1. Teoria

Filtr cyfrowy jest liniowym układem dyskretnym niezmiennym względem przesunięcia, zrealizowany
za pomocą arytmetyki o skończonej precyzji. Projektowanie filtrów cyfrowych obejmuje trzy etapy:

1. określenie pożądanych właściwości układu,
2. aproksymację tych właściwości za pomocą przyczynowego układu dyskretnego,
3. realizację układu za pomocą arytmetyki o skończonej precyzji.

Równanie filtru opisuje jego transmitancja dyskretna w postaci:

)

...

)

...

(

)

(

−

lub jako równoważne równanie różnicowe:

∑

−

⋅

−

⋅

Jeżeli funkcja ma mianownik równy 1 to filtr jest określony jako FIR (ang. Finite Impulse Response) .
Jeśli funkcja ma licznik równy 1, to filtr jest określony jako IIR (ang. Infinite Impulse Response).

Zwyczajowo projektowanie filtrów cyfrowych typu NOI jest w istocie przekształcaniem filtru

analogowego w filtr cyfrowy spełniający założone wymagania.
Metoda niezmienności impulsowej – zakłada się, ze odpowiedź impulsowa filtru cyfrowego jest
równa ciągowi próbek równomiernie pobranych z odpowiedzi impulsowej filtru analogowego. Metodę
tę stosuje się często nie dlatego, aby odtwarzać kształt odpowiedzi impulsowej, ale dlatego, że
zapewnia ona w przypadku analogowego filtru wąskopasmowego charakterystykę częstotliwościową
filtru cyfrowego, która dobrze aproksymuje charakterystykę częstotliwościową filtru analogowego.
Projektowanie oparte na numerycznym rozwiązywaniu równań różniczkowych – rozważmy
transmitancję układu analogowego, gdzie x

(t) jest sygnałem wejściowym, y

(t) sygnałem wyjściowym,

(s) i Y

(s) zaś odpowiednio ich transformatami Laplace’a:

)

(

)

(

)

(

∑

, układ analogowy mający transmitancję H

(s) może być

równoważnie opisany za pomocą równania różniczkowego:

∑

)

(

)

(

, projektowanie oparte na numerycznym rozwiązywaniu

równań różniczkowych polega na zastąpieniu pochodnych w powyższym równaniu różnicami
skończonymi.
Projektowanie w oparciu o transformację dwuliniową.

Metoda ta jest oparta na

całkowaniu równania różniczkowego i wykorzystaniu numerycznej aproksymacji całki.

Odwracalna transformacja wyrażona równaniem

−

⋅

jest znana jako transformacja

dwuliniowa.

2. Zadania laboratoryjne

LAB_3_1 :
PROJEKTOWANIE FILTRU IIR NA PODSTAWIE PROTOTYPU ANALOGOWEGO

Celem ćwiczenia jest zapoznanie z metodą projektowania filtru IIR w oparciu o transformacje
jego prototypu analogowego.

W projektowaniu filtru cyfrowego z użyciem prototypu analogowego praktyką jest
projektowanie filtru dolnoprzepustowego a następnie jego transformacja do żądanej postaci
(środkowoprzepustowy, górnoprzepustowy lub środkowozaporowy). W rozwiązaniu
zastosowanym w Matlabie procedura projektowania składa się z następujących etapów:

a) Określenie specyfikacji prototypu filtru na podstawie wymagań charakterystyki

częstotliwościowej (

, R

)

b) Projekt znormalizowanego prototypu analogowego N-tego rzędu o częstotliwości

odcięcia równej 1.

c) Transformacja otrzymanego opisu znormalizowanego filtru dolnoprzepustowego do

odpowiedniego typu filtru o częstotliwościach rzeczywistych.

d) Zastosowanie transformacji biliniowej

−

, gdzie f

oznacza częstotliwość

próbkowania, dla przekształcenia prototypu analogowego w cyfrowy.

