 2

+ 4. Dla Jakich

dągj

( a ,) jest rosnący?

m e ( - 2 , 2 )

B. m £ ( - » , - 2 ) U ( 2 , +oo)

C. nie ma takich

D m e J !

7. Dany Jest ciąg

(a„)

o wyrazie ogólnym « „ = 5 " *

A. Jest to ciąg arytmetyczny

B. jest to ciąg geometryczny

C. je st to ciąg, który nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny

D .a ,= 5

I 3 0

www.operois.irtt

v . c i ą g i

Dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 25, a Jedenasty wyraz jest równy 30. Pierwszy

wyraz tego ciągu jest równy:

7 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Wskaż liczbę

A.- 5

B. 5

. - 6

10. Liczby

+ 3, 5, 7 tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Wskaż liczbę

A. * = —

C .x = -

D . x = -----

11.

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

„ = — — . Wyraz

a„ .

, ma wzór:

+ l

, t , =

2/1

+ 3

2n + 2

a ', +

2n + 3

D‘

2 n + l

12, Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym

a„=

3n - 5. Różnica te g o ciągu je st równa:

A ,r = 3

r - 5

C . r = - 3

D. r = —5

1S.

Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym a „ = - 5 • 2". iloraz tego ciągu jest równy:

A .? = 5

B . q = - 5

C . q - 2

D .q = - 2

14.

Dany je s t ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie ( - 7 ) i różnicy ( - 2 ) . Drugi wyraz tego ciągu

jest równy:

15. Dany jest ciąg geometryczny o drugim wyrazie 16 i ilorazie ( - 2 ) , Pierwszy wyraz tego ciągu

Jest równy.-

16. Liczby 5,9, 2 x - 1 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa:

17. Liczby

3x + 2,

7, - 2 tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczba x jest równa:

A.x = —

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

18. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

a „ = - n +

3. Liczba dodatnich wyrazów teg o ciągu Jej

równa:

A. 3

B. 2

wszystkie

od czwartego włącznie

D. wszystkie od trzeciego włącznie

19. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

a„ = \ 2 n -

L0|, Wyrazami dodatnim i tego ciągu, są:

A. a ,

B. wszystkie oprócz piątego

wszystkie

od piątego włącznie

D. wszystkie

20. Dane są dwa początkowe wyrazy ciągu a rytm e tyczn e g o « ^ —

■, « ,= —

Różnica te®

+ 2

J3 + 2

ciągu jest równa:

A. 2 / 3 - 4

B. 2 / 3 + 4

C .- 2 / 3 - 4

D .- 2 / 3 + 4

720

plćt

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

W ciągu arytmetycznym a

= - l , « 5=

. Wyznacz pierwszy wyraz I różnicę tego ciągu.

W ciągu geometrycznym « ,=

, « ,=

Wyznacz pierwszy wyraz

Iloraz teg o ciągu.

3. Wyznacz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane «,= li

a 2 -

4. Wyznacz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, mając dane «,=;

= l, 5 .

5. Dany Jest ciąg o wyrazie ogólnym a „ = ( n - 4 ) ( n - 7 ) . Sprawdź, które wyrazy tego ciągui

ujemne.

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

= - 2ń +

. Wyznacz wszystkie dodatnie wyrazy tego ciąg

Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym

a „ = - - n -

1 jest arytmetyczny.

www.operoBj

V. ( 1 / j G I «

Wykaż, Ze ciąg o wyrazie ogólnym « ^ y jest geometryczny.

9. Dany jest ciąg ( y

x, ~ +

2xJ, Wykaż, że nie istnieje taka liczba

aby ten ciąg byt arytmetyczny,

10. Ciąg | - 4 . jr , j r + y j jest geometryczny. Wyznacz liczbę

11. W ciągu arytmetycznym « ,= - 4 ,

r -

3, zaś suma

początkowych wyrazów jest równa 732.

Wyznacz

12. W ciągu geometrycznym

= 2, suma

początkowych wyrazów jest równa 765. Wyznacz «,.

13. Dany Jest ciąg o wyrazie ogólnym

a = 2n + \

sprawdź, który wyraz ciągu jest równy l.

/ -

3n - 5

L " '

14.

tycznym

.. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym u , = ~ . Wykaż, że

l a , . a

, - - , « , ) jest ciągiem arytme-

. + l

żnym.

15, Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym « „ = ——--. Wykaż, że ( a

, a , , ^ — ) je st ciągiem geome-

n + 1

\ Ł

64 /

trycznym.

/30

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

1. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb jest równa 15. Jeśli do pierwszej liczby

dodamy 5, do drugiej 3, a do trzeciej 19, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

2. Wyznacz takie liczby

x. y.

aby ciąg (27,uc,.y) był geometryczny, a ciąg ( j t . y , - 3 ) - arytmetyczny.

3.  Pierwszy,  siódmy  i  trzydziesty  pierwszy  wyraz  ciągu  arytmetycznego  są  równe  odpowiednio
pierwszemu,  drugiemu  i  trzeciemu  wyrazowi  ciągu  geometrycznego.  Pierwszy  wyraz  ciągu  aryt
metycznego jest  równy 4.  wyznacz sumę  początkowych 30 wyrazów  tego ciągu.

W W * . < > p e ? 0 9 . p l

MMUU1YK* • POZIOM PODSTAWOWY

Dane są cztery liczby ustawione w ciąg. Trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a trzy ostatnie

- arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej liczby jest równa 35, a sumą drugiej i trzeciej liczby Jest

równa 30. Wyznacz te liczby.

Wyznacz sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych, które z dzielenia przez 7 dają resztę 5.

Wyznacz sumę wszystkich ułamków postaci — dla

oraz sumę wszystkich utamków postaci

dla

. Wyznacz różnicę tych sum.

, Ewa przeczytała w czasie ferii czterotom owe dzieto. Pierwszego dnia przeczytała 2 0 stron,

a każdego następnego o 20 stron więcej, W sumie przeczytała 1100 stron, Oblicz, przez ile dni Ewa

czytata to dzieto.

Tomek rozwiązywał przed egzaminem zadania testowe z fizyki. Pierwszego dnia rozwiązał 40

zadań, a każdego następnego dnia rozwiązywat 1,5 raza więcej. W sumie Tomek rozwiązał 325

zadań testowych. Przez ile dni rozwiązywat te zadania?

9. Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 48, a suma drugiego

wyrazu i piątego jest równa 24.

a) Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz te g o ciągu.

b) ftrdaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu.

Ci Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu,

10. Suma szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego je st równa 52, a różnica kwadratu

dziesiątego wyrazu i kwadratu szóstego wyrazu jest równa 624.

a) Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

b) Podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu,

c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie 735.

V I . P L A H I M E T I I A K

vi. Planimetria

Zadania zamknięte

W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

Pole rombu jest równe 12,5, a kat ostry ma miarę 30'. Długość boku tego rombu jest równa:

A.5

B. 5 / 2

c . 5

6,25

Na rysunku zaznaczone są kąty a , /?, Prosta /je s t styczna do okręgu.

Jeśli kąt

140', to kąt /3 je st równy:

A. 20°

B. 40°

C, 70°

D. 50°

S. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy f l = 4 v/3. Bok tego trójkąta

ma d iij

śc:

A. 6 / 3

B. 4»/3

C. 12

D. 18

4. Trójkąt

ABC

je st podobny do trójkąta

A'B'C.

Kąty przy wierzchołkach

są proste.

Najdłuższy bok trójkata

A'B'C'

ma długość 39, a dwa krótsze boki trójkąta

ABC

mają długości 12

¡5. Skala podobieństwa trójkątów jest równa:

A. —

' 5

c . 3^

5. Dany je st okrąg o promieniu

1,4. Wiadomo, że odległość środka tego okręgu od prostej ¿jest

równa / 2 . Wówczas:

A. prosta jest styczna do okręgu

B. prosta ma z okręgiem

punkty wspólne

G, prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych

D. nie można stwierdzić, ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem

S M A T E M A T Y K A - P 0 2 I O M P O D S T A W O W Y

vi.

p l a n i m e t r i a

. Trójkąt

ABC

jest wpisany w okrąg o środku

Wiadomo, że

\<BAC

| = 7 0 ”,

\<AOB\-

100*.

Wówczas:

A. ¡<iASCl= 10”

\<ABC\=

30“

C .[< A flC | = 50*

D, |<iAfiC| = 60°

7. Dany jest trójkąt

ABC,

w którym ]A C j = |BC | =

, zaś wysokość |CD| = 4. Miary kątów t®3

trójkąta są następujące:

A. 9 0 ”, 45°, 45°

B. 60", 6 0 “, 6 0 ”

C, 3 0 ”, 30", 120°

D. 30”, 4 5 ”, 105"

. Trójkąt

ABC

jest podobny do trójkąta

A'B'C.

Pole trójkąta

ABC

Jest równe

c m 2, pole trójką^

A'B 'C

jest równe 2 4 c n r , zaś obwód trójkąta

ABC

jest równy 18cm. Obwód trójkąta

A'B'C

je$j

równy:

A, 7 2 cm

B. 3 6 cm

C. 9 cm

D. 4 ,5 cm

9. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku

Wiadomo, że |< A O C |= 80“. Wówczas:

A. |< A B C |= 40"

B, |<AB C | = 5 0 “

C .|< A B C | = 90°

D. |<A B C [ = 60*

10. Dany jest równolegtobok o bokach

, ¿ = 1 0 1 krótszej przekątnej

d = 6.

kąt ostry |

równolegtoboku spełnia warunek:

A. 45° <

<60 °

B, « > 6 0 °

C .3 0 " < a < 4 5 ‘

D. a < 3 0 °

11. Przekątne rombu mają długości 16 i 12. Jeśli

jest polem rombu, a

jego obwodem, tg

wówczas:

A. P=

384

B. P=

192

= 4 0

D .L = 80

12. Na rysunku zaznaczone są kąty. Prosta /je s t równoległa do prostej

Jeśli

\OD\ =

2, |CD| = 4, |£V\| = 5, to:

A. |jBC| = 10

B .|B C | = |

\BC\=

D .|B C | = |

13. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy

r =

, Bok teg o trójkąta i i

dtugość:

A. 24

B, 12 73

e. 12

D. 2 4 / 3

www.operon.ji

14. Przekątna kwadratu o polu P je s t równa 10:

A, P = 1 0 0 /2

B .P = 1 0 0

C. a =

2 5 / 2

D. P = 50

15. Obwód kwadratu opisanego na okręgu o promieniu 3 jest równy:

16. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 2 / 3 . Zatem pole tego trójkąta jest równe:

17. Stosunek miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest
równolegtobokiem, jest równy 1: 3. Miara kąta przy krótszej podstawie trapezu jest równa:

18. Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu S a n Jest równe:

19. Kąt środkowy l wpisany są oparte na tym samym tuku. Suma miar tych kątów jest równa 60".
Miara kąta Srodkowegojest równa:

20. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych

a =

b =

jest

równy:

A. 5

D, 10

Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi

. Boki trójkąta prostokątnego mają dtugość 5 i 13. Wyznacz dtugość trzeciego boku.

2. Boki trójkąta równoramiennego mają długości:

x + i x + 2,

7. Wyznacz

3. Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 26 i jednej z przyprostokątnych 10. Oblicz
pole tego trójkąta.

4. Jedna z przyprostokątnych trójkąta je st 3 razy cftuższa od drugiej przyprostokątnej, Dtugość
przeciwprostokątnej jest równa 20. Wyznacz dtugość krótszej przyprostokątnej.

w w w .

r>peron. pi

S M A T E M A T Y K A - P 0 7 I O M P O D S T A W O W Y

5. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie 12, Wysokość jest □ 2 krótsza od ramienia trójkąta,

Wyznacz długość wysokości teg o trójkąta.

. Jeden z boków prostokąta jest dwa razy dłuższy od drugiego. Pole prostokąta jest równe 98 cm*.

Wyznacz obwód tego prostokąta.

7. W trójkącie dane są: |AB| = 12, |

AC\

\BC\ =

, Poprowadzono prostą równoległą do boku

AB,

która przecięta bok

w punkcie

odległym od punktu

o 2, a bok

przecięta w punkde

Wyznacz obwód trójkąta

EFC.

. Dany jest bok rombu

= 10 i kąt wewnętrzny

= 30°. Oblicz wysokość tego rombu,

9. Jedna z przekątnych rombu o polu 96 jest równa 12. Oblicz bok rombu.

10. Ma rysunku podane są długości niektórych odcinków, a proste /,

są równoległe. Wyznacz |

DC\

11. Dany jest trójkąt równoramienny

ABC o

ramionach

AC, BC

i podstawie

Na prostej

AB,

zaznaczono na zewnątrz trójkąta punkty

E, F,

takie, że |A E | = |B F |. Wykaż, że trójkąt

EFC

jesl

równoramienny.

12. Dany Jest trójkąt prostokątny

ABC

o przyprastokątnych

AC, BC

Odcinek C Djest wysokością trójkąty

\<CAB\ = a , a

punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Wyznacz miarę kąta

DCO.

15. Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej A S Jest wpisany w okrąg. Kąt C A

ma miarę 50'

Wyznacz kąt między styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie

l bokiem

trójkąta.

14. Dany jest trapez równoramienny o podstawach |AB| = a,

\CD\=b(a>b).

Odcinek

¡es:

wysokością tego trapezu. Wykaż, że |£ S | =

a + b

15. Wykaż, że odcinek

łączący środki ramion trapezu o podstawach

a. b

ma długość

— —.

V I . P L A N I M E T R I A SE

Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi

W półkole wpisano trapez, tak że dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu. Stosunek

¡\

przekątnej trapezu do sumy podstaw jest równy 2. Wykaż, że cosinus kąta między przekątną l

2 . 7

i podstawą tego trapezu jest równy —.

Z punktu C leżącego na okręgu o promieniu r = 10 poprowadzono dwie cięciwy CA i

równej

długości. Kąt

ACB

ma miarę

a =

30°, Oblicz pole trójkąta

ABC.

Dany jest trójkąt prostokątny

ABC.

Symetralna przeciwprostokątnej

dzieli jedną z przypro-

stokątnych na odcinki długości 3 cm i

cm. Wyznacz długość drugiej przyprostokątnej i przyległy

do niej kąt ostry.

4, W trójkącie prostokątnym

ABC

poprowadzono odcinek

równoległy do przeciwprostokątnej

AB,

taki

ie D e BC, E e AC,

Długość tego odcinka jest równa długości przyprostokątnej AC, zaś

kąt przeciwległy tej przyprostokątnej ma miarę

Oblicz stosunek pola trójkąta

DEC

do pola tró j

kąta

ABC.

Dany jest równolegtobok o kącie ostrym 3 0 ”, Punkt przecięcia się przekątnych jest odległy od

jego boków odpowiednio o 2 cm i 4 cm. Wyznacz obwód

pole równoiegloboku.

. Stosunek boków równoległoboku jest równy 2 : 5. Wyznacz długość wysokości równoiegloboku,

jeśli wiadomo, że suma ich długości jest równa 56.

Dany Jest kwadrat

ABCD.

Punkty

E. F

są środkami boków odpowiednio

kwadratu.

Wyznacz stosunek pola trójkąta

EFC

do poią trójkąta

AEF.

(

*« Y

T—

erm

s jł—

. Stosunek przyprastokątnych trójkąta prostokątnego jest równy I : 3. Wyznacz stosunek odcin

ków, na jakie wysokość

podzieliła przeciwprostokątną

AB.

*€53323—

9. Trapez

ABCD

jest wpisany w okrąg w ten sposób, że podstawa

trapezu jest średnicą okręgu.

Kąt ostry trapezu jest równy 60°, a przekątna ma długość 12. Wyznacz pole tego trapezu.

10. Wysokość

trójkąta

ABC

ma długość 20 i tworzy z bokiem

kąt

taki że sincr = - ,

bokiem

kąt /?, taki źe tg

f i -

2. Wyznacz obwóct trójkąta.

7531

«©fig '

i ; # ' : ' r ‘

f f i M A T E M A T Y K A

P O Z I O M P O D S T A W O W Y

VII. G e o m e tria a n a lityczn a
Zadania zamknięte

W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedz.

Prosta

ma równanie: 3 * - 5y + J = 0. Współczynnik kierunkowy prostej / jest równy:

a='i

B . a = - 5

C a = 5

^ 2. Proste / i

są równolegle i

- 2;y + I = 0 , fcy =

ax +

Wówczas:

k . a = - 2

B , £ ) = - -

C .a = —

D .o = 2

3. Punkt

P - ( x , 2 )

należy do prostej o równaniu y = 2,t + 3. Odcięta punktu P jest równa:

x = ~ -

B .x = 7

C. x = —

= — 2

4, Punkt S = (2, - 3 )jest środkiem odcinka .4fi i wiadomo, że 4 = ( - 4 . 7). Wówczas:

A. f i = (O J )

B. S = (5, - 13)

C. S = (8 ,1)

D. £ = ( 8 , - 1 3 )

“■dtaw ji 5. Dany jest okrąg o r 0 w n a n iu ( ,x - 4 ) '+ ( y + 3 ) ‘'= 4 . Wówczas:

- « a a

a. S = ( - 4 , 3 )

B . r = 4

C. S = ( 4 , - 3 )

D .r = 1 6

6. Proste

są prostopadle i i : 3 * - 9 . y + 2 = 0,

k:y = ax + b.

Wówczas:

= —

. 6

= —

C. a = —

= - 3

7- Dany jest odcinek o końcach

4 = { - 4 . -

), i i = ( 2 ,- 4 ) .

Długość odcinka jest równa:

\.\ AB\ = A j l

B .|4 B | = 2yTÓ

C. 4 B = 4 / 6

D. |4 5 | = 2 v/2 6

. Dane są proste o równaniach /:

y - 2 = 0,

k: ~ x + 3 y +

I = 0. Proste te:

A. są prostopadle

B. są przecinające się, ale nie prostopadle

C. nie mają punktów wspólnych

D. mają nieskończenie wiele punktów wspólnych

4«

www.opitrtłinpi

V I I . G E O M E T R I A A N A L I T Y C Z N A K

9. Dany jest okrąg o równaniu

x 2- 8 x + y 2-

y = 0. Wówczas:

/■

A.A’ = ( -

)

B, 5 = (

)

C.S = (4 ,3 )

D.S = < - 4 , - 3 )

10. Dana jest prosta /:y = ^ rc + 7 i punkt

P = (

4 ,- 3 ) . Prosta k prostopadła do prostej /

i przechodząca przez punkt P ma wzór:

y ~ - 2 x + 7

C, y = - 2 x - l l

D. y = - 2x + 5

11. Prosta

ma równanie: 2 ; t - 3y + l = 0 . Prosta

przecina oś

w punkcie o rzędnej:

12. Proste

są równolegle i

t:y = 3 x

- 5, Wówczas prosta

ma równanie:

k . y =3 x + b

B . y = - ^ ; r + £>

C . y = - 5 x + b

D.y = ~ x + b

13. Punkt

P =

( - 4 ,

należy do prostej o równaniu

y = ~ x +

3. Rzędna punktu

jest równa:

14. Punkt S jest środkiem odcinka

i wiadomo, że 4 = (- 2 ,5 ) , f i = ( - 6 , 11). Wówczas:

= ( 2 ,

)

B. S = (—4, - 3)

C. 5 = ( 2 , - 3 )

D.S = ( - 4 , 8 )

15. Dany jest okrąg o równaniu

x 1+2 x + y 2- 6 y -

10 = 0. Wówczas:

r = /2 Q

B. r = 20

D. r = / l 0

16. Proste / i

są prostopadle i

l : y - - 5 x +

1. Wówczas prosta

ma równanie:

A .y = 5x + 6

B. y = ~ ^ x + b

C.y = 5x + b

D . y = i , r + fc

17. Dany jest odcinek o końcach

A =

(5 ,4), f l = (5 ,y). Długość odcinka jest równa 7. Zatem:

f i = (5 ,3 )

B. S = ( 5 , 3 ) V f l = ( 5 ,—11)

f i = ( 5 , - l l )

= ( 5 , - 3 ) v f i = (5.11)

18. Punkt przecięcia się prostych o równaniach y = 3x + 5 i y = x + 1 ma współrzędne:

A, (2,1)

B. ( 2 ,- 1 )

C, ( - 2 , 1 )

D. ( - 2 , - 1 )

wwv?.opcifi>«.pi

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

f g & 19- Dany jest okrąg o równaniu ( * - 4 ) - + ( y - 3 ) J= 2 5 oraz punkt

P - { 9 , y )

należący do tego

okręgu. Wówczas:

A. v = —3

3 .y = 5

C.y = 3

D. y = —5

( '

f ś j g i p i 20- Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu

A =

( - 1 , - 5 )

punkt

C =

(5, i). Bok kwadratu

^— w w

•' ma długość;

A. a = ¿26

B ,o =

C.a = % J l

a = \

—

/ z O p k t

, : i

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

j j j i .i!D 1- Dana jest prosta

t : y = - - x -

, Wyznacz równanie prostej

prostopadłej do prostej

i przecho

dzącej przez punkt 4 = ( l , -

śj| 2. Dana jest prosta

l:y= 2x + 5.

Wyznacz równanie prostej

równoległej do prostej

i przechodzą

cej przez punkt

= (4 ,2),

3. Punkt A = ( 3 , - 7 ) jest końcem odcinka

AB,

którego środek ma współrzędne S = (-3 ,1 3 ).

Wyznacz współrzędne punktu

Środek odcinka o końcach

= ( 5 ,-1 ) ,

= ( - 7 , - 3 ) Jest środkiem okręgu o promieniu r =

■-— o r a — ' Napisz równanie tego okręgu.

5. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu

x l + y 1

- + \(1x-

1 2 y + 5 2 = 0.

» a

. Wyznacz liczbę

tak aby proste o równaniach

y = ( 2 m -

1).* i v = ( 5 - m ) * + 7 byty równo

ległe.

7 - Wyznacz liczbę

tak aby proste o równaniach

y = ( m 2- 3 ) x - 2 \ y = - - x + \

były prosto-

’

padle.

S. Dany jest kwadrat o kolejnych wierzchołkach

A =

( - 4 ,2 ) ,

= (

, - 2 ) . Wyznacz promień okręgu

opisanego na tym kwadracie.

(

e fjiia ? ) 9. Dany jest kwadrat o przeciwległych wierzchołkach

A = (

3,1), C = (-1 ,3 ) . Wyznacz długość boku

tego kwadratu.

• 2-»’

"'O-

BoK AB

prostokąta

ABCD

jest dwa razy dłuższy od boku

AD.

Wyznacz obwód tego prostokąta,

—

jeśli wiadomo, że

= (2,1), i ł = (4,9).

w-o $ er o tt. () i

V I I . G E O M E T R I A A N A L I T Y C Z N A R

11. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach y = 2 x +

i y = -

x +

12. Wykaż, że proste o równaniach - 3 x + - 2 y - 1 = 0 i

uc — 4> + J5 nie mają punktów wspólnych.

13. Wykaż, że punkty

A =

(1 ,-3 ),

= ( - 2 , - 9 ) , C = (4 ,3 )s ą wspótllnlowe.

14. Wykaż, że prosta

przechodząca przez punkty A = (1 ,-5 ),

B =

(- 1 ,3 ) Jest prostopadła do

prostej

o równaniu

y = - x + 2.

15. Napisz równanie okręgu o środku

S =

( - 3 ,

) i promieniu równym długości odcinka o końcach

A = ( 2 ,- 3 ) , f i = ( - 5 , - 1 ) .

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

1. Wykaż, ze punkty

= ( l . 3),

B = (3 ,

1),C = (

,4 ) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Oblicz

—

pole tego trójkąta.

v—

m * S .

2. Dane są punkty

- ( - 7 , -3 ),

B =

(- 3 ,5 ) .

a) Napisz równanie okręgu o średnicy

AB.

b) Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w ten okrąg.

3. Dany je st kwadrat o przeciwległych wierzchołkach A = ( l,5 ), C = ( - 3 , - 5 ) . Wyznacz

współrzędne wierzchołków

D te g o kwadratu.

4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach

= ( - 4 ,2 ) , B = (0,4),

(

, - 4 ).

a) Wyznacz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka

b) Oblicz pole trójkąta.

5. Dany jest kwadrat o kolejnych wierzchołkach

= (4 ,2), B = ( - 4 ,~ 2 ) . Wyznacz współrzędne

wierzchołka C tego kwadratu.

6 . Sprawdź bez rysowania, ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu

2x -

I z okręgiem

r ■

o równaniu

x l + 2 x + y 2- 4 y =

•

<■ « ■»

liif w w.

e f o s>. fł i

MATEMATYK* - POZIOM PODSTAWOWY

7. Dany jest okrąg o równaniu x 2+ (> • - 4 ) ' = 2 5 1 prosta o równaniu

y - ~ l x +

29 przecinająca ter

okrąg w punktach

A, B.

a) Wyznacz współrzędne punktów A, fi.

b) Oblicz długość cięciwy

AB.

c) Wyznacz kąt

między cięciwą

i promieniem 5’A gdzie punkt

jest środkiem okręgu.

. Dane są wierzchołki trójkąta: A = (

, - l ) , f i = (10,1), C = (2 ,7).

a) Wykaż, że trójkąt

ABC

jest prostokątny.

b) Oblicz sinus kąta

ABC.

9. Dane są równania prostych, w których zawarte są dwa boki równolegtoboku -

AB:y= 2 x - 2

A D :y= ~ x +

I. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego równolegtoboku, jeśli wiadomo, że

punkt przecięcia się przekątnych ma współrzędne

S =

(3,1).

10. Dana jest prosta

o równaniu

y =

x -

2 i punkt A = (4, - 4). Wyznacz współrzędne punktu

symetrycznego do punktu A względem prostej

w w w . o p e i o n . p i

V I I I . S T E R E O M E T R I A S*

VIII. S te re o m e tria
Zadania zamknięte

W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30. a promień podstawy jest o 5 mniejszy od

tworzącej stożka. Wówczas:

A. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30”

J i

B. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

którego cosor= — -

C. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60”

i 2

D. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

którego sinor=

2. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12. Objętość tego stożka

jest równa:

A. 2 8 8 / 3 ż t

B. 3 6 / 3 JI

C. 21 6 /3 5 1

D .7 2 /3 S

Dany jest graniastoslup prawidłowy czworokątny o wysokości

h = 4

i przekątnej podstawy

d = 4.

Przekątna ściany bocznej tego graniastostupa Jest nachylona do podstawy:

A. pod kątem

takim, że tgor = -^~

B. pod kątem

takim, że tg a = y 2

. 6

pod kątem

takim, że tg

a =

D. pod kątem

takim, że tg a = —

fl. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości

. Powierzchnia boczna tego walca Jest

równa:

A. 3631

B. 1871

C. 547t

D. 7231

5. Przekątna sześcianu o krawędzi

ma długość:

v 2

B . a / 3

C, 2

D. 3a

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat

ABCD,

zaś krawędź boczna

jest jego wysokością.

Wówczas:

A. dokładnie jedna ściana boczna Jest trójkątem prostokątnym

B. dokładnie dwie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi

C. dokładnie trzy ściany boczne są trójkątami prostokątnymi

D. dokładnie cztery ściany boczne są trójkątami prostokątnymi

w w w .operon pi

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

7. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 4 i wysokości

opuszczonej na podstawę długości 4. Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy:

A. pod kątem

takim, że t g a = ~

B, pod kątem a, takim, że tgcr = 2

¡5

C, pod kątem

takim, ż e t g a = - j -

D, pod kątem

takim, ż e t g a = / 5

Pole powierzchni bocznej walca jest równe

4871

, a jego objętość

9631

. Długość wysokości walca

A. jest o 2 większa od promienia jego podstawy

B. jest 2 razy mniejsza od promienia jego podstawy

C. jest o 2 mniejsza od promienia jego podstawy

D. jest 2 razy większa od promienia jego podstawy

9. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku

Powierzchnia całkowita stożka

m ‘

. JŁT

_ 331

a 1

jest równa:

. A a1

„ 3ŁT

~ T

D .;

10- Wysokość ostrosłupa jest równa

. Podstawą ostrosłupa jest romb o przekątnych

d 2 -

Objętość tego ostrosłupa jest równa:

A 16

B. 48

C. 96

D. 32

1 1

w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy

pod kątem 60”. krawędź podstawy ma długość

, zatem wysokość ostrosłupa jest równa:

A. 3

B. I

D. 2

(

¡jpągA 12. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 5031, a tworząca

jest diuższa od promienia

... a. «

podstawy o 5. Dla stożka spełniony jest warunek:

A. r =

B r = 10

C ./ = 5

D. / = 10

15.

Podstawa prostopadłościanu jest kwadratem o polu 9. Objętość prostopadłościanu jest równa 45.

Przekątna ściany bocznej prostopadłościanu tworzy z podstawą prostopadłościanu kąt

taki, że:

A. Ig0ł = ;

C . t g a =

3 / 3 4

34 ’

D. tg a :

5 / 3 4

14. Przekątna sześcianu ma długość 5 / 3 . Objętość tego sześcianu jest równa:

A. 1 5 0 /2

B. ¡25

C, 1 2 5 /2

D. 150

15.

Przekątna ściany sześcianu ma długość 4. Powierzchnia całkowita tego sześcianu jest równa:

A, 192

B. 9 6 / 2

C. 48

D. 2 4 / 3

w w . eparoft.pS

V I I I . S T E R E O M E T R I A i i

16. Objętość kuli jest równa 3 6 ti. Powierzchnia tej kuli jest równa:

A. 931

B. 1 6 /3 6 31

C. 367t

D. 4 / 3 6 31

17. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Przekątna podstawy tego ostrosłupa jest równa 4,
a wysokość

. Objętość ostrosłupa jest równa:

A. 16

B. 32

C. 48

D. 192

18. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach równych 12. Wysokość tego
ostrosłupa jest równa:

A. 4 / 6

a ,

C. 8 / 3

D. 4 / 5

19. Dany je st ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach równych

Powierzchnia boczna tego ostrosłupa jest równa:

A, 4 / 3

B 6 4 / 3

C. 3 2 / 3

D. 1 6 /3

suma diugośd wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 60. Suma pól wszystkich ścian tego

sześcianu jest równa:

—T

A. 125

B. 600

C 150

D. 900

/ 2 0 p

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

1. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej równej 16. Oblicz

pole powierzchni bocznej tego stożka.

2. Wysokość stożka jest równa

, a tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem 30” Oblicz

objętość tego stożka.

3. Przekątna przekroju osiowego walca Jest nachylona do podstawy walca pod kątem

takim że

tg O - - . Promień podstawy walca ma długość 24. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego walca

4. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach równych 9. Wyznacz długość ,

— - ■

wysokości tego ostrosłupa.

‘■ * • » 4

5. Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do podstawy tego sześcianu

r -

■■■

«łŁia-liHEii

4 7

» M A T Ł M A T Y K A - P 0 2 I 0 M P O D S T A W O W Y

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach jednakowej długości.

Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

7. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędziach bocznych dwa razy dłuższych od kra-

!' - - a a »

— *

wędzi podstawy. Oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny

jego podstawy,

Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytme

tyczny o różnicy 3, Suma długości tych krawędzi jest równa 24. Wyznacz długości krawędzi tego
prostopadłościanu.

9 .

Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg geome-

- o t S * — ^ tryczny o pierwszym wyrazie 3. Suma długości tych krawędzi jest równa 21. Wyznacz długości po

zostałych krawędzi tego prostopadłościanu.

10. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Długość krawędzi bocznej jest o 2 większa od

wysokości ostrosłupa. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem, którego sinus jest

równy —. Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa

11. Pole powierzchni bocznej stożka jest dwa razy większe od pola podstawy stożka. Wykaż, że
tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 60".

12. Suma pól podstaw walca jest rOwna polu jego powierzchni bocznej. Wykaż, że przekątną

—

J t | Ł—

]

przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy pod kątem, któnego tangens Jest równy

13. Dany jest graniastostup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają jednakową

długość. Objętość graniastoslupa je s t równa 1 2 /3 . Wyznacz długość krawędzi tego
graniastostupa.

1«. Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 6 0 “.
Podstawa prostopadłościanu Jest kwadratem o boku 3, Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego
prostopadłościanu,

15. Dany jest graniastostup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie krawędzie mają jednakową

długość Pole powierzchni całkowitej graniastostupa jest równe l2 , 5 ( / 3 +

). Wyznacz długość

krawędzi tego graniastoslupa.

VL»WW.

|K'i<i tł. pi

V I I I . STER E O M ET R I A

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

1. Graniastostup prosty ma w podstawie trOjkąt równoramienny o ramieniu długości

i kącie

ostrym

między ramionami. Pole podstawy Jest równe sumie pól dwóch przystających ścian

bocznych graniastostupa. Wykaż, że wysokość graniastostupa Jest nie większa, n iż

- b .

2. Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym bok odpowiadający wysokości walca jest dwa
razy większy od drugiego boku prostokąta.

a! Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego podstawy.

b! Wyznacz sinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny jego
podstawy.

3. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 2

I krawędzi bocznej

a j

5 ora

stożek o średnicy podstawy 2

i tworzącej

a j

5. Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości

stożka.

4. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy

a =

kącie nachylenia krawędzi

bocznej do płaszczyzny podstawy 60°, Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego

ostrosłupa.

5. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości

a =

. Krawędź

boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem

że cos o r = - Wyznacz objętość i pole

powierzchni bocznej tego ostrosłupa

Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy. Pole powierzchni bocznej stożka

jest równe 12071. Wyznacz objętość tego stożka.

7. Długości średnicy podstawy, wysokości i przekątnej przekroju osiowego walca tworzą ciąg
arytmetyczny o różnicy 2 i sumie 24.

a) Wyznacz objętość walca.

bl Wyznacz sinus kąta, jaki przekątna przekroju osiowego waica tworzy z płaszczyzną jego
podstawy.

(

" *05»* ^

■— <«ra ’.»—

■>

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku długości boków J : 2 i potu 3 2 c m 3.

Przekątna prostopadłościanu tworzy zje g o wysokością kąt

taki, że s in « = - . Wyznacz wymiary

prostopadłościanu.

-■ffsw.opiiroił.jii

4»

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

9. Podstawa, ostrosłupa jest trójkąt

ABC

o bokach długości

\AC\ = 6

i |

C| =

. Wysokość

trójkąta

ABC

tworzy z bokiem

kąt 30°, a z bokiem

kąt 60°. Długość wysokości ostrosłupa

jest równa długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa. Wyznacz objętość

ostrosłupa.

'"flwwiĄ

10- Podstawa graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach długości 7, 13.

. Długość wysokości

■°

ostrosłupa jest równa długości promienia okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa. Wyznacz

objętość graniastosłupa.

—

m m ' '"

. / o Z p i t t

.......

w w w , « f s a K n r t . p l

IX, R A C H U N E K P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A I E L E M E N T Y S T A T Y S T Y K I H

IX. R achunek p ra w d o p o d o b ie ń s tw a i

elementy statystyki

Zadania zamknięte

W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.

Rzucono 3 razy monetą. Prawdopodobieństwo, że orzeł wypadł co najmniej Jeden raz, jest

równe:

Rzucono dwa razy kostką sześcienna do gry. Prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadła

parzysta liczba oczek. Jest równe:

‘ 1

Darek mial w 1 semestrze z matematyki oceny: 2, 2, 4, 4, 5, 3,3. Średnia arytmetyczna tych ocen

z dokładnością do O.OlJest równa:

A. 3.28

B. 5.50

C. 3,29

D. 3,30

SpośrOd liczb 1,2,3,..., 2010 wylosowano jedną. Prawdopodobieństwo, że Jest to liczba

podzielna przez 5 lub przez 11, jest równe:

548

„ 3 6

„ 620

A 2 0 1 0

B' 2 0 1 0

C 2 0 1 0

547

2010

5. Marek mial w I semestrze z matematyki oceny; 2 ,2 ,4 ,4 ,5 ,3 ,3 . Średnia ważona, jeśli waga każdej

/ —

¡ ¡ E j a

z czterech początkowych ocen (z odpowiedzi) wynosiła

,!, a waga każdej z trzech ostatnich V— « m

— J

(z prac klasowych!

, Jest równa:

A. 3 —

B. 3,4

C. 3,5

D. 3,6

. Wśród danych liczb: 1,1,1.1, 3, 4, 4, 5, 5, 5,

, 7 dominantą jest:

A. 7

B. 4

C. 5

D .l

Rzucono kostką do gry I monetą, prawdopodobieństwo, że wyrzucono reszke i co najwyżej 5

oczek, jest:

A. większe od -

B. mniejsze od —

C. równe -

D. mniejsze od -

M A T E M A T Y K A

P O Z I O M P O D S T A W O W Y

■kęmtSh S ‘

Tabela przedstawia odpowiedzi pewnej grupy osób na pytanie, ile czytaja czasopism,

r :

Liczba osób

Liczba czasopism

Wskaż punkt zawierający prawdziwe dane:

A. dominanta

d =

= 3, mediana

m -

C. dominanta

d ~

25, mediana

m =

B, dominanta

d -

3, mediana

= 3

D dominanta

d = 2 , d - 3 ,

mediana

m =

2,5

talii 24 kart wylosowano Jedną kartę. Prawdopodobieństwo, że wylosowano kiera lub asa, jest

równe

10. Średnia zarobków w pewnej firm ie liczącej 21 pracowników wynosiła 30 00 złotych. Przyjęto
nowego pracownika i wtedy Średnia wyniosta 3030 ztotych. Mowy pracownik zarabia:

A. 3660 zl

B 3600 zł

C. 3030 zł

D. 63 0 z ł

11. Rzucono 4 razy monetą. Prawdopodobieństwo, ze reszka wypadła co najmniej jeden raz, jest ł
równe

A. —

I i

12. Rzucono dwa razy kostką sześcienną do gry. Prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadło co
najmniej 5 oczek, jest równe:

C' 18

« (fs w il 15. Tabela przedstawia wyniki ankiety przeprowadzonej wśród kilkunastu rodzin, które

‘

odpowiadały na pytanie, ile mają dzieci.

Liczba małżeństw

Liczba dzieci

Jaka Jest Średnia liczba dzieci przypadająca na jedną rodzinę z dokładnością do części dziesiętnych?'

A, 2 ,1

B. 2,2

C. 2 ,0

D. 2,5

'& w e t.G

ą £ i u

. ii I

IX. R A C H U N t K P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A I E L E M E N T Y S TA T Y S T Y K I R

14. Spośród liczb 2 0 ,2 1 ,2 2 ,2 3 ,..., 40 wylosowano jedną Prawdopodobieństwo, ze jest to liczba
podzielna przez 4, jest równe:

A. A

15. Zawodnik za występ wjeżdzle figurowej na lodzie otrzymał od sędziów średnią liczbę punktów:

za wartość techniczną programu 4,8, za wykonanie 5 i za oryginalność układu 5,2. Waga każdej V

" j

oceny wynosi odpowiednio 0,4: 0,5; 0,1. Ogólna nota zawodnika to średnia ważona otrzymanych
ocen. Zatem zawodnik otrzymał notę:

A. 4,94

B. 5,5

C. 5

0 . 4.84

16. Wśród danych liczb: 1,1,1,1, 3, 4, 4, 5, 5, 5,

, 7 medianą jest:

A. 7

B. 4

C. 5

D. 1

17. Rzucono kostka do gry I dwiema monetami Prawdopodobieństwo, że wyrzucono dokładnie

r -

jednego orla i

oczek na kostce, jest równe:

■-

. n .i.«..

A. i

D .—

18. Wszystkich liczb dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od

, jest:

A. 30

B. 36

C, 42

D. 49

19. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Prawdopodobieństwo, że wylosowano pika lub króla,

jest równe:

c l

20. Zdarzenia

zawarte w zbiorze Q spełniają warunki:

P(A)

= - ,

P(B) = - , A c B .

Wówczas:

,<« w '

P (AU B) =

B. P ( A U B ) = -

C.P (AUB) = ^

P(A

u B) = 1

SWW.

$>3?. ił i

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

1. Średnia arytmetyczna danych 2, 7. O, O, ar jest równa 3. Wyznacz liczbę

OMcz średnia ocen Klas pierwszych w pewnym liceum na I semestr, jeśli wiadomo, że klasy 1i

—

i 1t> mały średnią ocen 3,4, klasa ic - 3,8, a klasy Td 11e miaty średnią ocen równą 3,5.

3. Oblicz medianę danych 0, 2, 4, 4, 5,

, 7, 7, 7,

, 9, 9,

4. Oblicz medianę danycn przedstawionych w tabeli.

Wartość

| Liczebność

j f w . A s. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy

oczek równej 7.

. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania Iloczynu

oczek równego 25.

są zdarzeniami losowymi zawartymi w zbiorze 42, takimi, że

P (A ) =

0,8 i P ( fi) = 0,4.

Sprawdź, czy zdarzenia

mogą się wyłączać.

są zdarzeniami losowymi zawartymi w zbiorze 42. takimi, że P (X ) = —

P(B) = —

P(A

= — Oblicz prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń.

gS 9. Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami, Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy co

najwyżej jednego orla.