1.  Uruchomić Matlaba
2.  Otworzyć okno edycyjne m.-pliku funkcyjnego: File -> New -> M-file
3.  Zaprojektować kilka typów filtrów dolnoprzepustowych o rzędach: 10, 20, 50 o różnych

typach podstawiając odpowiednie wartości do wzoru:

[l,m]= butter(N,Wn)

- filtr Butterwortha

[l,m]= cheby1(N,R

)

– filtr Czebyszewa I

[l,m]= cheby2(N,R

)

– filtr Czebyszewa II

[l,m]= ellip(N,R

,Rs,Wn) – filtr eliptyczny (Cauera)

Argumentami wywołania funkcji jest: N rząd filtru, W

– znormalizowana

częstotliwość odcięcia filtru, R

– amplituda tętnień w paśmie przepustowym (w dB), R

–

amplituda tętnień w paśmie zaporowym (w dB). W wyniku takiego wywołania otrzymuje się
dwa wektory wyjściowe l i m, zawierajęce współczynniki wielomianu licznika i mianownika.
Zmieniając jedynie parametry wyjściowe funkcji z [l,m] na [z,p,k] lub [A,B,C,D], otrzymać
można inne formy opisu transmitancji filtru. Przedstawiony sposób wywołania ma jedynie
zastosowanie do filtrów dolnoprzepustowych. W przypadku filtrów górnoprzepustowych,
środkowoprzepustowych i górnozaporowych należy odpowiednio zmodyfikować parametry
i linie wywołania funkcji.

Przy filtrze środkowoprzepustowym jako częstotliwość odcięcia W

wystarczy podać

wektor W

=[W

], w których W

i W

oznaczają dolną i górną częstotliwość zaporową, a

linia wywołania funkcji (na przykładzie filtru Butterwortha) ma postać:

[l,m] = butter(N,Wn, ‘Stop’)

Dla ułatwienia procesu projektowania można skorzystać z dodatkowych m-plików
funkcyjnych określających wielkości: W

(częstotliwość znormalizowana) i N rząd filtru

Na podstawie wymagań odczytanych z zadanej charakterystyki częstotliwościowej filtru, to
jest W

, W

, R

oraz R

s .

1.  Uruchomić Matlaba
2.  Otworzyć okno edycyjne m-pliku funkcyjnego: File -> New -> M-file
3.  Zaprojektować kilka typów filtrów dolnoprzepustowych (ich rząd oraz znormalizowaną

częstotliwość odcięcia) podstawiając odpowiednie wartości do wzoru:

[N, W

]=buttord(W

)

– filtr Butterwortha

[N, Wn]=cheb1ord(W

) – filtr Czebyszewa I

[N, W

]=cheb2ord(W

) – filtr Czebyszewa II

[N, W

]=ellipord(W

)

– filtr Cauera

4. Wyrysuj charakterystyki tak zaprojektowanych filtrów np.

[l,m]=butter(N,W

)

[h1,w1]=freqz(l,m,128);
subplot(2,1,1), plot(w1/pi, abs(h1))

Zanotuj wnioski po przeanalizowaniu w ten sposób otrzymanych charakterystyk. Czy dla
wymienionych typów filtrów selektywność filtru jest taka sama dla tych samych rzędów
filtrów?

LAB_3_2:
PROJEKTOWANIE BEZPOŚREDNIE FILTRÓW TYPU IIR

W projektowaniu bezpośrednim filtru typu IIR wykorzystuje się metodę Yule’a-Walkera
dobierającą optymalizacyjnie współczynniki filtru w taki sposób, aby jego charakterystyka
amplitudowa najlepiej pokrywała się z zadaną charakterystyką amplitudową mag(f), w której
f

jest wektorem określającym punkty częstotliwościowe, a mag wartości amplitudy w tych

punktach. Funkcja do projektowania bezpośredniego nosi nazwę yulewalk.

Wektor f określa punkty częstotliwościowe od 0 do 1 (1 odpowiada częstotliwości Nyquista)
w porządku rosnącym, przy czym dozwolone jest dwukrotne użycie wartości częstotliwości
(odpowiada to skokowej zmianie charakterystyki amplitudowej mag). Wartość N jest
proponowanym rzędem filtru. Im wyższa wartość N, tym lepsze dopasowanie.

1.  Uruchomić Matlaba
2.  Otworzyć okno edycyjne m.-pliku funkcyjnego: File -> New -> M-file
3.  Wpisz poniższy kod źródłowy
4.  Zaproponuj własny filtr środkowoprzepustowy o bardzo dużej selektywności, wyrysuj

rozkład zer i biegunów na płaszczyźnie Z.