10- ku ca m y trzema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy co

—

najmniej jednego orla.

1 1

Ze zbionj licztl trzycyfrowych wybieramy Jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo. Ze

wybierzemy liczbę podzielną przez

1 20

1 2

są zdarzeniami losowymi, takimi,

i e B c A , P(A) =

0,8 i

P(B) = 0,5.

Oblicz

P(A

B).

13. 4 i

są zdarzeniami losowymi, takimi, Z e S c A , P (4 ) = 0 ,9 i

P(B) = 0,6.

Oblicz /->M \ £ ) .

w w w .o p e ro n .p l

I X . R A C H U N E K P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A I E L E M E N T Y S T A T Y S T Y K I «

14. Ze zbioru liczb dwucyfrowych wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo,
wybierzemy liczbę podzielną przez

1 1

15. Bartek rzucai kostką do gry I otrzymał 7 razy

oczek, 4 razy 5 oczek,

razy 4 oczka,

razy

oczka i 5 razy 1 oczko. Oblicz średnią liczby wyrzuconych przez Bartka oczek,

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

W urnie Jest

kul białych i

czarnych. Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz

prawdopodobieństwo. Ze wyjmiemy co najmniej jeden raz kulę blatą.

2. Ze zbioru liczb ( 4 , 5 ,

,7,..., 2 0 } losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz

; -

prawdopodobieństwo, że wylosujemy dwie liczby parzyste.

v— @ h

3. Rzucamy dwa razy sześcienną symetryczną kostką do gry, Oblicz prawdopodobieństwo, że suma
wyrzuconych oczek jest równa

lub Iloczyn wyrzuconych oczek Jest równy 12.

4. Rzucamy trzy razy sześcienną symetryczną kostka cfo gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma
wyrzuconych oczek jest równa co najwyżej 16

5. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wyrzucimy orla
lub wyrzucimy dokładnie dwie reszki.

(

4 « )

— -

. Rzucamy cztery razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo,

że

wyrzucimy dokładnie jedną reszkę

lub wyrzucimy co najmniej jednego orla.

7. ze zbioru c y f r { l , 2

9 } losujemy dwa razy po jednej cyfrze bez zwracania i układamy

kolej

ności losowania w liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób ułożymy licz
bę większą od 40.

. Rzucamy kostką do gry i moneta. Oblicz prawdopodobieństwo. Ze wyrzucimy reszkę i co najwy

żej

oczka.

9. Asia, Krysia, Ewa i Natalka poszły do kina. Na sali usiadły losowo na wykupionych kolejnych

czterech miejscach. Oblicz prawdopodobieństwo, że Ewa i Natalka usladty w tym kinie kolo siebie. \ __

Hrwwf.ttperejs.ssf

Matematyka

Poziom podstawowy

Z A D A N IA Z A M K N IĘ T E

W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. ( / pkt)

Liczba

a =

jest równa liczbie:

A - 3 + /21

p v/iÓ' + 3

^ 3 + / 7

- 3 - / 2 1

U-

Zadanie 2. ( / pkt)

-2x+2

dla

( - o c ,- l}

Dana jest funkcja / określona wzorem

f{x)

3 *+

dla ^

( -

)

- x - 2

d la * e (l,-ł-oo)

Miejscem zerowym funkcji / jest liczba:

A .l

B . - 2

Zadanie 3. (7 pkt)

Funkcja liniowa / przyjmuje wartości dodatnie jedynie w przedziale ( - 2 , +

), a do je j wykresu

należy punkt

= (1,9). Wzór tej funkcji, to:

A . y = - 2 * + t l

B.>' = 4jc+8

C .y = x +

D .y = 3x +

Zadanie 4. (1 p k t)

W trójkącie prostokątnym

ABC

kąt przy wierzchotku A ma miarę 30°, a najkrótszy bok ma długość

cm. Dtugość przeciwprostokątnej jest równa:

A. 16/3

B . ^

C. 8 /3

D. 16

Zadanie 5. (1 pkt)

Dany jest ciąg ( a ,) o wyrazie ogólnym

at = n~-

9. Wówczas

an=

0, gdy:

A .« = ()

B .n = 3 Iu b n = - 3

C./? = 3

D . u = - 9

Zadanie 6. (7 pkt)

Pole rombu jest równe 12.S, a kąt ostry ma miarę 30". Dtugość boku

tego rombu jest równa:

A. 5

B .5 /2

C . f

Zadanie 7. (1 p k t)

Prosta / ma równanie:

- 7y + I = 0. Wspótczynnik kierunkowy prostej

jest równy:

= 3

B . « = - 7

C .n = y

D . a

=—j

Matematyku. Poziom podstawowy

Zadanie 8. (7 pkt)

Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30, a promień podstawy jest o 5 mniejszy od tworzącej

stożka. Wówczas:

A . tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

= 30"

B. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

takim , że sina = r=

C. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

takim, że cos or =

D . tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

= 60"

Zadanie 9. (7 pkt)

Rzucono 4 razy monetą. Prawdopodobieństwo, że orzet wypadł co najmniej jeden raz, jest równe:

Zadanie 10. (7 pkt)

Wiadomo, że 1.4% pewnej liczby jest równe 0,756. Liczba ta jest równa:

Zadanie 11. (7 pkt)

Liczba 64 3 jest równa:

A . 512

B . - j j j

c - 256

D- 555

Zadanie 12. (7 pkt)

Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji / o 4 jednostki w dót. to:

A. y = /U + 4)

B .y =/(.c) + 4

C. y = /(x -

)

D .y = / ( * ) - 4

Zadanie 13. (7 p k t)

X — *7

Dziedzina funkcji /' określanej wzorem / U ) = ■

% “ jest zbiór:

* +

A . Ał\ { —1,1}

B . R \ { l j

C .R

n . « \ { 5 }

Zadanie 14. (7 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa / ( * ) =

x l

+ 4x -

. Zbiorem wartości tej funkcji jest:

A . (-lO .+ cc)

B .(-2 ,+ u o )

C .(-o o .lO )

D .( - a o .- 2 )

Matematyka. Poziom podstawowy.

Zadanie 15. (1 p k t)

Wielomian

) =

5x'

45 po rozłożeniu na czynniki ma postać:

A . ( j t - 5 ) ( * - 3 ) ( j c - 3 ) B . ( j r - 5 ) ( a - 3 ) ( x + 3) C . ( * - 5 ) ( j

< - i f

D . ( je - 5 ) { i- + 3 ) '

Zadanie 16. ( / pkt)

Kąt a jest ostry i sin a = y . Wówczas cos

jest równy:

A. |

B . |

. ^

Zadanie 17. ( / pkt)

Liczba log 36 jest równa:

log

log 3

B *log4-log9

C* 4 log 2 Jog 3

D. log 30 + log

Zadanie 18. ( i pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym a>= Rn + .1. Różnica tego ciągu jest równa:

A. r = 14

B .t- =

- 8

C . r

D . r = 3

Zadanie 19. ( / pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy i? = 2 /2 . Bok tego trójkąta ma

długość:

A. 2 / 6

B . 4 / 6

C . 2 / 5

D . 4 / 5

Zadanie 20. ( i p kt)

Trójkąt

ABC

jest podobny do trójkąta

A'B'C".

Kąty przy wierzchołkach

są proste. Najdłuższy

bok trójkąta

A ‘B'C'

ma długość 39. a dwa krótsze boki trójkąta

ABC

mają długości 24 ł 10. Skala

podobieństwa trójkątów

A'B’C"

i ABC jest równa:

“ • 5

Zadanie 21. (I pkt)

Proste / i

są równoległe i /:

2y +

5 - 0,

k:y = ax

Wówczas:

A .« = ~ 4

B. u

=-2

C . « = §

D . a = 2

Zadanie 22. (J p k t)

Dany jest okrąg o równaniu ( jc —

f + (y + i f -

4. Wówczas:

A.S = ( - 6 , 3 ) , r = 2

B .S = ( ó . - 3 ) . r = 4

C..V= (

, - 3 ).r = 2

I).

S =

( - 6 ,3 ) ,r = 4

i i

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 23. (1 pkt)

Darek

m iai w J .semestrze z matematyki ocenv:

. 2.4.4.5.3.3. Średnia arytmetyczna tych ocen z tferi

kładnośeią do

0,01

jest równa:

A . 3.14

B.3.15

C .4,4

D. 3,00

Z adanie 24. (1 pkt)

Rozwiązaniem nierówności |ite - 2| < 0 jest:

A . zbiór iiczb rzeczywistych

B. zbiór pusty

C. l

liczba ( “ jjJ

Zadanie 25. (1 p k t)

Funkcja/fcx) = (-2 m -

).*+ 5 m - 1 jest malejąca dla:

A . / » e (

.+oo)

B .m e ( -4 ,+ o o )

C.m e (~ou,- 4 )

D .m e ( - o o ,4 )

Z A D A N IA O T W A R T E

Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod

treścią zadania.

Zadanie 26. (2 pkt)

Wyraz ogólny ciągu (a „) wyraża się wzorem «„= 2 5, l ł '. Wykaż, że jest Lo ciąg geometryczny.

Matematyka. Poziom podstawowy

Z A D A N IA Z A M K N IĘ T E

W zadaniach od 1. do 25, w ybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną popraw ną odpowiedź.

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba (3

J l

+ 5 ] jest równa:

A. 43 + 3 0 /2

B. 3 1 + 3 0 /2

C .43

D. 25 + 3 9 /2

Zadanie 2. (1 pkt)

Jeśli

A -

{-2,71 ,

B - {

1, +

), to wówczas

A \B

jest przedziałem:

A. ( 7 ,+ » )

B . ( - 2 , l)

C . (-2 ,1 )

D .(7 ,+ no)

Zadanie 3. (7 p k t)

Rozwiązaniem nierówności |x +

| < 0 jest:

A. zbiór liczb rzeczywistych

B . zbiór pusty

C. liczba ( - 2 )

D. liczba(2 )

Zadanie 4. (7 p k t)

Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu fu n k c ji/ o 7 jednostek w prawo, to:

A .y = /( a + 7)

B ..y = /(

j + 7

C . y = f ( x - 1 )

D .y = / ( * ) - 7

Zadanie 5. (7 p k t)

Dana jest funkcja

określona wzorem

fix) =—4 x -

. Ta funkcja przyjmuje wartości ujemne dla:

A .* > - 2

B. 3 < - 2

C. + > 2

D .3 < 2

Zadanie 6. (7 p k t)

Dana jest funkcja / określona wzorem

( jc - 5 )

dla x e ( - o c ,

)

fix)

- 1

dla

x G

(

, 5)

, Wówczas:

3 dla

i e

( 5 .+

)

A ,/(O ) = - 2 5

B ./{ 5 ) = 3

Zadanie 7. (7 pkt)

Para liczb (2, - 2 ) jest rozwiązaniem układu:

■ i - 3 3 - 5 y = l 6

„ J -3 x + 5 y = -1 6

A '| 3 + y = 4

“ - | 3 + y = 4

C . / ( 0 ) = 25

3 3 -5 y = 16

x - y

= 4

D ./( 5 ) = 7

„ f3r-5,= -16

\ x - y = 4

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 8. (7 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa /( a j = -

Do wykresu tej funkcji należy punkt

= (- 3 ,- 8 ) .

Parametr r jest równy:

A . - 5

B. 13

C .-1 1

D .-1 3

Zadanie 9. (7 pkt)

Liczby -4 ,4 , -

1 , 1

są pierwiastkami wielomianu:

A . IVU) = (

* -4 )(.> / + 4)(3 - 1)(3+ 1)

B. lV(,3j = ^3* —4 ^ 3 * + 4 j | x 2-

+ l)

C .H '(3) = ( 3 J-1 6 ) ( 3 ! - l)

D .W (3) = ( 3 i + lć ) ( 3 2- l)

Zadanie 10. (7 pkt)

Dany je st trójkąt

ABC

o kącie prostym pTzy wierzchołku

i bokach |

BC\

= 5, |

AC \ -

3, |

AB \ =

/3 4 . Jeśli

kąt

CA£

ma miarę

to wartość wyrażenia sin

+ cos a je st równa:

i 34

K 4 /3 4

„ 8 /3 4

n ,

T T -

c - ~ T i r

1,11

Zadanie 11. (7 pkt)

Sinus kąta ostrego « jest trzy razy większy od jego cosinusa. Wówczas:

A .s in « = -J

B .

cosk

= ^

c .s in a =

D. cosCt=

Zadanie 12. (7 pkt)

Dłuższa przekątna rombu tworzy

jego bokiem

kąt 30' oraz wiadomo, że

a -

12 cm. Krótsza

przekątna rombu ma długość:

A . 6 / 3

B. 1 2 /3

D. 12

Zadanie 13. (7 pkt)

Liczby (

) tworzą ciąg geometryczny. Wówczas:

. 3

B . * = 6,5

. 3

lu b

- 6

D .

3 = - 6

Zadanie 14. (7 pkt)

Liczby naturalne

> 5, których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3:

A. tworzą ciąg o wyrazie ogólnym

a,t-

+ 3

B. tworzą ciąg o wyrazie ogólnym

an -

3« + 5

C . tworzą ciąg geometryczny

U . tworzą ciąg, który nie jest ani arytmetyczny.,

Matematyka. Poziom podstawowy

j Zadanie 15. ( i p k t)

| Dany jest ciąg arytmetyczny ( a j o pierwszym wyrazie a, = 2 i różnicy r = m 1+9. Ciąg ma dodatnią

’ h różnicę, gdy:

! A . « e ( - 3 . 3 )

B . / n e ( ~ ó o , - ~ 3 ) u ( 3 , + o o )

! C, nie ma takich m

[). m e R

j Zadanie 16. ( / pk t)

Dany jest okrąg o promieniu

r -

1,4. Wiadomo, źe odległość środka tego okręgu od prostej

jest

] równa / 2 . Wówczas:

i i

. i

;

j A. prosta jest styczna do okręgu

B, prosta m a z okręgiem 2 punkty wspólne

C. prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych

D. nie można stwierdzić, ile punktów wspólnych

ma prosta z okręgiem

i Zadanie 17. (1 pkt)

] Kąt ostry /3 trójkąta prostokątnego ma miarę 38". Zatem:

! A. a =26"

B. a = 38"

C .a = 5 2 "

D . a = 62"

| Zadanie 18. (1 pkt)

j Punkt P= (x ,4 ) należy do prostej o równaniu y= 2* + 5. Odcięta punktu P jest równa:

A . * = - £

B . je = 13

C . * = i

D . * = - |

I Zadanie 19, (1 p k t)

j Proste / i k są prostopadłe i l: 3x + 9y + 6 = 0, k:y = ax + b. Wówczas:

..i

A .a = - 3

B .a = l

c - “ = - 5

» - “ = 3.

i Zadanie 20. (1 p k t)

j Dany jest odcinek o końcach A - ( -4 , -6 ), B = (2, - 4 ). Długość odcinka jest równa:

i A.|Afl| = 4 / 2

B.|A B| = 2 /1 0

C .|A B | = 4 /Ó

D.(AB| = 2 /2 6

j Zadanie 21. (1 pkt)

i Dany jest graniastosiup prawidłowy czworokątny o wysokości h = 6 i krawędzi podstawy a = 2.
i Przekątna tego graniastosiupa jest nachylona do podstawy:

A. pod kątem or, takim, że tg « =

B. pod kątem a , takim, źe tg

a =

| C. pod k ą te m « , takim, że tg «

D. pod kątem « , takim, że tg a = ^

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 22. (1 pkt)

Pole powierzchni bocznej walca jest równe 48tt, a jego objętość 9671. Długość promienia podstawy
wałca jest:

A. o 2 mniejsza od wysokości

B. 2 razy mniejsza od wysokości

C. 2 razy większa od wysokości

D. o 2 większa od wysokości

Zadanie 23. ( / pkt)

Dane są wielomiany W (*) = x 3+ 5x2- 3x, P (x )= 3x + 2x - x - 7 . Wielomian G {x) - 2 W ( x ) - P( j)im

wzór:

A .G (* ) = - jc ’ + 3*j - 2 j t+ 7

B . G ( x ) - - x i + 7 x " - 4 x - 7

C . G ( x ) = - x > + Rxi - 5 x + 7

D . G ( x ) = - x ' + \ 2 x ' - 7 x ~ 7

Zadanie 24. ( / pkt)

Rzucono kostką do gry i monetą. Prawdopodobieństwo, że wyrzucono reszkę i co najwyżej 2 oczka.,

jest:

większe o d 4

B.mniejsze o d |

C .r ó w n e j

D. równe ^

Zadanie 25. ( / pkt)

Tabeia przedstawia pewne dane i ich liczebność.

Liczba danvch

Dane

Zatem:

A. średnia arytmetyczna x = 2,5, d = 3, mediana m = 2
B. średnia arytmetyczna ï = 3,1 (6), mediana m = 3

C. średnia arytmetyczna * = 3,1(6), mediana m = 2.5

D. średnia arytmetyczna x = 2,5, mediana m - 2.5

I. LICZBY, ICH ZBIORY - WYNIKI CTAPOW ROZWIĄZAŃ B

ł . L i c z b y , l e l i z b i o r y

Zadania zamknięte

S i

10PS

_____________

|__________ j 7 5 ^ 3 = J5 - 9

= ' 2 ^ 5 - 6

[

~D-

i r t T

I (a j a-«

a- i

B-

J"-log64 - log82= 2log8

| 2 - / 7 < O =» 12 - /7 1 = - (2 - / 7 ) = - 2 + / 7

i Jest 5 cyfr nieparzystych i IO wszystkich cyfr,

atem wszystkich liczb

dwucyfrowych, w których pierwsza cyfra jest nieparzysta jest 5 • 10 - 50.

| 0,0()3

=s.v = 4000

j ~

1 ^ - - . 27'®s 3a -

320. 3" = 3 *

6 ( / 7 - 3 )

1~ ^ ~ 42 4 100%= 108,(3)

i ,

I ,

^ (

) = 4 9 - 2 8 / 3 + 1 2 = 6 1 - 2 8 / 3

j A‘

| ( / 2 - l ) ’’ = 2 / 2 - 3 - 2 + 3 / 2 - I = 5 / 2 - 7

1 !-

B-

| , v -

| «

« J c -

> -

A . v -

« i ' J > -

A j ; t ;

» x e ( -

)

13.

_ L _ I

Sa to pary {1.2}. {1.

{1.4}. {I, S f. {2.3}. {

2. 4>. f 2.5}. {3.4}. {3. S> i 4 5 },

jest Więc ich 10.

1 1

f‘\

I Różnicą przedziałów jest przedział otwarty (3 ,7 ), gdyż odejmujemy przedział ^

! domknięty.

"I”

2 /2 5

| Liczby wymierne zbioru, to y3 6 = 6, 0,( 73),

Ą.

= -J - jest więc ich 4.

8 1

gft MAltMATYKA

POZIOM PODSTAWOWY

16.

log?36 = io g ,6 £ = 2 log ,6

17.

Różnicę kwadratów liczb można według wzoru skróconego mnożenia zastąpić
iloczynem różnicy i sumy tych liczb.

18.

1 25 "* -

\ ~ ~ -

y \ i 2 5 l

19.

| 3 * - 6| = 6 - 3a => 3 a - 6 « 0

* x < 2

20.

|x — 6| - 3a + 5 i

E (0 , ó )

= - .r + 6 — 3a + 5 =>

IV'

= —

+ I I

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Wprowadzenie oznaczenia

x - cena kurtki i zapisanie ceny kurtki po obniżce: 0.8x.

Obliczenie ceny kurtki przed obniżką: A' “ 400 zi.

zapisanie równania:

- l =

’\

Rozwiązanie równania:

1 g-

Wprowadzenie oznaczeń: log ,5

a, log;t5

zapisanie równam

3"=

5 i

9* =

Wyznaczenie szukanego logarytmu:

b = ^ a .

zapisanie wyrażenia bez symbolu wartości bezwzględnej: W (.v) =

~(2a

-■ 10

)

(

Redukcja wyrazów podobnych i zapisanie odpowiedzi:

W{ A ) =

-3a

+ 8.

Zapisanie nierówności wynikającej' z treści zadania: 2 * - 7 < 0.

Rozwiązanie nierówności i zapisanie przedziału

: x G

Wyznaczenie przedziału

B -

(0.2).

Wyznaczenie przedziatu A \

B: A

\B = { - 5

0).

Obliczenie liczby

^ j

Obliczenie liczby

x ": a '= 1 6 .

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: 0,07

= 28.

Wyznaczenie liczby

x: x ~ 400.

Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia:

x = 3 - 4

+ 4

/6.

1. LIC?BY, fCH Z8I0RY - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ K

Zredukowanie wyrazów podobnych, co wykazuje tezę zadania:

x = L l e N.

10.

Wprowadzenie oznaczeń i wykorzystanie definicji logarytmu: log

= x => ax~

log„<* = v

- ( j ł y - b.

Zapisanie, równania i przekształcenie do tezy zadania:

= 2v =* log

- 2

log

i i .

Wyznaczenie przedziału

A U B:A U B -R .

Wyznaczenie przedziału B \A :

B \A - (3, +oo).

12.

Zapisanie liczby pod pierwiastkiem w postaci kwadratu różnicy:

a - / i 2 - J l ) .

V '

’

Opuszczenie pierwiastka i zapisanie liczby w żądanej postaci:

a - - 2 + J l.

13.

Zapisanie liczby

a w najprostszej postaci: a =

Obliczenie, jakim procentem liczby

a jest liczba b: 8000%.

14.

Opuszczenie pierwiastka: 1

2x - 3 - 7.

Rozwiązanie równania:

x = 5 lub x - - 2 .

15.

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: iP r =• f r .

J 4

Rozwiązanie równania:

- 49.

•

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Rozwiązanie pierwszej nierówności układu:

x e {6 ,2 2 ).

Rozwiązanie drugiej nierówności układu; ar e (-<x>,0) U (12, +oc).

Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań:

x £ (12,22).

Zapisanie odpowiedzi: liczby pierwsze spełniające obie nierówności jednocześnie to:
13. J7,19.

Obliczenie liczby

a: a = 25.

Obliczenie liczby

b:b~

20.

Obliczenie odwrotności liczb:

a -

b 1 = j j -

Porównanie odwrotności liczb:

Zapisanie

a b=

2'\

b"-

20 2\

WWW.OgetęiU.igi

ROZW

IĄZA

)

M A T E M A T Y K A - P 0 7 I O M P O D S T A W O W Y

Przekształcenie potęg do postaci umożliwiającej ich porównanie i podanie odpowiedzi:

20"5= (-4'S j 5i's, 25_l",=

5” , zatem

a ' < b*.

pW za

metod?

I 1 Dlit Ł3

obliczenia) •

Wprowadzenie oznaczeń:

x, y - odpowiednio cyfra dziesiątek i jedności,

l ().x + y - szukana liczba,

x + y » II.

Zapisanie liczby po dopisaniu cyfry 7 na końcu liczby danej: (1 Uar + y ) 10 + 7.

|(1 G k + v )I0 + 7 = J0* + y + 51L

zapisanie układu równań:

x + y - 11

[

x - 5

Rozwiązanie układu: 'v _ jj, zatem szukana liczba, to 56.

H pktza

metod?

i i pkt

obliczenia)

Zapisanie równania: OJ 6 * - 8800, .t - powierzchnia działki.

Rozwiązanie równania:

x - 55000. działka ma 55000 m ‘.

zapisanie odpowiedzi: działka ma 5.5 ha.

;

Obliczenie powierzchni terenu rekreacyjnego: 46200 m '.

Obliczenie, jakim procentem powierzchni terenu rekreacyjnego jest teren szkółki: ok. 19%.

Zapisanie równania; 2* +

5x + 7,x = 280.

Obliczenie najdłuższej części sznurka: 140 cm.

Obliczenie obwodu pudełka wzdłuż najdłuższych wymiarów: 2 • 25 + 2 • 30 - 110 cm.

Zapisanie odpowiedzi: najdłuższy kawałek sznurka wystarczy do obwiązania pudełka.

;

Wyznaczenie sumy. iloczynu i różnicy przedziałów:

A U B = (-o o , 10). A n B =■ ( - 1 0 .- 2 ) ,

A \B = (-o o ,-IO ).

ipo

pkt

za każda

czynność)

Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania-,

m" - 6 < 5m.

Rozwiązanie nierówności:/« e { - 1,6).

<w tym

•i pktza

wyznaczenie

pierwiast

ków)

Wyznaczenie liczby płaszczy z usterkami: 20.

2 0 _x

Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania:

— < f

- liczba płaszczy do

usunięcia.

. .

1000

Rozwiązanie nierówności:

x > ~§§~-

j podanie odpowiedzi: należy usunąć co najmniej 11 płaszczy.

i >-! fl

I. LICZBY, ICH ZBIORY - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ i

I Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia:

W - (2%) - 3 ( 2x) v + 3 ■ 2xy2- v‘'~ ^4.r"+ 4xy + y '] - ( ló % - 9y* j + J2%

y + >>" +

■I- 20%" + 4%y.

Zredukowanie wyrazów podobnych:

W = 8%"+ 6%v' + 8y~.

Obliczenie wartości wyrażenia dla danych liczb

x, v: W - 160(! + v/ 5 ).

Przekształcenie wszystkich potęg do potęgi o tej samej podstawie: 5‘

x -

5 5"

Wykonanie działań w liczniku i mianowniku ułamka po prawej stronie równania:

5 %

- ^ .

Wyznaczenie niewiadomej:

x ~ 20.

Analiza zadania, wprowadzenie oznaczeń:
x - długość trasy,
OJ

5x - długość trasy pokonanej pierwszego dnia,

i 0,85% - długość trasy pokonanej drugiego dnia,

120

x - długość trasy pokonanej trzeciego dnia,

x - długość trasy pokonanej czwartego dnia,

34 km - długość trasy pokonanej piątego dnia.

Zapisanie równania:

0,15% + ^ 0,85% +

% + -p^y + 34

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: % = 120 km.

(po

pkt>

(po 1 pkt

za lewy
i prawą

stron«

równania)

• MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

f i . F u n k c j e i i c h w ł a s n o ś c i

Zadania zamknięte

! Numer

i zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki cło rozwiązania

Liczba

punktOW

Liczba I jest miejscem zerowym funkcji liniowej y

+ i. ale nie funkcji

określonej w zadaniu, gdyż J $ ( -o o ,—2). analogicznie liczba ( - 2), zaś liczba

4 nie jest miejscem zerowym żadnej z funkcji liniowych podanej we wzorze

funkcji / . Jedynym miejscem zerowym funkcji / jest więc liczba

należąca

do przedziału ( - 2 , l).

Wykres funkcji

y =•f i x - «) powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji

- f i x ) o a jednostek w prawo, gdy a > i).

Wykres funkcji

y -/(%.) + b powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji

v =/(%) o

b jednostek w dół, gdy b < 0.

;

X1 + 4 0 =? x €■ R, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą

nieujemną.

- 2% + 4

< 0

- 2%

< - 4 =* x > 2

im + 9 < 0 =* m < - 3

7’

|2 * + 7|'#:0 a 2x

+ 7 * 0

5 e ( 0 , 5 } ~ / ( 5 ) = = 5 - 2 ~ A 5 ) = 3

m = 0 **f(x ) - 4%' + 3

funkcja nie ma miejsc zerowych.

10.

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej

y = ax + h jest

równy

11.

b = - 4 + 8=^ b = 4

12.

Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową wykresu funkq'i

y = / ( * ) względem osi

OX to y - - /(% ).

15.

Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową wykresu funkcji

y =/(%) względem osi

OY to y - / ( —%),

14.

D =

4 = 4 (-% + 2 ) =>% = 1

15.

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej

y - ax + b jest

równy

16.

.......

Funkcja osiąga swoją wartość najmniejszą, gdyż współczynnik

a trójmianu

kwadratowego jest dodatni.

....J

w w w. c|> s roa.pl

II. FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ B

17.

p/~\ i i dlii x > 5

/ ( A > = j - l

dla

i <5

r ._

18.

j = 4 =; a ~ ~ \

19.

13 =

0 - a + b

b - 3

\-3 a + b - ~ 2

* * \a = 2

20.

Wartości potęg liczby dodatniej

są zawsze

dodatnie.

Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

1 Liczba •

punktów |

Zapisanie nierówności; 3x

‘ + Ax + J <

0 i wyznaczenie pierwiastków:

x {

~ - l ,

= - ^*

Rozwiązanie nierówności:

x &

( - 1 ,

sporządzenie wykresu funkcji:

/ 1

Tc-

Zapisanie warunku wynikającego z treści zadania: 1 - 1

Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi:

D = ( -

,3).

Zapisanie równania; (3

m - 1 )(— 3) — 1 = 0.

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: miejscem zerowym funkcji jest liczba ( - 3 ) dla

m = ~g .

Zapisanie wzoru funkcji bez symbolu wartości bezwzględnej:

5x -

dla 5 x -

> 0

•

- [-5X +

dla 5x - 1

0‘

Zapisanie wzoru funkcji bez symbolu wartości bezwzględnej i zapisanie warunków
w postać? przedziałów:

f 5x ~ 7 dla x ę (.2,

)

f{x) = <

[-5 a + 13

dla x <£

( —

)

Zapisanie warunku wynikającego z treści zadania: 7 - 7 *

± 0.

m m i t i

UTYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi:

D - R \ {0,71.

Odczytanie przedziałów w których funkcja jest malejąca: { - 4 , ()), (5 ,7 ).

Odczytanie przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości nieujerrtne:

( -

, - 2 ) U (4 ,7 ),

Zapisanie równania:

" -

+ 9 > 0.

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi:

D = R.

Zapisanie równania: , 7 -

2x2-

3rc +

= 01 przekształcenie do postaci:

7 ( * - 2 ) - 3 ( . v - 2 ) = 0.

Zapisanie lewej strony równania w postaci iloczynowej:

( x - y'3j(x + v/ 3 )(.v- 2)

i podanie miejsc zerowych funkcji;

x, = /3 , x?= " / 3 , x 3=

10.

Sporządzenie tabelki wartości funkcji:

1 1 .

1 2 .

Zapisanie zbioru wartości funkcji: W = { l . 2 ,5 }.

Zapisanie wzoru rodziny funkcji o wykresach równoległych do danej:

= 4x + b.

Wyznaczenie wzoru szukanej funkcji: / (

x ) - 4x + 9.

Zapisanie równania: 36 -

Ac -

Rozwiązanie równania:

= 3 lub

- -3 .

Zapisanie równania: <1 =

Rozwiązanie równania i zapisanie wzoru funkcji: / ( x ) - 3*.

Zapisanie wzoru rodziny funkcji o wykresach prostopadłych do danej:

f { x ) -

+ +

Wyznaczenie wzoru funkcji:

f ( x ) -

2 * ~

II. FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ »

Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Wyznaczenie

x w = 2 i sprawdzenie, źe xw e (-1 ,3 ).

Obliczenie

y w: y.t, = - 3.

Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału: / ( - l ) = 15, / ( 3 ) = - l .

Zapisanie odpowiedzi: Największą wartością funkcji w danym przedziale jest 1.5,
a najmniejszą ( - 3 ) .

Doprowadzenie wzoru funkcji do najprostszej postaci:

f(x ) *x ~ — i Gx + 9.

Narysowanie wykresu funkcji

: i podanie zbioru wartości:

W -

(-16, +o&).

Liczba |

punktów ;

;

(1 pkt2a ^

mon/

skróconego \

mnożenia !

1 1

p k t za

redukcję

w yrazów

podobnycn! f

ipO 1 pKt

|» = * i - 10*+9

za każdą

ynnośći

[V X

- li

V /

Zapisanie maksymalnego przedziału, w którym wartości funkcji są ujemne:

x G (1,9).

Zapisanie maksymalnego przedziału, w którym funkcja jest malejąca: ( "

Narysowanie wykresu funkcji #:

fit

) = f [ ~ x )

lł

MATE WATY KA - POZIOM PODSTAWOWY

apisanie wzoru funkcji: /(jer) - 700 +

6x.

Obliczenie zarobku Marcina: 850 zt.

Zapisanie równania: 700 +

bx = 1240,

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: Marcin powinien sprzedać 90 części.

Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej:

f ix ) ~ a ( x - 2 ) ( * + 4).

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: 14 = « { 3 - 2 ) ( 3 + 4).

Rozwiązanie równania i zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej:

f ix ) = 2 {;t - 2 )(x + 4).

Przekształcenie wzoru do postaci ogólnej:

f ix ) = 2x'-Jr 4x - 16.

« =

7 i l i n - i

Zapisanie odpowiedzi;

\ b - 4 .

r = - 16

Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

f ix ) =■ a ( x - 4) +

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: -1 3 =

a ( - 1 - 4 ) + 2 .

Rozwiązanie równania i zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

/ ( * ) = - | ( * - 4 ) V z .

Przekształcenie wzoru do postaci ogólnej:

f ix ) = —| x 2 + -^ę-x~ '^ą--

Zapisanie odpowiedzi:

fl = - T

b =

5 ‘

_38

zapisanie warunków wynikających z treści zadania: x Ł- 2 t f - - 3 > ( ) i 5 - | ; * | > 0 .

Rozwiązanie pierwszej nierówności:

x E (-o o ,-L ) U (3,+oo).

Rozwiązanie drugiej nierówności:

x G ( -5 ,5 ).

Wyznaczenie części wspólnej 1 zapisanie dziedziny funkcji:

D - ( - 5 , -1 } U (3,5).

zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej:

W O ) = a ( 'X + 3 )(x — f i )(x + / 7).

Wyznaczenie miejsc zerowych:

x { = -3 , x2= f l , x }= - f l .

Zapisanie równania: - 4 8 = d (1 + 3 - 7 - 2 1 ) .

<w tym

1 p kt za

wyzna

czenie

pierwiast

ków)

w w. o per o tt.pl

II. FllNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ

Rozwiązanie równania:

2 .

i
(

Przekształcenie równania W U )

G(x) = 0 do postaci: 3

a x

- 3

“ ¿7

= 0.

Wyznaczenie wyróżnika:

l a ”

Zapisanie wniosku: dia

a # 0 wyróżnik zawsze dodatni, zatem równanie ma dwa

rozwiązania dla każdego

a i=-

■

Wyznaczenie wzoru funkcji

g : g

U ) = 3.xZ-

3.x +

(

p k t za

w zo ry

skróconego

mnożenia

;

pkt za

redukcję

wyrazów

podobnych)

Wykazanie, że funkcja nie ma miejsc zerowych:

= - 63 -> zl <

Narysowanie wykresu funkcji .y

~ f{x ) -

2 :

v = A - r )

; j i , ( X ) = f ( x ) - 2

i i Ą

- 2

Narysowanie wykresu funkcji

g :

—

'--------------®

) = - ¡ U )

- * -

Zapisanie nierówności:

2 X « 2 ' ~

“ j

Przekształcenie nierówności:

x 2<

+ 2.

Rozwiązanie nierówności:

( - 1 ,2 ) .

tw tym

1 p k t za

wyzna

czenie

pierwiast

ków»

Narysowanie wykresu funkcji:

(za każdą
Część po

1 pkt)

* i

Zapisanie zbioru wartości:

= ( - 4 , 4).

;

Zapisanie największej i najmniejszej wartości funkcji w danym przedziale:

m = - 4, M - 0.

• !

(po

p k t

za każdą

czynności

® MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

iii... W ie lo m ia n y i fu n k c je w y m ie rn e

Z a d a n ia z a m k n i ę t e

Numer

zadania

poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktóW'

Liczba 2 musi być miejscem zerowym funkcji liniowej rosnącej.

Zbiór wartości dia funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku

przedział

(yw

-t-oc),

y lv

-5 .

» 'W

4(.ie- 7) => W"!.i) = (ar— 7)(.v’ - 4 j

=»

W\x)

- (,v — 7)(.v —

)(.v

+ 2)

D - R \ {4 }, zatem po pomnożeniu obu stron równania przez mianownik

otrzymujemy

- 16 = 0 =»

= 4

D. x7

= - 4 e

Podstawiając do układów parę liczb (2, -2 ), sprawdzamy, że ta para spełnia

jedynie oba równania trzeciego układu.

6 '

- 9

- - 4 - 12 +

-o

= 7

Dla prostej v =

b współczynnik kierunkowy

a =

tg 60c

=> a -

y:3.

Podstawiając do każdego z wielomianów podane cztery liczby, sprawdzamy,
że są one pierwiastkami jedynie dla wielomianu z przykładu C.

( - 3 )

= 0.

(3 )

= 0,

( - 1 ) =

( 1 ) =

- A

\ { - 3 . 2 } , zatem po pomnożeniu obu stron równania przez mianownik

otrzymujemy

- 4 = 0 =>

- 2 £

x 2

=™2 F

W (2) = 0 ^ 8 + 4 w - 6 - ł- 2 = 0 = *

m = - 1

1 1

W(x)

= (,v:‘ - 4 ) => l^'U ) = [ ( - t -

){A' +

) ] =>

lV(jf) = ( x -

) Z( j c +

2)2

x 1

- 4,

zatem równanie jest sprzeczne.

13,

.i2- *

x (x -

) =

* , =

,jf2= l

14.

W (x)- G(x) - x 4- 5.t' +

- ^2.y4+ 4x' +

2 ) =--

W(x) - G(x) = x 4- 5x} +

- 2x4 - 4x*- 2 *

W { x ) - G ( x ) = - x * - 9 x y+ 1

15.

W (-

2 ) = - I 6 - 4 - 7 =

W ( - 2 ) = - 2 7

•rfWW.

cperoii.pl

III. WIELOMIANY I EUNKCJE WYMIERNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ SS

16.

ję3= - l = > * = - !

17.

D ~

R \ { i } , zatem po pomnożeniu obu stron równania pr

mianownik

otrzymujemy

x - 25 = 0 =* x,= 5 G D, x 2= - 5 e 0.

18.

Funkcja kwadratowa o dodatnim współczynniku «jest rosnąca w przedziale

19.

Podstawiając daną liczbę do wyrażenia, otrzymujemy:

" T fT T ”

M -

ł- ;" '7

- +

f i

W ( - / 2 ) = - 2 / 2 - 4 - 5 / 2 - 9 - W ( - / 2 ) = - 7 ^ - 1 3

Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Zapisanie wielomianu w postaci: W (x) ~ ( U - I ) -

Rozłożenie wielomianu na czynniki:

W(x) = ( ar — 1) (a + 1) .

Zapisanie wielomianu w postaci:

ty{x) - x " { x - 3) - 2 ( x - 3).

Rozłożenie wielomianu na czynniki:

Wije) - (a - /2 )(a : + / 2 ) ( x — 3).

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:

x { - jr- x2=-^.

Rozwiązanie nierówności:

x £

Wyznaczenie pierwiastka trójmianu kwadratowego:

x(i-

Rozwiązanie nierówności:

x e R \

Zapisanie dziedziny równania:

D = R \ { - 1} i przekształcenie do postaci:

- 3 - ( a + l ) - 0.

Rozwiązanie równania:

= 4.

zapisanie równania:5 + 4 + 3 + 2 + £ i - - 5 + 4 - 3 + 2 - £ i.

Rozwiązanie równania:

a = -

Zapisanie równania: - 32 - 96 -

t? -

Rozwiązanie równania:

a = —18.

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

zapisanie układu równań:

+ v = 35

0,6

- l,2 y = 3’

Rozwiązanie układu równań: x = 2 5

y —

LO-

- i

zapisanie równania: ,»

— .

2 - a

- 3 - a

Rozwiązanie równania.-

a = - 2.

Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli:

x w = 2.

wyznaczenie drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli:

y w = -

Zapisanie układu równań:

h = - 5
- 3

a + fo = 4'

Wyznaczenie wzoru wielomianu: V1/(

) = - 3

- 5.

Wyznaczenie pierwiastków wielomianu:

x {

= 1-

Zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej:

J\x) = 2 j^jc + J( x - J).

Zapisanie wielomianu w postaci Iloczynowej:

W{x) - (a +

J l ){

Zapisanie wielomianu w żądanej postaci: W(.t) = j : 4- 3 x

+ 2.

Zapisanie równania bez symbolu pierwiastka: |5 - 3x| = 12.

Wyznaczenie pierwiastków równania;

x = - ^ lub x = -j-.

Zapisanie równania:

12 ‘ 6-

Rozwiązanie równania:

x = 2,5 (godz.).

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

Numer

I zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Zapisanie dziedziny równania:

D = R \ { - l . 2}.

Przekształcenie równania do postaci: -x - 4

A + l

A - 2'

Rozwiązanie równania: * =

III. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ 8

Wprowadzenie oznaczeń:
v - prędkość samochodu,

v r = v - 5 0 - prędkość rowerzysty,

( - czas samochodu,

/ + 3 ^ - czas rowerzysty.

Zapisanie układu równań:

160 .

160

= v - 50'

Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą: ~ ~ - 50 = ^ }

. i.y.

Doprowadzenie do postaci równania kwadratowego: - 3

1~- 10/ + 32 = 0.

Rozwiązanie równania kwadratowego: /*,= 2,

Wybranie właściwej wartości i obliczenie prędkości samochodu i rowerzysty:

v ~ 80 kin

v - 30

Wprowadzenie oznaczeń:

x  -  cyfra setek,
y -  cyfra dziesiątek,
z -  cyfra jedności,

100* + lOy +

z - szukana liczba,

100

z + I

>‘ + jc - liczba po przestawieniu cyfr.

x -

z =

Zapisanie układu równań:

\ 100x + 10v + z - 99 - lOOz + 10v + x.

x + y + z= 19

x = 6

X = 1

x -■

x - 9

Rozwiązanie układu:

v =

lub

y =

. lub

y = 4, lub y -

z - 5

z =

z - 1

* =

Zapisanie odpowiedzi: szukaną liczbą jest 685 lub 766, lub 847, lub 928.

Wprowadzenie oznaczeń:

y - bok prostokąta zawarty w podstawie trójkąta,
x - drugi bok prostokąta.

Zapisanie proporcji:

Wyznaczenie jednej niewiadomej:

y - 1,2 ■ (2 - x ).

Ułożenie funkcji przedstawiającej pole plakatu:

P(x) ~ -i,2 x + 2,4x.

Wyznaczenie dziedziny funkcji:

x e (0

2).

pkt

metodę

i 1

P « t 23

obliczenia)

Wyznaczenie argumentu, dla którego funkcja przyjmuje wartość największą:

x w~ 1.

Wyznaczenie drugiego boku plakatu i podanie odpowiedzi: pole plakatu będzie największe,

gdy bok zawarty w podstawie trójkąta będzie miał długość

1,2

m, a drugi bok

w w isi. o js e ? <5 r< . & ?

MATEMATYKA

POZIOM PODSTAWOWY

, •

•

( " 1

+ *-1 -9 +

= -1 6

Zapisanie układu równań: j

} ^ ^ +

Rozwiązanie układu równań:

Zapisanie wzoru wielomianu:

W(x)

x + 3x" - ftr - 27.

•

Przekształcenie wzoru wielomianu do postaci:

W (ar) = x "(x + 3 ) - 9 ( x

3).

' Rozłożenie wielomianu na czynniki:

W(x) = ( x + 3)(x + 3 )(x - 3).

Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu: :v, = -3 ,

Zapisanie warunku dotyczącego dziedziny wyrażenia:

l & t '+

U1'# 0.

Przekształcenie lewej strony do postaci iloczynowej: jc“ (

x - 3) ( x + 3) ^ 0.

iw tym '

1 oJkt

wyclągjiiĘda

przed

nawias)

Zapisanie dziedziny funkcji:

D = R \ { - 3 ,0 .3 }.

x ( x - 2 ) { x + l )

Zapisanie licznika ułamka w postaci iloczynowej: w (jc ) = — ------•

-j---------- j.

x~(x - 3) ( x + 3)

(w tym

■ł pKtia •

wyzna

czenie

pierwlast- .'

k<jw

trojmiany

kwadrato

wego!

Skrócenie ufamka: IV (

x ) = --------x ± J -------y.

x ( x

— 3){ x + 3)

, .

* 1 -125 + 2 5 a - 5 6 -

80 = 0

zapisanie uktadu równań: j

+ [

« + t ó - 80 =

■

Rozwiązanie układu równań:

= £ |^ -

Zapisanie wzoru wielomianu:

W{x)-=xm

5x~— 16 x- 80.

Przekształcenie wzoru do postaci: W(x> = :sr“(.t + 5) - 16

( x + 5).

Rozłożenie wielomianu na czynniki: WCy) = ( x +

5 )(x - 4)(.y-+- 4).

Zapisanie odpowiedzi; trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba

x - -4 ,

Zapisanie wzoru wielomianu: iV(x; + 1):

W(x + 1) = x + 3x" + 5x +

zapisanie wzoru wielomianu

G tar): G(x) = 3x‘L + 3x + 3.

wykazanie, że wielomian

G(x) nie ma miejsc zerowych: A ~-21, ćatem wielomian G (x)

nie ma miejsc zerowych.

III. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ K

, ^

( / 2 + 3 ) ! - 3 ( / 2 + 3)

Podstawienie liczbvdo danego wyrażenia:

W (¿2 + 3) = ------------------- ^ ------- -

( / 2 + 3)

Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia w liczniku ułamka i zredukowanie wyrazów

podobnych:

W( ¿2 4* 3) =

^ +

( / 2 + 3 )

[po

pkt

a każde

obliczenie)

wykorzystanie wzorów skniconego mnożenia w mianowniku utamka:

W (J2 +

] = ^

>'2

;

2 9 / 5 + 45

Usuniecie nlewymierności

mianownika utamka: l v ( / 2 + 3) = - ^ + l 'g / 2 .

pkt

wykorzysta

nie wzoru

skróconego

mnożenia

r 1 p k t 2a

pozostałe

obliczenia)

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: — 500 +

= 165Q(|

¡ ^ ^ x> jq

•*

X — TU

x - liczba maturzystów w szkole.

Przekształcenie równania do postaci: ^ O O h - 15*

x - l O

Przekształcenie równania do postaci równania kwadratowego:

x 2~ 10x - 11000 = 0.

Rozwiązanie równania: ar, =-1 0 0 . x 2= 110.

zapisanie odpowiedzi: w tej szkole jest

110

maturzystów.

www.cperofi.pJ

ROZ

WIĄZ

AŃ

OZW

IĄZ

AŃ

M MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

IV. Funkcje trygonom etryczne

Zadania zamknięte

Numer J Poprawna

zadania

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktów/ •:

Najkrótszy bok trójkąta leży naprzeciwko najmniejszego kąta.

+cos‘flf=

1 =» cos O. =

s in a = f i t g a = £ = > sin

a <

a. ponieważ długość przyprostokątnej jest

mniejsza od długości przeciwprostokątnej.

sin

= 2 c o s a =* cos?o r+ 4 co s2a = 1

=»

co s« = - y

cosor= 3sinOi=>

tg a -

=>t

“ = |

W = ( s i n a - cosa) = -sin 'o r-2 sin a c o sa + c o ś a =

W= l- 2 - - j= > W^O

w = (

s i n a . cosóf

\ _

sin

-i- cos

Icos

s in a

sin a c o s a

W = -

. W = 9

(sin a c o s a )

cos

30’ = -=£-

=*d-

v/3

cos

a =

=> a - 60’

tz k + cos" a =

1 =* cos a — -pr

169

ló

sin a _ 3

cosa

sin

2 a + cos2 a -

»s in a - ^

eona - j

l(X= / 3

a = 60°

sin a = ^ =» a = 45°

s i n a - - ~ |

sm a =

w w w . o p e r o n . p l

IV. F U N K C J E T R Y G O N O M E T R Y C Z N E - W Y N I K I E T A P Ó W R O Z W I Ą Z A Ń

16.

cos60° = -Jj- => Iogscos60° - -

17.

tg 6 0 ° = / 3 ^ t g i 60a = 3v/ 3

18.

3in 3 0 0 = ^ = * ( s in 3 0 a- l ) ' = |

19.

tg Z6:45 =

=> tg

!
i

^ => sinCi = - ^ j =* sin

a + cos

a /

, zatem takie dane są

niemożliwe.

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Wyciągnięcie przed nawias wspólnego czynnika po lewej stronie tożsamości:

L = c o s x (l - sin

ar).

Wykorzystanie Jedynki trygonometrycznej" do przekształceń w nawiasie i wykazanie

tożsamości:

L ~ cos*cos

x = cos3* = P.

Wyznaczenie wartości sinusa

ot: sin cc =

Wyznaczenie wartości kąta:

Ot- 30D.

Wyciągnięcie przed nawias wspólnego czynnika po lewej stronie tożsamości:

L = sin a (coś2 a + sin

cc).

Wykorzystanie Jedynki trygonometrycznej" do przekształcenia wyrażenia w nawiasie
i wykazanie tożsamości:

L - s in a = P.

¿3

Wykorzystanie wartości sinusa i definicji wartości bezwzględnej: Vv - - --j- +

------

Zredukowanie wyrazów podobnych i oszacowanie wartości wyrażenia:

W = - ^ y - =*■

W < ”

Wyznaczenie tangensa kąta: tg a - / 3 lub Lg a = 1 lub tg

x =-1.

Wyznaczenie kąta

a: a = 60° lub Ot - 45°.

Wykorzystanie wartości sinusa i wzoru skróconego mnożenia: -rg—-— —.

Ą- - 2 / 3

Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie liczby w żądanej postaci:

a - J Ł + 3 Ł r i

a ~ \ 6 9 + i6 9 vó'

w w w . o p e r & s K p i

)

M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y

zapisanie układu równah: •

si.it a _ o

cos a

sin“ ot + cos- a =

Rozwiązanie układu; •

3 / T

sin ot =

/ i d ’

cosa = -jQ -

wyznaczenie przeciwprostokątnej:

c = 26.

| Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej:

b = 2:4.

Wyznaczenie przyprostokątnej leżącej naprzeciw danego kąta:

a ~

| Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej:

b =

v/'3.

Wyznaczenie sinusa kąta: sin

CC = y

a'.

!\ -<?'

Wyznaczenie tangensa kąta: tg

o. - - —

— .

1 1

Przekształcenie lewej strony tożsamości:

L =

2a + 1.

cos

Wykazanie tożsamości:

L = s'm a + ,CQS a = p_

cos" a

Wyznaczenie wartości cosinusa: cos.a= -j.

Wyznaczenie kąta:

= 60°.

13.

Przekształcenie wyrażenia w nawiasie:

- 1

j .

/ i

Obliczenie wartości wyrażenia:

W -

14.

Obliczenie wartości cosinusa ze wzoru na tangens: cos er

-j.

Sprawdzenie wzoru na Jedynkę trygonometryczną":

^ j

1S-

Wyznaczenie przeciwprostokątnej:

10.

Wyznaczenie sinusa i tangensa najmniejszego kąta: s in a =

100

IV. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ R

Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Zbudowanie kąta

a-, np. zbudowanie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej 2 i prze-

ciwprostokątnej 3.

Obliczenie cosinusa kąta: cos a =

2J5

Obliczenie tangensa kąta: tg Ci = —g—..

Obliczenie wartości wyrażenia:

W =

Zapisanie układu nierówności wynikających z treści zadania: m2- 4 m

4 < 1

m - 4m + 4 > 0'

Rozwiązanie pierwsze] nierówności układu:

m G (1,3).

(1 p kt za

wyznacze

nie pier

wiastków
i 1 p kt za

rozwiązanie

nierówności!

Rozwiązanie drugiej nierówności układu:

m e R \ {2 }.

p k t za

wyzna

czenie pier

wiastków
f 1 p kt za

rozwiązanie

nierówności)

Zapisanie odpowiedzi:

m. e ( l , 3 ) \ { 2 | .

zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania:

~m 2-5 m + 6 >

Rozwiązanie nierówności:

m e ( ”

, 1).

(-1 p k t za

wyzna

czenie pier

wiastków
11 pkt za

rozwiązanie
nierówności)

zapisanie równania:

- 5m + 6= 1.

“ 5 - 3 / 5

- 5 + 3 A

Rozwiązanie równania:

w , = ---------

= ----------------------

4 .

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

- środek okręgu,

cięciwa,

- wysokość trójkąta

ABO, \¿AOB\

Obliczenie długości cięciwy:

- 12.

Wyznaczenie sinusa połowy kąta

(X: sin Jj-a =

w w w . o p e i Q r s . p i

101

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Wyznaczenie potowy kąta Cf:

j CL = 30“

Wyznaczenie kąta Of: C

( - 60°.

Zastosowanie wzoru na tangens kąta do przekształcenia lewej strony nierówności:

cos" er

1 -

1 =

sinket

Przekształcenie utamka po lewej stronie tożsamości:

L =

sin a + cos or

Zastosowanie jedynki trygonometrycznej'' do przekształcenia lewej strony tożsamości:

L - 2 sin' c r - 1 =P.

Przekształcenie lewej strony równania;

+ slÜcx ~~ c o s a

Dodanie ułamków po lewej stronie równania: -

: c o s a -

Wyznaczenie sinusa kąta: sin

OL = y

2 /2

Wyznaczenie cosinusa kąta: cos

a - ^

/ 2

Wyznaczenie tangensa kąta: tg a =

1 ”v 2

Podstawienie wartości funkcji trygonometrycznycn:

x =

_ .

Przekształcenie liczby:

x = -

I - 2 / 2

, . '6 - 4 / 3

Usuniecie niewymierności w mianowniku:

x =

Zapisanie wniosku: xjest liczba niewymierną.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

O - punkt przecięcia się przekątnych rombu,

|A C j = 40.

BD - krótsza przekątna rombu,

\lD A B\ = a.

Obliczenie długości krótszej przekątnej;

\BD\ = 4 /6 9 .

Obliczenie pola rombu:

P - 80 /6 9 .

I Zapisanie równania pozwalającego obliczyć sinus kąta a: 80 /6 9 = 2 62 sin or.

www.opcron.pl

IV. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ B

Wyznaczenie sinusa kąta

a : sin a =

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
CE - wysokość trapezu,
AB - dłuższa podstawa,

- krótsza podstawa,

\ZCAB\=a.

Obliczenie dfugości odcinków

EB, EA:

|£i?| = 2, |£ A |= 10.

Obliczenie wysokości trapezu; [Cfi1] ~ 2 /3 .

Obliczenie przekątnej

AC:

|AC| = 4 /7 .

h i

i \

Obliczenie funkcji trygonometrycznych kąta

a\ sin a ~ *“ p cos (X - ~J

~> tg a =

tpo 1 pkt

na K3żde

obliczenie \

10.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

\AD\

3x.\AB\

5x.

Wyznaczenie

długości odcinka

BE:\BE\= x.

Wyznaczenie długości odcinka

AE:

|A £ | = x /2 6 .

Obliczenie

cosinusa kąta a: cos a =

■

w w w. ©per »». pi

103

ROZ

WIĄZ

AĆ

K MATEMATYKA - P0210M PODSTAWOWY

V. Ciągi
Zadania zamknięte

Numer | Poprawna

zadania

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktów

n 1- 4 = 0 i n G N +=> n = - 2 <£ Z) lub n = 2 e D =*• « = 2

. ~

i -

= 5« +

5n - 3 =* an M

, -

an - 5 ** r = 5

Np. dla

al = - 5 ciąg jest rosnący, dla a, = 5 ciąg jest malejący.

X7, = 16 => x = - 4 lub % = 4. Dla x = 4 ciąg jest rosnący, zatem odpowiedzią

jest

x = - 4.

ogólna postać liczby, która z dzielenia przez 4 daje resztę 3. a więc ogólny
wyraz ciągu,

toaK = 4«. + 3.

Zatem

an f , - an - 4« + 7 - 4n - 3 => an „ - an = 4 => r - 4.

Ciąg jest rosnący, gdy r > 0

/«2

+ 4 > 0 => m E /?.

d ,t - « w = r => r = 5, 2-5 = a, + 9 r= *a , = - 2 0

( 4jc + 5) * 7 -

x =* *

= -6

25 = ( x + 3 ) '7 = > x = i

11.

( « + 1)"

n + 2 n + l

( « + l ) + l ~ * • '

« + 3

£Zn

an = 3« - 2 -

+ 5 =*

an j - tf(f ~ '3 => r = 3

13.

- 5 ' 2 ' ,+ l

= - 5 2"

" “ = 2

14.

a2~ - l - 2 » a = - 9

15.

a ,= 1 6 : ( - 2 ) » f l | = - 8

16.

9 - 5 = 2 * - l

- 9 = > x = l

17.

4 9 = (3 x + 2 ) - ( - 2 ) ^ x = - ^

18.

- n + 3 > 0 i n e Ar,. =» » < 3 i ti £ W+ =, « s {1 ,2 }, zatem sa dwa dodatnie
wyrazy ciągu.

104

w ww, o peron „pi

V. CUGI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ tg

19.

* _____ l 2 n _ 1 0 | > o l

e .Vł \ {

}

* + 2

r = ^ 7 I - ^ 2 / 3 - 4

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Zapisanie układu równań:

Rozwiązanie układu równań-

' r = 3 '

Zapisanie układu równań:

i 1 6 i inh J '

•

K * 32

Rozwiązanie układu równań- J

■|<? = i ■

Wyznaczenie różnicy ciągu: r = —

Wyznaczenie sumy dwudziestu wyrazów: ó' = -

().

Wyznaczenie ilorazu ciągu.-

q ~ -i-.

Wyznaczenie wyrazu

■ a

= - 1 « _

*m « * *,

I *

Wyznaczenie ilorazu zapisanie wniosku: -

=•

Wyznaczenie sumy dziesięciu wyrazów:

S]0- 4jy^r-

Rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych:

n e (4 ,7 ).

Rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych: « e { 5 ,

} i zapisanie odpowiedzi:

piąty i szósty wyraz ciągu są ujemne.

Rozwiązanie nierówności:

n < 4 i n G

n E {1, 2,3}.

Wyznaczenie dodatnich wyrazów.-

a y =

. ^ = 2

Wyznaczenie różnicy i zapisanie wniosku:

a = - I

ał-pm ria„

«-

iem

c,39

jest arytmetyczny.

Wyznaczenie wyrazu

w w w . o p e r s r j . p !

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

| Zapisanie równania:

x -

j + lx - x.

. ±

Rozwiązanie równania i Zapisanie wniosku: równanie sprzeczne, zatem nie istnieje taki

aby ciąg był arytmetyczny.

I Zapisanie równania: * 2= - 4^

x + j.

1 1

Rozwiązanie równania-.

xt = -3 , x.2= - l

- 8 + ( n - 1)3

Zapisanie równania: —--------

11 = 732. n e N v

Rozwiązanie równania:

n = 24.

" i '

4 - -

12-

i _

I Zapisanie równania: ai y r % “ ~ 765.

[ Rozwiązanie równania: a, = 3.

- — i

3/7 — 5 ”

Rozwiązanie równania:

n -

i zapisanie wniosku- szósty wyraz jest równy l.

I Wyznaczenie wyrazów ciągu: ( f ' § ~

3 + 5

| Wykazanie,

te wyznaczony ciąg jest arytmetyczny: 4 -

i 4 9

043

| Wyznaczenie wyrazów ciągu: (

)•

243

| Wykazanie, że wyznaczony ciąg jest geometryczny-. ( ^ j = y -

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

i Numer i
| zadania I

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

| Liczba
i punktów

I Zapisanie układu równań: {

| x + y + ż= 15

\s =y

[(.V + 3 )3- (

+ 5 )(

+ 19)

| Wyznaczenie liczby

y.y = 5.

r r

Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą:

x - 24x - 8 1 = 0.

L _______________________________________________________ _______________________________

I Rozwiązanie równania kwadratowego.-

x = 2 1 , -.*,=-3.

Wyznaczenie obu ciągów: (2 7,5 , - 17). (-3 ,5 ,1 3 ).

npkt

w przypadku

jednego

oiedu lud

Braku

równania)

' I

4 _ _ .

106

W W W .0 J 3 e J C M i.p l

V. CIĄGI - WYNIKI ETAPÓW R02WIĄZAŃ

x ‘ =-21y

Przekształcenie do postaci równania

z jedną niewiadomą.- 2 * ’ - 21 x + 81 =0.

Rozwiązanie równania:

x, = j , .*„ = 9.

U = f

(X = Q

Rozwiązanie układu: j

| lub •{ _

-v = ?

i:v '

Wprowadzenie oznaczeń: (* *„).(£ „) - odpowiednio ciąg arytmetyczny i geometryczny - ora

Przekształcenie układu do układu z dwiema niewiadomymi:

6 r =

4 + 30r = 4 ^ J'

Doprowadzenie do postaci równania kwadratowego:

q2~ 5q + 4 = 0.

Rozwiązanie równania:

- 1 lub

¿7

= 4.

Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego:

/) = 0, r2= 2.

_ n

t T

Wyznaczenie sumy trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego- Sf — 120

łub

SM ~ 990.

311

{x,y, z. t ) - szukany ciąg.

Zapisanie układu;

y + t

p kt

! w przypadku
i

jednego

błędu lub

braku

równania)

|x + / = 35

i Przekształcenie do postaci układu dwócn równań, z dwiema niewiadomymi, np.:

I ( 3 0 - * ) * = «

I ' » - 3 0 - .t- i- 3 5 - .c -

Doprowadzenie do równania kwadratowego, np.:

Az' - I25z + 900 = 0.

Rozwiązanie równania:

zt= 20,

, = 4 r .

w w w . o o e r o u , p i

107

M MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązanie układu równam j +

2 0

lutl

[i* = 3 0

r - l 2 1

* -

y = T

45 •

[1 pkt

w przypadku

jednego

biędu lut)

braku

Jednego

rozwiązania)

Zapisanie wzoru na dag liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 daja reszte 5:
a„=7n + 5.

Wyznaczenie pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu: u,= 12, u,

, -

96.

Obliczenie sumy trzynastu początkowych wyrazOw ciągu: .S'13= 702.

1^93

Obliczenie sumy 7 początkowycn wyrazPw ciągu geometrycznego: i 7- j j g y -

pkt za

metod?

11 pkcża

obliczenia!-

Obliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: S’7= - y -

n pkt za

metodę

M p K tz a .

obliczenia)

, , , ■

v - 1 9 3 1 9

Obliczenie różnicy sum: 5

7~ o , - 218T'

Wprowadzenie oznaczeń:

o] - 20, r - 20, Slf= 1100.

+ ( n - 1 ) 2 0

1100

przekształcenie równania do postaci:

n -

1 10

- 0 .

Rozwiązanie równania i wybranie odpowiedzi:

n - 10.

Wprowadzenie oznaczeń:

a, = 40,

,S ,= 325.

' ■ ( i )

Zapisanie równania: 4 0 ------- 325,

1 “

/ 3 \

Przekształcenie równania do postaci: ( ^ 1 =

Rozwiązanie równania:

n - 4.

1 9

. ja , + a ,

J= 48

Zapisanie układu równah wynikąlących z treści zadania: 1

g" - 24

V. CIĄGI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S

Rozwiązanie układu:

- r ‘¥

= I

pkt za

m etodę

p k t za

oBliezenrai

Wyznaczenie ogólnego wyrazu ciągu: aj( =

j J

Obliczenie sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu:

- i '

8 5 .

1 0 .

[a. +

5r + a, + 9 r = 52

Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania:

\ ,

.z ,

[(fl, + 9 r) - f a + S r) =624

Rozwiązanie ukiadu:

;

p kt za

m etodę

p kt za

obliczenia)

Wyznaczenie ogólnego wyrazu ciągu:

an~3n + 2.

+ ( /i -

1)3

Zapisanie równania:------- ^ ----- — « =

7 3 5 .

Przekształcenie równania do postaci;

3n2 + In -

J 4 7 0 = 0 .

Rozwiązanie równania

wypranie odpowiedzi:

n - 21.

109

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Vi. Planimetria

Zadania zamknięte

Numer *

zadania

Poprawna |

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktów

a 2 sin 30“ = 12,5 => a = 25 =>

£2

= 5

<OAB | =

180* - 140") =>

P = 90" - 2 0 ' .» 0 = 7 0'

* = f ,!^ = » a = / f ^ = » a =

| = 13 => * =

d(SJ\>

zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

\<ACB\ = 50° =» \<ABC\ = 180° - (70* + 50°) => \<ABC\ = 60°

cos

<DCB = 4 =* \<DCB\ = 60°, zatem (<ACB| = 12O

Skala podobieństwa

spełnia warunek

k" - 4

= 2.

Obwód trójkąta

= 36,

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym

samym łuku.

10.

sin

a -

\ < sin a. <

=> 30° <

a < 45°

1 1

Bok rombu

a =

/6 4

L -

40.

Ic s l _ 5

4 T I _ 2

“

13-

r = i

11 = 12 A

14.

Kwadrat Jest rombem, zatem

- j-

■

** P =

30.

15.

= 2r =* ci

16.

2 ,/3

=»

4 / 3

17.

a + 3a = 180° =? a = 45°, zatem przy krótszej podstawie jest kąt 3

a = 135°.

18.

Przekątna kwadratu

d = 16, zatem jego pole jest równe 128 cm ".

110

■ w v sw .o fJ 05 0n .p l

VI. PLANIMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ

19.

a + 2a = 60° => a = 20°, zatem miara kąta środkowego jest równa 40°.

20.

Przećiwprostokątna

c = /3 6 + 64

c = 10 =>

2R = 10

R - 5.

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Wyznaczenie długości trzeciego boku, gdy jeden z danych jest przeciwprostokątną: 12.

Wyznaczenie długości trzeciego boku. gdy dane boki są przyprostokątnymi: / 1 94.

Wyznaczenie niewiadomej, gdy pierwszy bok ma długość 7

:x =

Wyznaczenie niewiadomej, gdy drugi bok ma długość

7:x = 5.

Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej: 24.

Obliczenie pola trójkąta:

P = 120.

Zapisanie równania:

a +(3<z) = 2 0 '.

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: krótsza przyprostokątna ma długość

a - 2 / l 0.

■>

Zapisanie równania:

" +

h - (A + 2 ) .

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi:

h =

Zapisanie równania: 2£z'= 98.

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: boki prostokąta mają długości 7 i 14, zaś
obwód 42 cm.

Obliczenie obwodu trójkąta

ABC

26.

Obliczenie skali podobieństwa:

= ^ i obwodu trójkąta

EFC:

Zapisanie równania: ^ - sin 30°.

Rozwiązanie równania:

h = 5.

Obliczenie drugiej przekątnej rombu:

d = 16.

Obliczenie boku rombu:

a = 10.

\DC\ + 3

Zapisanie równania:J— ^

Rozwiązanie równania: |

DC| = j .

w w w , o p e r o « . p i

U l

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

1 1

Wykazanie przystawania trójkątów

ACE

BCF:

cecha

bkb.

Wykazanie tezy zadania: z przystawania trójkątów wynika, że |EC j

= \CF\

zatem trójkąt

ECE

jest równoramienny.

Wyznaczenie miary kąta

OCAi CL.

Wyznaczenie miary kąta

DCO: \ 2<X - 90°

13.

Wyznaczenie miary kąta

ABC\

40°.

Wyznaczenie miary kąta miedzy styczną i bokiem

trójkąta: 50°.

1 4 .

Wyznaczenie długości odcinka

AE:\A£ | =

Wyznaczenie długości odcinka

EB\ | BE | ~

1 5 .

Zapisanie długości odcinka

w postaci:

^ ^ ^ + b.

Wykazanie tezy zadania:

x =

■

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Wykonanie rysunku

oznaczeniami łub wprowadzenie dokładnych oznaczeń i zapisanie

równania wynikającego z treści zadania:

- dłuższa podstawa trapezu, |

A8| = 2r.

CD-

krótsza podstawa,

|C£)|

2x,

- przekątna trapezu,

\AC\ ~ d 4

- wysokość trapezu,

\<CAB\-a.

d ~ 4 ( r + x ) .

Zapisanie długości odcinka

w zależności od

\AE\=r+x.

wykorzystanie definicji cosinusa kąta w trójkącie prostokątnym do wykazania tezy zadania:

COS

OL -

Wykonanie rysunku

z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń i wyznaczenie

kąta

A OB

;

- wysokość trójkąta

ABC,

\<AOB\ = 60*.

\<AOD\

30°.

Wyznaczenie

] AB |: \AB\

10.

Wyznaczenie |

j: |

OD [ - 5 J 3.

112

w w w . o p e r o t 5 . p l

VI. PLANIMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ SI

Wyznaczenie j

CD |: j CD | = 5 (2 + ¿3 ).

Wyznaczenie pola trójkąta

ABC: P = 25 ( l + /3 ).

wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
D - środek przeciwprostokątnej,

E - punkt przecięcia symetralnej przeciwprostokątnej i przyprostokątnej AC,
\AB\ = c,
\ZABC\ = a.

|CA|

{\AB \

Wykorzystanie podobieństwa trójkątów

ABC i DE A do zapisania proporcji:

= ¡'.TT'•

\AB\

\AE\

Rozwiązanie równania | A 0 | - c =

/3 .

Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości drugiej przyprostokątnej:
\BC\ = 3 /3 .

Wykorzystanie definicji jednej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie

prostokątnym do obliczenia szukanego kąta: cos a -

\ => cr = 60°.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

BC| = a. | AC| = | DE\ = b, \ DC | = x, \AB\ = c,\Z.ABC\ = a.

Wyznaczenie długości odcinków

c., a, x w zależności od b. a:

C = ¡ I M ' U ~ b Ctg a ‘ *

= h C 0S

a -

(po 1 plft

Każde

oznaczenie)

Zapisanie pól trójkątów

ABC i DEC w zależności od b, a

wc =

b 2

ctg a, Pam = \ b2 cos cr s

i n

Obliczenie szukanego stosunku:

- j r ^ = sin a.

‘

ABC

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

|/WJ| =

\BC\ = a. | AB\ = |CD| = b, \OE\ = 2. \Oh'\ = 4,

0 - punkt przecięcia się przekątnych,

DO, BR - wysokości równolegtoboku,

| « z w ł| = 3 i r .

wyznaczenie długości boku

a: a ~

wyznaczenie długości boku

b: b - 16.

Wyznaczenie obwodu równoległoboku:

L = 48.

Wyznaczenie pola równoległoboku:

P - 64.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

\AD\ = \BC\ = a,\AB\ = \CD\ = h,

0 - punkt przecięcia się przekątnych,
DE. BE - wysokości równoległoboku,

* - y -

113

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Wykazanie poaooieństwa trójkątów

ABE

ADF

: cecha

kkk.

Oh'

( " 5

BE\ + [/>/■ | = 56

[| « F |= 16

FB I- 4 0 '

Rozwiązanie układu równań:

I Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

|.4D| = |

r | = |4B | = |CO| = «,

- pole danego kwadratu,

' /^ - pole trójkąta

EFC.

| Wyznaczenie pola trójkąta

EFC: P =

a \

”~|

I Wyznaczenie pola trójkąta

ABE: P,

= X-a1.

____________________________________

zapisanie pola trójkąta

Wyznaczenie pola trójkąta

AEF:

P, = | a~.

i ”

Wyznaczenie stosunku poi:

R- = A.

| Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

\BC'\ = a,\CA\= ia.\AB\-c,

j CO-wysokośi trójkąta. \C D \-h ,\D B \

Wykorzystanie podobieństwa do zapisania równania:

j j .

Sa./To

Wyznaczenie >■: v - — ^ — .

| Wyznaczenie szukanego stosunku: y =

' Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

i |

AB\ - a. |C£>| = b - podstawy trapezu,

h - wysokość trapezu.

i Wyznaczenie długości podstaw trapezu:

a -

¿3, b = 4 J%.

(po

pkt

za każde

| obliczenie)

114

W W li/. «PT?

i otl.pl

VI. PLANIMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S

— .........

Wyznaczenie wysokości trapezu:

k - 6 .

Wyznaczenie pola trapezu:

P = 36 /3 .

Wykonanie rysunku

z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczert:

\<ACD\ = a,\<DCB \=p.

2,/2

Wyznaczenie cosinusa kąta

cc cos a = ^

Wyznaczenie długości boku <4C:|/4C| = 1 5 /2 .

Wyznaczenie długości odcinka

AD:\A D

= 5

J2.

Wyznaczenie długości odcinka

BD\\BD\

= 4Q.

Wyznaczenie długości boku

BC:\BC

\ = 2 0 /5 .

Wyznaczenie obwodu trójkąta:

L = 20 ( / 5 +

¡ 2

+ 2].

www.operoa.pE

1 1 5

a
i

» MATEMATYKA

POilOM PODSTAWOWY

v ii. G e o m e tria a n a lity c z n a
Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktów

,y = f * + 5 " > a = !

2‘

I:y - 2x + ^ =s ii = 2

2 =

2x + 3 -» x = — j

[ r i + x

x = *

i ,

= > B = (8 ,-1 3 )

17 + v

| —J-Ł

[>-=-13

Równanie okręgu o środku

S = ( « , i promieniu r to (.*; - a) + {y — b) - r .

Stąd

S - (4, -3 ). r = 2.

I: y ~ x + ^ => tły — -> ii “ ™ 3

|/ti(| =

v/(2

+ 4

+ ( - 4 +

6)2

=» |AB| = v/4 0 =>

\A B \- 2 /1 0

/:y = t x - A : y = - ^ * - - j =W = A

Równanie okręgu przekształcamy do postaci (.* - 4) + (

y — 3 ) =25, zatem

S = ( 4,3).

Mamy wybór spośród

A ,C \D ze wzgiędu na własności współczynników kie

runkowych prostych prostopadłych. Łatwo sprawdzić,

że punkt P spełnia

równanie prostej z punktu

r *

Gdy podstawimy do wzoru prostej

x = 0, otrzymamy y ~

;

Proste / i

k muszą mieć taki sam współczynnik kierunkowy.

13.

Gdy podstawimy do wzoru prostej .* = -4 , otrzymamy y = 7.

i 14

S - = ( = ^ l ź .Ł j t L ) = * S = ( -

)

15.

Przekształcamy równanie okręgu:

( x + 1) - 1 + ( y - 3) - 9 - 1 0 = 0, stąd

( x + 1 )* + (>> *- 3)* = 20. Zatem r - /2 0 .

www.opei on.pl

VII. GEOMETRIA ANALITYCZNA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ M

16.

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych powiązane są warunkiem

&i~~ci •

17.

f ( 5 - 5 ) ł + ( . y - 4

= 7 = | y - 4 | = 7 = y = n v > - = - 3

18.

f y * 3 * + 5

\ x - - 2

[>’ = A'+1 ^ j y = - 1

19.

( 9 - 4

+ { y - 3 ) ‘ = 2 5 ^ ( > - - 3 ) 2= 0 ^ y = 3

|.4C| = /3 6 + 36 =» |A C j = 6 ,/2 = 6 / 1 = « / 2

=>a = b

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Zapisanie szukanej prostej

k w postaci: y = 3x +

Wyznaczenie

b i zapisanie odpowiedzi: k:y - 3* - 5.

Zapisanie szukanej prostej

k w postaci: y - 2x + b.

Wyznaczenie

b i zapisanie odpowiedzi: k:y - 2x -

Zapisanie równania: |

x ^

^ j = (_ 3 , 13).

Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:

( - 9 .

33).

4 .

Wyznaczenie środka okręgu:

S = (-1 , -2 ).

Zapisanie równania okręgu:

+ 1

+ ( j + 2 )” = 64.

5 .

Przekształcenie równania okręgu do postaci: ( x + 5 ) ‘ + ( j -

) " - 9.

Zapisanie odpowiedzi:

= ( - 5 ,

r - 3 .

Zapisanie równania:

1 = 5 - m.

Rozwiązanie równania:

m = 2.

7 .

Zapisanie równania:

n f - 3 =

Rozwiązanie równania: /

= 3V

8 .

Wyznaczenie długość boku kwadratu:

a = / l 16.

Wyznaczenie długości promienia okręgu opisanego na kwadracie:

= y 58.

9 .

Obliczenie długości przekątnej kwadratu:

= 2

JS.

WWW* ftp cr a st j ) s

117

iĄ

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

wyznaczenie długość boku kwadratu:

a - y lO.

wyznaczenie długość dłuższego boku prostokąta: | A flj = 2 /1 7 .

Wyznaczenie obwodu prostokąta:

L = 6 /1 7 ,

1 1

f y =

* +

Zapisanie układu równań: j y __ 1

x + ^

Rozwiązanie układu równań i zapisanie współrzędnych punktu przecięcia się prostych:

P = ( - 3 , 2 ) .

, •

•

a i - 3 x + 2 v - 1 = 0

zapisanie układu równań: j

_y + 15 =

Rozwiązanie układu równań i zapisanie wniosku: układ sprzeczny, zatem proste nie mają
punktów wspólnych.

13.

Wyznaczenie równania prostej

AB:y

- 5.

Wykazanie, ze

C e AB: 3 = 2- 4 - 5.

14.

Wyznaczenie równania prostej

A B : y ~ -

- 1.

Wykazanie tezy zadania:

ak-a ¡=— 1.

15.

Wyznaczenie promienia okręgu:

r = / 53.

zapisanie równania okręgu: ( * + 3 ) + ( v -

) - 53.

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

i
|

Obliczenie długości boków trójkąta: |

A B ]

= 2 y 2, |ZJCj = 3 /2 , |

AC\ - v/26.

(pa

pkt za

każdy bok!

„

,---

Wykazanie, że trójkąt jest prostokątny: (2 y 2 j + ( 3 V'2 ) - y 26 .

Obliczenie pola trójkąta:

P =

Wyznaczenie środka okręgu:

S - ( - 5 , ]).

wyznaczenie promienia okręgu:

r =

/5 .

zapisanie równania okręgu: ( A' •+■ 5) + (>' -*

) =

Obliczenie długości boku kwadratu wpisanego w okrąg:

a - 2 /1 0

Wyznaczenie równania prostej

AC:y

Wyznaczenie punktu przecięcia się przekątnych:

S = ( - 1 ,0 ) .

1 IB

w w w . a p e r o s t . p i

VII. GEOMETRIA ANALITYCZNA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ

Wyznaczenie równania prostej

BD:y = - ^ x -

Oznaczenie współrzędnych punktu

B: B = | x. -

x “ j j-

Zapisanie równania:

J(—

1 - 1) + ( 0 - 5) = /(-* + 1)* +

•

Przekształcenie równania do postaci:

x ? + 2x?' - 24 = 0.

Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:

B = ( -

,2).

D = (4. —2).

Wyznaczenie równania prostej

AC: 3ar + 5v + 2 = 0.

11 ''34

Wyznaczenie długości wysokości poprowadzonej

z wierzchołka B: h = —

— .

Obliczenie długości boku AC:| AC| = 2 /3 4 .

Obliczenie pola trójkąta:

P = 22.

wyznaczenie równania prostej

AB: y = y x.

Wyznaczenie równania prostej

BC:y=~2x - 10.

Obliczenie długości boku kwadratu: |

AB\- 4 /5 .

Oznaczenie współrzędnych punktu

C: C '-(x . - 2x - 10).

zapisanie równania: / ( 4 + 4 ) ’ + (2 + 2 ) ’ = ^ (

+ 4 )‘ + ( - 2

- 1 0 + 2 ) \

Przekształcenie równania do postaci: 5

‘ + 4 ( k - 0.

Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: C = (0. - 10) V

C = ( -

Wyznaczenie środka i promienia okręgu:

S = ( - J , 2), r ~ 3.

Wyznaczenie odległości środka okręgu od danej prostej:

d - /5 .

Zapisanie wniosku:

ii < r, zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

Zapisanie układu równań:

,v" + ( v - 4 ) = 2 5
y = -

7x+ 29

Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą:

x'" - 7 x + 12 = 0.

(1 pkt

23 WSPÓt-

C2yr»nik kie

runkowy

i 1 pkt

za pozosta

łe oblicze

nia)

(1pfct

za współ-

czynnik kle- i
runkowy i 1 i

Pkt 23 PO- •

zostałeobii- i

czenlai

(po

1 pkt za :

każcie

obliczenie! i

pi?

1!3 R . p i

* mateimtyka

poziom podstawowy

Wyznaczenie współrzędnych punktów wspólnych prostej i okręgu:

= ( 3 ,

B -

( 4 , l ) .

Obliczenie długości cięciwy

AB'.\AB\

= 5

Wyznaczenie długości promienia okręgu:

= 5.

/■">

Obliczenie cosinusa kąta

Cii

cos cc

Wyznaczenie kąta

a: a

- 45

Obliczenie długości bokow trójkąta: |

AS| = 2 /5 , |BC| = 10, | AC] = 4

J5.

(po

pkt

każde

obliczenie)

Wykazanie, że trójkąt jest prostokątny:

/ S ' ) + (4 / Ś ) - 10’ .

f i

Obliczenie sinusa kąta

ABC:sm<ABC =

—

Wyznaczenie współrzędnych punktu

A ~

(1,0).

(1 pkt

za zapisanie
układu rów

nań

1 1

pkt

za rozwią

zanie!

Wyznaczenie współrzędnych punktu

C: C = (5 ,2 ),

(1 pkt

za zapisanie
uktaOU rów

nań i 1 pkt

za rozwią

zanie!

Wyznaczenie równania prostej

DC: y ~ 2x -

(1 pkt

za współ

czynnik kie

runkowy

i 1 pkt

za pozosta

łe oblicze

nia)

Wyznaczenie współrzędnych punktu

D :D ~ (

3 , - 2 ) .

(1 p kt

za zapisanie

układu rów

nań

1 1

pkt

za rozwia-

zantei

Wyznaczenie współrzędnych punktu

B:B = ( 3 ,4

11 pkt

za zapisanie
układu rów

nań i

-1

pkt

za rozwią

zanie)

Wyznaczenie równania prostej

k prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt

A: y = - 2x +

(1 pkt

za współ

czynnik kie

runkowy

1 1 pkt

23 pozosta

łe oblicze

nia)

120

www..opii(Qii.pl

VII. GEOMETRIA ANALITYCZNA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ »

Wyznaczenie punktu przecięcia się prostych / i

k: P = (3, - ł).

(1 pkt

zapisanie

układu rów

nań i 1 pkt

ta rozwią

zanie)

Wyznaczenie współrzędnych punktu ¿3: (2 ,2 ).

(1 pKt

za zapisanie
układu rów- ;

nań i

pkt j

za rozwią- I

tanie)

w w w . o p e r o n . f 3 i

121

* JViATtMATVKA - POZIOM PODSTAWOWY

VIII. S te re o m e tria
Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki da rozwiązania

Liczba

punktów

r, r + 5 - odpowiednio promień podstawy i tworząca stożka, <X - kąt nachyle

nia tworzącej do płaszczyzny podstawy stożka,

2 r + 2 ( r + 5 ) = 3 0 = ir = 5 l o o s C f--j =>Cf-6Ó“.

r. h - odpowiednio promień podstawy i wysokość stożka,

r = 6 ,/t = 6 /3 = » V = 7 2 Ą

u - krawędź podstawy graniastostupa,

a v'2 = 4

a = 2 ¿2 => tg a =

=? tg or =

f i .

r. h - odpowiednio promień podstawy i wysokość walca,
r = 3, h - 6 =» Pt = 3671.

d, ¿i, - odpowiednio przekątna sześcianu

przekątna podstawy (ściany)

sześcianu,

- a ¿2, d 2 = a + ( a f l ) ^ d = a /3 .

Skorzystaj z twierdzenia o trzech prostopadłych lub narysuj ostrosłup prawi
dłowy czworokątny i podziei go na cztery identyczne ostrosłupy (o wspólnej

wysokości), z których każdy spełnia warunki zadania.

r, i - odpowiednio promień podstawy

tworząca stożka,

r = 2.

tg a = 4 => tg or = 2.

r. h - odpowiednio promień podstawy i wysokość walca,

*/2

= 4 8 jt

JY= 4

{■nr1h = 9 6 n '* [ h = 6 ^ h = r + 2 -

r. ł - odpowiednio promień podstawy i tworząca stożka,

r= % .t = a - P *

10.

| / = ^ ' 6 - 4 - 8 = » V = 3 2

11.

h, x~ odpowiednio wysokość ostrosłupa i odległość spodka wysokości od

krawędzi podstawy ostrosłupa,

= ir ^ 4 ^ => x

f i. =* tg 60"

= 3.

( / = ;• + 5

» f - S l í - l Ü

13.

a = \ h = 5 => tgCX= ^

122

w w w . o p e r o H . p l

VIII. STEREOMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S

14.

£2

- krawędź sześcianu,

a / 3 = 5 / 3

= 125.

15.

<a ~ krawędź sześcianu,
a J 2 = i= > a = 2 j2 = > P ^ m .

16.

r -

promień kuli,

TU 3 = 3671 *+ r ~

=»

P = 26%.

17.

Pp = 8 = > V =

18.

h, x - odpowiednio wysokość ostrosłupa i odległość spodka wysokości od
wierzchołka podstawy ostrosłupa,

x r, l . ]

j A ^

x _

j g =>/t = y

]44

- 48

19.

ii, h -

odpowiednio krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej ostrosłupa,

¿1

ft =

4 / 3 = > ^ = 6 4 / 3 .

krawędź sześcianu, 12<z

a =

Pv=

150.

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Wyznaczenie długości tworzącej stożka:

/ =

8 / 2 .

Wyznaczenie powierzchni bocznej stożka: Ph~

6 4 / 2

71.

Wyznaczenie długości promienia podstawy stożka: r

/3 .

Wyznaczenie objętości stożka: V

~ 5 1

271.

Wyznaczenie dfugości wysokości waica: h

32.

Wyznaczenie powierzchni bocznej walca: Pft= 153671.

Wyznaczenie odległości spodka

wysokości ostrosłupa od wierzchołka

podstawy:

| AS'

3 /3 .

Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa:

H -

3 /6 .

Obliczenie długości przekątnej ¿i sześcianu w zależności od długości krawędzi a

sześcianu:

/ l

Wyznaczenie sinusa kąta a nachylenia przekątnej sześcianu do jego podstawy: s in a

/ p

Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa h

w zależności od krawędzi podstawy

«:

A = 2 / .

123

SE MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Wyznaczenie sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:

/ ó

s in a =

Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa

k w zależności od krawędzi podstawy a:

a j 33

Wyznaczenie tangensa kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:

a = / ¡ I

apisanie długości krawędzi prostopadłościanu w zależności od różnicy ciągu

arytmetycznego:

a, a + 3, a +

Wykorzystanie sumy długości krawędzi do wyznaczenia ich długości: 5,

, 11.

Zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu w zależności od ilorazu ciągu

geometrycznego: 3.

3q. 3q".

Wykorzystanie sumy długości krawędzi do wyznaczenia ich długości: 3,

, 12.

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:

\ ^ ~

ostrosłupa.

Rozwiązanie równania:

h = 4.

1 1

Wyznaczenie zależności między promieniem podstawy

r stożka i tworzącą l tego stożka: / - 2r.

Wykazanie tezy zadania: cos a - 4 ^

a - 60*.

Wyznaczenie zależności między promieniem podstawy r walca i wysokości

h tego walca: h = r.

Wykazanie tezy zadania: tg

(X ~ -y.

13.

/ I

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:

o —

= 12 /3 ,

a - długość krawędzi

graniastoslupa.

Rozwiązanie równania:

a - 2.

14.

Wyznaczenie wysokości prostopadłościanu:

h = 3 /

Wyznaczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

Pr = 1 8 / 2

+ l).

[

1S-

[

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: 2 •

+ 3

a = 12,5 ■ ( / 3 +

a - długość krawędzi graniastoslupa.

i.,

Rozwiązanie równania:

a = 5.

124

www.operon.pi

VIII. STEJtEOMETRlA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
h -  wysokość graniastosfupa,
Pp -  poie podstawy graniastosrupa,
P  -  pole jednej z przystających ścian  bocznych,
P  = 2 P .

Zapisanie równania: ^

b ' sin Cf - 2bh.

| Wyznaczenie wysokości graniastosfupa:

h - \ b sincc.

Wykazanie te

y zadania: sin

ct< ] = * k < ^ b .

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
r - promień podstawy walca.
4

r - wysokość walca,

Pp - poie podstawy walca,
Ph - pole powierzchni bocznej walca,

d ~ przekątna przekroju osiowego walca,
a - kąt nachylenia przekątne] przekroju osiowego walca do płaszczyzny jego podstawy.

Obliczenie stosunku poia powierzchni bocznej do pola podstawy:

-rf- =

Wyznaczenie długości przekątnej walca w zależności od promienia podstawy:

d = 2 r/5 .

2 f5

Obliczenie szukanego sinusa kąta

<X\ s in a = ^ .

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

a - promień podstawy stożka,
hy - wysokość stożka,

h(t - wysokość ostrosłupa.

,''33

Wyznaczenie wysokości ostrosłupa:

kn = —^ — .

«3

'11

Wyznaczenie objętości ostrosłupa:

Vu = — ^ — .

Wyznaczenie wysokości stożka:

hf -2 a .

wyznaczenie objętości stożka:

Vt~

v„

A i

Wyznaczenie stosunku objętości:

yr =

www.ojjision.pl

125

MATEMATYKA

POZIOM PODSTAWOWY

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
SS' - wysokość ostrosłupa, \ SS' = H,
h - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,

V -  objętość ostrosłupa,
Ph -  pole powierzchni bocznej ostrosłupa,
ABC -  podstawa ostrosłupa.

Wyznaczenie długości odcinka ASF: | AS” -

6 Jś.

Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa:

H - 18.

Wyznaczenie objętości ostrosłupa:

V = 486 /3 .

Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej ostrosłupa:

h - 3 v/39.

Wyznaczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa:

= 81 y 39.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

SS' - wysokość ostrosłupa, |55"j = H.

h -  wysokość ściany bocznej ostrosłupa,
b -  krawędź boczna ostrosłupa,
V -  objętość ostrosłupa.
Pb -  pole powierzchni bocznej ostrosłupa,
ABC -  podstawa ostrosłupa.

Wyznaczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:

b =

J 2.

Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa:

H - 2 y 10.

128/10

Wyznaczenie objętości ostrosłupa:

V =

■

Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej ostrosłupa:

h - 2 /1 4 ,

Wyznaczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa:

Ph- 32 /1 4 .

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
i -  tworząca stożka,
r  -  promień  podstawy stożka.
/ ~ r  +

zapisanie równania wynikającego z treści zadania:

Tir! = 1207L

wykorzystanie danych do zapisania równania z jedną niewiadomą: jc r ( r +

) =

120

Rozwiązanie równania:

r = 10.

Wyznaczenie wysokości stożka:

h =

Wyznaczenie objętości stożka:

V =

71 / \ 1.

Wykonanie rysunku

z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:

r - promień podstawy walca,

h -  wysokość walca,
d -  przekątna przekroju osiowego walca,
h -  2 r + 2, d -  2r + 4, 2r + h + d -  2-4.

www.opetGii.pl

VIII. STEBEOMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ *

........

wyznaczenie długości promienia podstawy i wysokości walca:

r - 3, h =

ipo

1 p kt

za każde

ooiiczenie)

i
!

wyznaczenie objętości walca:

V = 12%,

Wyznaczenie sinusa kąta

a: sin a =

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeni
x,

2x - krawędzie podstawy prostopadłościanu,

h - wysokość prostopadłościanu,

d - przekątna podstawy prostopadłościanu.

Wyznaczenie długości krawędzi podstawy prostopadłościanu: 4,8.

Wyznaczenie długości przekątnej podstawy prostopadłościanu:

d = 4 /5 .

Wyznaczenie tangensa kąta

a: ig ct=

(w tym

akt

ża wyzna

czenie COSI'

nusa kąta)

Wyznaczenie wysokości prostopadłościanu:

h = - y / 5 .

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
SS' - wysokość ostrosłupa, SS" - R,

/? - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa,

C D - wysokość podstawy ostrosłupa.

wyznaczenie długości odcinków

AD, OB: \AD\ = 3, |D # | = 4 /3 .

Obliczenie pola podstawy ostrosłupa:

P ~ 24.

3 + 4 /3

Obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie:

R = -— j ±—..

Wyznaczenie objętości ostrosłupa:

V= 4 (3 + 4 / 3

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń;
h - wysokość graniastostupa,

P - poie podstawy graniastosłupa,

r - promień okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa, r - h .

Wyznaczenie pola podstawy graniastosłupa:

P = 1 4/3 .

Wyznaczenie promienia okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa: r - v/3.

Wyznaczenie objętości graniastosłupa:

V = 42.

127

Ü MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

IX. Rachunek p ra w d o p o d o b ie ń s tw a i e le m e n ty s ta ty s ty k i
Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktów

r)t(r,

o, r), (r-, r, o ),(*>, o, r ), ( o, >\o),{r, o, o )}. £2 =

: 4 = 7 ^ p w ) = | .

.4 - dwa razy wypadła parzysta liczba oczek, £ 2 -6

, 4 = 3 3 =*

P(A) -

2 ' 2

+ 2 '4 +

2 ' 3

=.5T-3,29

- wylosowanie liczby podzieinej przez 5,

- wylosowanie liczby podzielnej

przez

4 H 5 - wylosowanie liczby podzielnej przez 55, stąd

p (A )_ 402 . 182

„ , , , 5 4 8

r{A )

2010

’

■

2 + 2 • 4) ■

0,1 + (5 + 2 • 3.) 0,2

„

4 -0 ,1 + 3 -0 ,2

l - ponieważ, „jedynek" jest najwięcej.

- wyrzucono res

kę i co najwyżej 5 oczek. £2=6 ■

-2,

A = { ( r , l ) . ( r , 2 ) , ( r , 3 ) , ( / - , 4 ) . ( r , 5 j } ^ f ( A ) = T| .

Największa liczba danych (2 5 ) to dwie wartości: 2, 3, zaś wartość środkowa

—

1 -

A -  wylosowanie kiera,
B -  wyłosowanie asa,
A n B -  wylosowanie asa kier,

P(A U B) = ^ + 4

~ ¿ i =*

B) = %■

x - pensja nowego pracownika, —

x = 3660.

11.

- reszka wypadła co najmniej jeden raz. £2=2 ■ 2 • 2 • 2,

- reszka nie

wypadła ani razu,

- dwa razy wypadło 5 lub

oczek, £2 =

, A = 2 2 => f(<4) = -g.

13.

S = 4 . l + 7 - 2 + 5 - 3 + l - 4 ^ = 2 iJ7 6 4 ^

128

w w w . o p e r o n , p i

I*. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I ELEMENTY STATYSTYKI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S

14.

wybrana ficzba jest podzielna przez 4, £2=21r

= 6,

P{A) =

15.

x w

4,8

•

0,4

5 - 0,5

5,2 • 0,1 =*

3tw-

4.94

16.

m ~ 4 - wartość środkowa.

17.

- wyrzucono dokładnie jednego orfa i sześć oczek,

Q = 6

^ Z ’ (A ) =

L .

18.

•

30.

19.

- wylosowanie pika,

wylosowanie króla,

A n B -

wylosowanie króla pik, ^ W U £ )

- ^ - ^

=* P(A U 5.)

A c £ = > A U £ = S=>/>(AU£) = |

Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Zapisanie równania: 2 + 7 + Q + 0 + a:

Rozwiązanie równania:

_ .

3 . 4 - 2

+ 3 ,8 + 3 ,5 -2

Zapisanie równania:

x =

—---------- ^------

----- .

ObSiczenie średniej ocen:

3,52.

Zapisanie liczby danych: 12.

Wyznaczenie mediany:

= 6,5.

Zapisanie liczby danych: 15.

Wyznaczenie mediany:

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: ¿1 = 36.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

- suma wyrzuconych oczek wynosi 7:

i obliczenie

prawdopodobieństwa zdarzenia

A:P(A)

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:

0.-36-

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

- iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 25: A = 1

i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia

A: P(A) -

www.9peratt.pl

W MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Wyznaczenie sumy prawdopodobieństw zdarzeń:

P ( A) + P (B) - 1,2.

zapisanie wniosku: zdarzenia me moga się wytaczać, gdyż wtedy

P(A U B) > 1.

co jest

niemożliwe.

1 2

' 1

Zapisanie równania:

- P(A nB).

Wyznaczenie prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń:

P(A fi B) -

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:

¿1 = 4.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A -

wyrzucimy co najwyżej jednego orta:

A = 3

i odiicze-

nie prawdopodobieństwa zdarzenia

A:P(A) =

10.

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:

£2=8.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A -

wyrzucimy co najmniej jednego orła:

A = 7 i

oblicze

nie prawdopodobieństwa zdarzenia

A: P(A) = J

1 1 .

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: 0

=900,

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A -

wybierzemy liczbę podzielną przez

120: A = 8

i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia

A:P(A.) = ^qq.

12.

Zapisanie warunku:

S c A = ? A u £ f = A.

Wyznaczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:

P(A U B) = 0,8.

13.

Zapisanie warunku:

(A \ B ) u B - A

oraz

( A \ B )

są zdarzeniami wyłączającymi się,

zatem

P(A\B) + P(B) = P(A).

Wyznaczenie prawdopodobieństwa różnicy zdarzeń:

P(A\B) = 0.3,

1 4 .

wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:

£2=90.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A -

wybierzemy liczbę podzieiną przez

11: A = 9

i obli

czenie prawdopodobieństwa zdarzenia

A: P(A) = y|j.

1 5 .

„ ......................... 7 6 + 4 -5 + 6 -4 + 8 -2 + 5 1

Zapisanie równania:

x = —“ —■

—..... ---------------- —-.

Obliczenie średniej liczby wyrzuconych oczek:

x = 3,5 (6).

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

Numer J"

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

zadania

Liczba

punktów

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: £2 = 14 ■ 13.

130

www.ojjes8n.pS

IX. RACHUNEK P R A W D O P O D O B IE Ń S T W A 1 ELEMENTY STATYSTYKI - W Y N IK I ETAPÓW ROZWIĄZAŃ ■

i
1

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

- wybierzemy dwie kule czarne: A' - 8 - 7 .

Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A 1:

( A ') =

" i ~ j

Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia

- wylosujemy co najmniej jeden ra

kulę

białą:

P(A) -

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:

17 • 17.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

- wybierzemy dwie liczby parzyste: A - 9 -9.

Wyznaczenie prawdopodobieństwa

darzenia A:

P(A) =

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: £2=36.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia A - suma wyrzuconych oczek jest równa

: A - 5.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

~ iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 12:

= 4.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A n

f\B

= 2.

Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń

A.B.A

P(A

) =

P(B)

A .i P(ADB)

= ^ .

Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:

P{Au B) =

4 .

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń eiementamych: 0 = 6 • 6 6.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia A ' - suma wyrzuconych oczek jest równa 17 lub 18:

- 4.

Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A ’: P ( A ’ ) = ^

Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A - suma wyrzuconych oczek jest równa co

najwyżej 16:

P{A)

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: 0 =

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

- wyrzucimy za pierwszym razem orta; A = 4.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

~ wyrzucimy dokładnie dwie reszki:

= 3.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia A n

B: A

n £ = 1.

Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń

A, B, A

B: P

(A)

= A,

(fi) = 3-

n i )

= i

.W-

El MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Obliczenie prawdopodobieństwa sumv zdarzeń:

P(A U 5 ) = j .

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: Q - 16.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A - wyrzucimy Jedną reszką: A - 4.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

B - wyrzucimy co najmniej jednego orfa: B = 15.

wyznaczenie liczebności zdarzenia

A f i B: A n B = 4.

Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń

A, B, A n B\ P(A) = -^r, P(B) = yj|,

P(AnB) = ^ .

Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:

P(AU B) =

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:

Cl =9 ■

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A - złożona liczba jest większa od 40: A =

Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia

A: P(A) -

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: 0 - 1 2 .

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A - reszkę i co najwyżej 2 oczka; Á - 2.

Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia ,4:

P{A) - ^

wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:

Cl = 4 • 3 ■ 2 ■ 1.

Wyznaczenie liczebności zdarzenia

A - Natalka i Ewa usiadfy w kinie obok siebie: A - 12.

Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia

A: P(A) = -y.

Obliczenie średniej arytmetycznej danych:

x = 5,65.

Obiiczenie wariancji danych: cr"= 71,3775.

Obliczenie odchylenia standardowego z podaną dokładnością:

(J ~ 8,45.

n pktza

metodę

11 pkt za

oDiiaentó)

132

viww.oj>e?oft,p!

MODELE ODPOWIEDZI ■

Modele odpowiedzi i schematy punktowania arkuszy egzaminacyjnych

Arkusz 1

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktów

vĆ3(,/3 + / 7 )

3 + ,''21

- 3 - , / 2 ‘i

= { ^ - /

) ( /

+ '

) ^

- 4

i " "

- 2 x

2 ~Q

=*.%-

£ ( -

, -

3x +

= » jc = -^ e ( - l

A).

- x - 2 ~ 0 =*x = - 2

£ (l,+ o o ),

zatem jedynym miejscem zerowym funkcji jest liczba - y.

Jedynie funkcja z przykładu D spełnia warunki zadania, gdyż / ( 1 ) = 9
i

f(x )

e ( -

, +oo).

Najkrótszy bok trójkąta leży naprzeciwko kąta 30°, zatem

= y =»

- 16.

n1-

0 i

A/+=>

n =

3 lub

-3 , ale tylko liczba

n -

3 jest liczbą

naturalną dodatnią.

2 sin 30° = 12,5 =>

a2= 25 => a = 5

3 x - 7 y +

=> -

= -

- 1 =>

= y

+ y =>

a -

r, i -

odpowiednio promień podstawy i tworząca stożka,

2 /

2 r = 3 0 i /

r + 5 ~ 4 r + 1 0

3 0 ~ r = 5 . / = 1 0 .

cos

60p.

A ' -

wypadty same reszki,

(A ')

^ A A '

1 =*P( A )~

" T k = , p (

= 15'

10.

x -

szukana liczba, 0,014x

0,756

= * # =

11.

_ A

= (.4 ) i = 4 ^

12.

Zasada przesuwania wykresu funkcji wzdłuż osi

OY.

13.

£ -

warunek sperniony dla każdej liczby rzeczywistej

14.

>^.=-10

=* W=

( ” 1

0, +oo

)

(ponieważ ramiona paraboti są skierowane do góry).

133

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

15-

W{x) = * * ( * - 5 ) - 9 ( x - 5 ) =* W[x) = ( x - 5 ) ( V - 9 ) =>

W(x) = ( x - 5 ) ( * - 3 ) ( x + 3)

16.

| y j + c o s 'a =

coscr= ^ y ^

17,

lo g 36 = io g ó 2- 2 log

= 2 lo g (2 • 3) = 2 ( lo g 2 + lo g 3)

= 2 log 2 + 2 Jpg 3,

18.

„ | -

an =

(n + 1 ) + 3 - (Sn + 3) => aa t , -

ąu

r -

19.

a /S

¿2

„

T ’

T “ “*

2 / 2

^ a -■

=»o = 2 ,76

20.

AB| = J s 76 +

1.00

=> |

AB| = 26 " » * = | f = » * = -§

21.

i: y =

* + y =?

a = 2 =>a =

22.

Równanie okręgu o środku

S = (a ,b ) i promieniu r to („y - a ) “ + { y - b f = r \

zatem dla danego okręgu

S ~ (

, -3 ),

r = 2.

23.

x =

1 + 2

+ 4 + 4 + 5 + 3 + 3 =>g =

3;|42857=>. a 3 ' l4

24.

[S jc -

| <

=> t o -

| =

to -

x = \

25.

_ .

- 2

m -

< 0 =* - 2

tn <

> - 4 =*

m e (—4,

+<x>

)

Zadania otwarte

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

26.

Wyznaczenie wyrazu

an + ,

ari +1

■ 51' '

. .

wyznaczenie ilorazu ciągu:

q~5 , zatem ciąg jest geometryczny.

27.

wprowadzenie oznaczeń i zapisanie długości boków po zmianach:

a, b - boki prostokąta, P = ab.

.la, J ,2b - boki po zwiększeniu o 20%.

Obliczenie, o ile zwiększy się pole prostokąta: P,

]A4ab. zatem pole zwiększy się o 44%.

28.

Zapisanie lewej strony równania w postaci iloczynowej i wyznaczenie jednego pierwiastka:

“ +

Wyznaczenie pozostałych pierwiastków:

x2= - \,

* , =

- y .

29.

Obliczenie długości odcinka

AE: \ AE |

= y p

134

ww.operon.pl

MODELE ODPOWIEDZI

30.

a ( l + / 5 )

Obliczenie obwodu trójkąta

EFG:----- «----- c

Zapisanie nierówności:

a + b<2b.

Przekształcenie nierówności do postaci wykazującej tez? zadania:

a t ^

Wprowadzenie oznaczeń:

h - wysokość prostopadłościanu.
h - 2 , h Jc 2 - krawędzie podstawy.

Zapisanie równania:

h ( h - 2)(h + 2 ) = h - 24.

Rozwiązanie równania:

h =

Zapisanie odpowiedzi: krawędzie podstawy mają długość 4.8.

Zapisanie uktadu równań:

tf] + 6 r - ( i z | + r ) = 20

a, + 3 r - L 7

— 4

Rozwiązanie układu równań:

\ a _

5 + 5 + ( r t - 1) • 4

Zapisanie równania:------------

n ~ 860.

Rozwiązanie równania:

lub

n = 20.

Zapisanie odpowiedzi: 20 początkowych wyrazów daje w sumie 860.

Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich

darzeń elementarnych: Q = 36.

Wyznaczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu

- suma

wyrzuconych oczek większa od

~A =

Wyznaczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu

8 - na każdej

kostce wypadnie ta sama liczba oczek:

8 =

Wyznaczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu

A fi B: A n B = 2.

Obliczenie, prawdopodobieństw zdarzeń:

B, A

fł

B:P(A) "

P(B) =

Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:

P(A U B) =

w w w . o p - r r r a j i . p l

135

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

Modele odpowiedzi i schematy punktowania arkuszy egzaminacyjnych

Arkusz 2

Zadania zamknięte

Numer

zadania

adpowtedź

Wskazówki do rozwiązania

Liczba

punktów

( 3 v/2 + 5

= ( 3 / 2

+ '2 • 3 / 2 • 5 + 5 2- 18 + 3 0 / 2 + 2 5 = 43 + 3 0 / 2

Odejmujemy przedział otwarty, więc różnicą będzie przedział domknięty.

|^ +

| <

= > |.k+

| =

=>Jt

:+ 2

= ^^ =

- 2

według zasady przesuwania wykresu funkcji wzdłuż osi

OX.

-4 x - 8 < 0 = » - 4 x < 8 s * x > - 2

5 6 (0 ,5 ) =»/<5) = 7

f 3 - 2 — 5 - ( - 2 ) - 16

^ ( 2 ) - 4

. zatem para ( 2 , - 2 ) speinia układ C.

—8

= — ( —3 ) * — 12 + c => c = 13

Jedynie w przykładzie C

W ( - 4 ) = 0 i W (4 ) = 0 i W ( — l ) = 0 i M ^(l) — 0.

10.

sin cc = -

==-. cos

a -

=*> sin er + coscr = -

v'3 4

v/34

/3 4

4 /3 4

=*• sincr + cosof= -■ p -

11.

s i n a - 3 cosec*» 9cosi Cf + cos2a = 1 => 10cos2c? -1 =?-cos''a = - ^

„ / i o .

3 / 10

cos Cc =

sin

CL =

12.

d - krótsza przekątna rombu.

\ d

T = sin W* ^ 2 4 ~ 2 ^ ć* = 12‘

13.

a-" - 36

x = 6 lub x = - 6

14.

Liczba, która z dzieienia przez 5 daje resztę 3, ma postać 5« + 3.

15.

+ 9 > 0 =>

m2> -9

136

w w w . a p e y o n . p 5

M O D E L E O D P O W I E D Z I W

16.

r< ¿2, zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

17.

Ct = 90" - 38° =}£t= 52ę

18.

A .

4 = 2 x + 5 = > x = ~ ±

19.

l : y - 3 j

3 =>»,= 3 ^ a s- 3

20.

AB\ = J ( 2 + 4 )2 + ( - 4 + 6 )J =» | AB\ = / 4 0 => | Afl| = 2 /lO

21.

lg « = A

- tg « = 7 r =» tg « =

¿ v 2

y 2

*■

22.

iJirh = 4871

[ r = 4

23.

2 IV ( x ) - G ( x ) = 2 ( 7 + 5.r; -

- (3a:j +

I x 1- x - ? J =+

2 W (;t) - ( .( jc ) =

2x'' + 1 0 7 - 6 x - 3X'1- 2x~ + x + 7 **>

l W { x ) - G { x ) = - x i + 'ix 2- 5 x + l

24.

P M ) = ^

i = P (A ) = i = . P ( . 4 ) < i

25.

5 - 0 + 1 0 - 1 + 3 0 - 2 + 3 0 - 3 + 1 0 - 4 + 5 - 5

, ,

...

2 +

J | tr i

“

”

4.. J .

Zadania otwarte

Mu mer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

26.

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu:

x { = -\. x2 =

•£.

Rozwiązanie nierówności:

^ -o o .

j U

+ac

27.

Zapisanie prawej strony równania w postaci iloczynowej:

9 \(x+

1) = 0.

Wyznaczenie pierwiastków równania: .X j= -3 ,

x1-

x . = - l .

28.

Obliczenie przedwprostokątnej trójkąta

ABC: c

26.

Obliczenie obwodu trójkąta

KLM:

30.

29.

Zapisanie równań wynikających z definicji logarytmu: 2

4 *=

Wykazanie tezy zadania:

= - -j

w w w . o p e r o i i . p l

137

MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY

50.

Wyznaczenie różnicy ciągu:

r= 3.

Wyznaczenie ósmego wyrazu:

= 40.

31.

wprowadzenie oznaczeń:

x, y, z

szukane liczby,

jc +

~ 49.

+ y +

- 49

Zapisanie układu równań:

-j

yA - xz

y + l - j c - 4 = ?

- 9 - y - l

Doprowadzenie do postaci równania kwadratowego:

- x * + 35* - 196 - 0.

(x = 28

Wyznaczenie rozwiązań układu:

1 >■ = 14

lub

1 - 7

X~1
>■= 14.

= 28

32.

Wyznaczenie równania prostej

AC:y = -

- ^ x +

Wyznaczenie środka odcinka

AC: ,S' = (4 ,2 ).

Wyznaczenie równania prostej

BD:y = 3 x -

10.

Wyznaczenie długości przekątnej kwadratu:

|AC|

2/10.

Zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi

B = (x,y):

fy = 3 .x- 10

j / ( * ' 4 ) 2+ ( > ' - 2 ) W l O '

Rozwiązanie

układu

równań

podanie odpowiedzi:

= (3, “ 1),

= (5,5).

33.

Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania:

3? lr2fc= 100031

/ 3

[

r ~

-j

Przekształcenie do równania z jedną niewiadomą:

-ę-flr'

= 1000%.

Wyznaczenie r,

h:r=

10 / 3 ,

10.

Obliczenie długości tworzącej stożka:

20.

Obliczenie pola powierzchni bocznej stożka:

2001C/3.

138

w w w , o p e r o « , p l

narwK

n^rai

Wśrtó$ć bgtwzgiędną liczby rzeczywiste]

definiujemy wzorem:

Í2t día.

x > 0

j - * 4ia * < Q'

liczba

\x | jest to. odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0.

w szczegOtoośę.iijal

> 0r|—jc| = \x\.

Dla dówołnYch Hezb

x,-y mamy:

t i + y ]« |x l + |y|,

(

—jf|< |

| + (>|,

(* - j | = 1*1 - l.vl-

Ponaaá». ieSii

y ? l i to j y j = j^j.

Potęgi i pierwiastki

Nfech

będzie liczbą całkowita dodątnią. Ola dowolnej liczby

definiuje*

myfcfíi-tapotee?:

a - a - ... - a..

n razy

Plen/yfastkfém arytmetycznym

Ja stopnia fi ? liczby « > 0 nazywamy licz

bę;/? ^Otąką, że

b*~ ą.

Jeżeli

a. < O oraa

liczba

« jest

nieparzysta,

oznacza liczbę,

b <0.ta

ką,

ze¿n= c.

Pierwiastki stopni parzystych z itézd ujemnych nie istnieją.

Niech/a

n będą liczbami pátkowitymí dodatnimi. Definiujemy:

<3&á¿Q', a "= 4 ro ra z V “ 1,

i”

r:%

dia t3 >

Q-a n

= # « ,

cHaa>0i.a

v>a

Węch*-,

s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jesli#> 01 b > 0, tó

zachodzą równości:

■ a - a = a 's,

^d j - a \

a \

[ a b ) ’ - a b ' .

{ § ) ' - £

JeteM wykładniki r,

$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowlą-

zujądfą wszystkich itcżb

a £ (),b £0.

Wzory skróconego mnożenia

+ />)*=

u + 2ab

+• /?“,

.(« +

bf'^v-b'Sa2 b + Sd^+i?3,

(a - b f = ( f - Z&b + b",

(« -¿ » )3= a 3- 3a2¿ +

3ab~ -.ił.

&l- b 7-(a -b ){a + b).

(a - b){a~

+w& + £*}.

ą +b' ~ { a + a

“

P raw ą d ilatan a a logarytm acłi

tog^fr, &2) = l egMi?,+

gdy /?,,

b$& RĄ.

bg.-r1 =

gdyĄ.j^e R jp S R ,\{1 }

" »2

55 *8' log^/>. 0dyé.e

£/?+\ { ł } i i ;e f i

lo g //£ =

ty gdy b e R+, a e R+\ . { j} i f l £ rV \{Ż), 1}

i« á „ # =

gay ft e R , i A c s

1 }

h>S.

b ‘

W a.

b e R ,\{1 }

mugoié- (5dc3nkg:»kpfic^w;putóąit

danaiest;w zorem :

| A*| =

Wspófrzęora środka bdtíni^á A&

Í Í A Í Í » . í l í ¿ ¿ \
l~~s

;

i Równanie ogólne prostej:
|

■áx + 5}»;+,t l =Ú

I gdzie A* + £T#Q'(tj. współczynniki A B nie są równocześnie równe 0).

/ y - :ax. + b

x < £ \

I Jeżeli prosta nfe je s t równoległa d o osi O K , to m a o n a rów nanie kierunkowe

y- =

] L íc z b a ^ 'to wspóiezynnlk iüe.riimkovyy prostej:

a - tg (x .

] Prosta p ^ c h o d łą ę a ^ n z a z .dwa-’dSane^unkty

”

s s

I je s t wyrażona tó w nahiem :

J - O s .- j ü & ' - O -

°-

P rosta i pu nkt

i Odległość punktu

P.= ( jćfl; jy0.) od prostej o równaniu

M + ' By .+€ ~

jdamiastw^m:

/ i ! ł S *

Warunek prostopadłości (i ) pary prostych

! RóvyńantókierunkOwę.prostych:

]fc¿:v

~ut S'+bz

j Równania ogólne prostych:

l k1rA1x+É¿y'+:Cl-Íl

: Aj jc

>' + .Cj - 0

i ( l ) : A r ^ J+ ą % = 0

Warunek rownołeproścl |||) pary prostych

Równania kieruńktóye. prostych:

kL;y = a} X+ b\ ■

k.^.y -'■&£&

( l l ) : f l , = s 3

Równania, ogólne prostych; -

k2: Az x + B2 y-+ <S,=0

íñ lV iA . a . - A ^ , ^ ^

r u n f i e

monotonlcznośC -funkcji

Funkcja rosnącą: * ,-< jcw = >./(.v,j

< f ( x 2)

Funkcja malejąca:

x }< x 7= * f { x i ) > f [ x 2)

Funkcja nlerosnąca: a'!<a% = > / ( # , ) ^ / ( ż z)

Funkcja nlemalejąca: ą <

x 2= > f { x

t ) <

f ( x

2 )

Przekształcanie w ykresu funkcji y ~ f ( x }

Symetrta osiowa względem osi

OX: y = - f( x )

symetria osiowa względem osi OK:

y = f (-x )

Symetria środkowa względem początku ukł. wsp.:

= ' - / { -

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

( x ) = ax* + bx + c, a f 0

Wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:

/ ( * ) =

a ■ (.* +

-X, g&iie A = b'~ iac.

pomocnej przy sporządzaniu wykresu.

Wykresem funkcji kwadratowej iest parabola o wierzchołku w punkcie

o współrzędnych

^ j. Ramiona paraboli skierowane są do góry,

gdy

a > 0, do dołu, gdy u < 0.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba pierwiastków

równania a

*'2+ bx + c = () zależy od wyróżnika A = b‘ - 4ac.

-jeżeli A < 0, to funkcją kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie

kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych),

-jeżeli A = 0, tQ. funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (równanie

kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek):

x , = x, = -

- jeżeli A > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa.miejsca.zerowe (równanie

kwadratowe ma dwa pierwiastki):

~b ~ /A

-¿> +

yó,

JeśH A S5 0, tg wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci I

iloczynowej:

Ą x ) = a ( x - x t)( x - x 2)

Funkcja wykładnicza

Funkcję/At)

= u ' , gd zie a e / ? ^ \ { 1},

nazywamy funkcją wykładniczą,

wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą.

Jeżeli a > 1; to funkcja wykładnicza v =

d jest rosnąca.

Jeżeli

a £ (0:1.}, to funkcja wykładnicza jest malejąca.

Funkcja wykładnicza jest równowartościowa.

jedynym rozwiązaniem równania

a = b, gdzie a e /? (\ { l } , b EL Rt, jest

liczba

x - \ó%ah.

Jeżeli

ci £ R \{1 }.to :a ’ - a' &> b = c,

I Jeżeli

a <= (0:1), to:

)

a" > a ' <* X-¡< xv

Równanie liniowe

ax + b = 0

]

ax- =~b

dla

a d 0:

dla« - 0:0

=~b

x ~ a

| - jedno rozwiązanie
j

(pierwiastek)

dla 6 = 0

I. = P

nieskończenie wiele

rozwiązań

dla 6A 0

L # P

brak rozwiązań

Ciągi

Ciąg arytmetyczny

Wzór na fi-ty wyraz Ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie

a., i różnicy r: an = «, + (t? - L) r.

wzór na sumę fi początkowych wyrazów:

.;„ = -l t ^--,i=

— — u

Miedzy sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

+ A +

c ią g geometryczny

Wzór na

n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie

a, i ilorazie

r t „

=«,-</ "'

wzór na sumę

Srr ~ a} + ą, +... + ati początkowych n wyrazów ciągu

geometrycznego:

8 =

I - c i

dla

q ^ I

n ■«,

dla

q = I

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

u\~o_ ,A

u , dla n > 2

Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy

K złożymy na n lat w banku, w którym opro

centowanie lokat wynosi

p % w skali rocznej, to kapitał kortcowy K

o f ( x ) > g ( x ) .

wyraża się wzorem:

K = K

a ,b ,c-

długóścj b oków łeżąęyeh odpowiednio naprzeciwko wierze hol

A,B,C

2 p - a + b + c -

obw ód trójkąta

{ 7 / 3 , / - m iary k ą tó w przy wierzchołkach

A.B,C

K * K > K ~

WYSókośęi opuszczone.2 wierzchołków

A,BjC

/ ? , r - prom ienie okręgów opisanego i wpisanego

Wzory na

pohb

trójkąta

■bh.

■

ć ■

2 v

h~ 2

l r

sin fi ■ sin

r,M c =

v h - ™ r =

“

sin«

-2R2 sina ■

sińjS ■

siny

PAM*r 3f l t = rP = j p ( p - a){p- ~

b){ p -c )

Twierdzenie Pitagorasa

i w ra z z tw ie rd z e n ie m o d w ro tn y m o o niego)

W trójkącie

ABC

kąt y je s t prosty w te d y i ty lk o wtedy, gdy

a ■

= £.

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że ką t y je s t prosty. Wówczas:

h;=\AD\‘\D&\

h = f

a = c ' sina = c ■ eosyS

a - b \go. = b ctg/3

/? = ic -

Twierdzenie Taiesa

(w raz t twierdzeniem

odwrotnym do niego)

Proste A A '.

BB \ CCr

są parami rów nolegle w te d y i ty lk o w tedy, gdy

Chodzi równość:

_ M

|OAj

j a f l j " |OC'|

oznaczenia

P -

pole powierzchni całkowitej

- pole powierzchni podstawy

Ph -

poie powierzchni bocznej

V - objętość

Pb= 2nrh

P=2ltr(r + h

)

/ =

p h .

gdzie

Jest prom ieniem podstawy,

- wysokością waica.

Stożek

Pb=itrl

P = 'Kr(r + l )

= | V

gdzie r Jest promieniem podstawy,

h ~

wysokością,

- długością tworzącej stożka.

Tapez

Czworokąt, który ma co najmniej je dną

mę

boków rów noległych. ,

Wzór na pole trapezu:

- f

. ł

- 2

iównołegtobok

Czworokąt, który ma d w ie pary boków

ównołegłych.

wzory na pole rów nołegtoboku:

P = ah = a b

s i n a =

|A C | | £ D | sin fD

Koma

Czworokąt, który ma dw ie pary boków
równoległych jednakowej długości.

Wzory na poie ro m bu:

P=«ft + a2’ sina = 4 1 |AC| ■

\BD\

Dełtołd

Czworokąt, któ ry ma oś symetrii
zawierającą jedną z przekątnych.

Wzór na póle deltoidu:

P = f | 4 C | - | i O |

Koto I okrąg

Wzór na pole koła o prom ieniu

i':

P - n r 2

Obwód kola o prom ieniu

Ob = l%r

Wycinek koła

Wzór na pole wycinka kota o promieniu

r i kącie środkowym o mierze

cP:

P=nr

3 60°

Długość tuku wycinka kota o promieniu

i kącie środkowym o mierze tt°:

1 = 2 n r-

3 6 0 ”

Kąty w okręgu

Miara kąta wpisanego w okrąg je s t ró w na poło w ie m iary kąta środkowego

dpartego na ty m samym tuku.

Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na ty c h samych tukach, są
równe.

a) Kąt w ypukły

b) Kąt wklęsły

c) Kąt zerowy (składa się tylko z ramion,

ramiona

ÓB

pokrywają się,

a =

0 3

d) Kąt p ełny (składa się z całej płaszczyzny, ramiona

pokrywają się, a = 360°)

(f~n

e) Kąt poipełny (ramiona

OA i.OB

uzupełniają się do prostej

AB,

= 1 8 0 ° )

f) k ą t o s try (0° <

a <

90°)

g) Kąt prosty (a = 90°)

h) Kąt ro zw a rty (90° <

180°)

i) Kąty utw orzone przez dw ie przecinające się proste

j) Kąty u tw orzone przez przecinające się proste

(a, h

} przecięte trzecią

pro stą

(c)

7i -

5,=$j