f=[0 0.1 0.13 0.3 0.32 0.4 0.42 0.6 0.63 0.8 0.83 0.9 0.92 1];
mag=[0 0 1 1 0.5 0.5 0 0 1 1 0.7 0.7 0 0 ];
[l1,m1]=yulewalk(18,f,mag);
[h1,w1]=freqz(l1,m1,128);
[l2,m2]=yulewalk(50,f,mag);
[h2,w2]=freqz(l2,m2,128);
subplot(211),plot(f,mag,w1/pi,abs(h1)),
grid,xlabel(‘f’),ylabel(‘abs(h1)’),title(‘rzad N=18’)
subplot(212), plot(f,mag,w2/pi,abs(h2)),
grid,xlabel(‘f’),ylabel(‘abs(h2)’), title(‘rzad N=50’)
pause,clg
[z,p,k]=tf2zp(l1,m1);
fi=0:0.05:2*pi;
axis(‘square’)
plot(real(p),imag(p),’x’, sin(fi),cos(fi))
xlabel(‘real(p)’),ylabel(‘imag(p)’),title(‘Rozklad biegunow’), grid

Program dokonuje projektowania dwu filtrów typu IIR: jeden jest rzędu 18, drugi rzędu
50. Dodatkowo analizowane jest położenie biegunów otrzymanej funkcji w celu
sprawdzania warunków stabilności filtru.

LAB_3_3:
PROJEKTOWANIE FILTRÓW TYPU FIR

Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR, choć zwykle dużo wyższego rzędu niż IIR,
posiadają wiele zalet, z których najważniejsze to możliwość uzyskania dokładnie liniowej
charakterystyki fazowej, bezwzględna stabilność, prostota projektowania. Matlab zapewnia
kilka funkcji do projektowania tego typu filtru. Należy do nich remez, w której realizuje się
algorytm Parks-McClelllana. Wywołanie tej funkcji ma postać:

b = remez (N, f, mag)

Gdzie argumenty wejściowe N, f, mag mają identyczną interpretację jak funkcji yulewalk,
natomiast b zawiera obliczone wartości współczynników transmitancji filtru FIR.

1.  Uruchomić Matlaba
2.  Otworzyć okno edycyjne m.-pliku funkcyjnego: File -> New -> M-file
3.  Zaprojektować dolnoprzepustowy filtr FIR rzędu 30 o znormalizowanej częstotliwości

odcięcia 0.3 wykorzystując metodę remez

4. Wyrysować charakterystykę amplitudową oraz położenie zer na płaszczyźnie Z

W sposób podobny wywołuje się funkcję fir2, stosującą klasyczny algorytm okienkowy
projektowania filtru FIR z oknem wybieranym przez użytkownika. Sposób jej wywołania

b = fir2(N, f, mag, window)

Uwzględnia dodatkowo możliwość użycia wybranego okna (jedno spośród następujących
funkcji okna: bartlett, blackman, boxcar, chebwin, hamming, hanning, kaiser, triang). Przy
opuszczeniu w linii wywołania nazwy okna, stosowane jest okno Hamminga.

1.  Uruchomić Matlaba
2.  Otworzyć okno edycyjne m.-pliku funkcyjnego: File -> New -> M-file
3.  Zaprojektować dolnoprzepustowy filtr FIR rzędu 30 o znormalizowanej częstotliwości

odcięcia 0.3 wykorzystując metodę okienkową fir2

4. Wyrysować charakterystykę amplitudową oraz położenie zer na płaszczyźnie Z

LAB_3_4 :
BADANIE WPŁYWU RZĘDU FILTRU NA JEGO CHARAKTERYSYKĘ
AMPLITUDOWĄ

Celem ćwiczenia jest zapoznanie z własnościami filtru cyfrowego zrealizowanego w postaci
kaskady ogniw drugiego rzędu (posiadających po 2 bieguny (i zera) sprzężone), oraz
wpływem poszczególnych ogniw na charakterystykę filtru

1. Uruchomić MATLABA
2. Uruchomić program “sosdemo”, pisząc jego nazwę w oknie MATLABA
3. W drugim menu po prawej stronie wybrać filtr Butterwortha opcją “Butter”
4. Zaobserwować przebieg łącznej charakterystyki filtru w zależności od ilości ogniw.

5. W polu “Cascade” wyłączyć łączne wyliczanie charakterystyki i zaobserwować
charakterystyki poszczególnych ogniw filtru.
6. W polu “Show all” wyłączyć wyświetlanie wszystkich charakterystyk, w polu “3-D plot”
wyłączyć rysowanie trójwymiarowe, przerysować poszczególne charakterystyki łączne i
poszczególnych ogniw.
7. W drugim menu po prawej stronie wybrać kolejne filtry i powtórzyć kroki 4-6

LAB_3_5 :
BADANIE WPŁYWU TYPU FILTRU NA JEGO RZĄD, PRZY ZADANYCH
TOLERANCJACH NA CHARAKTERYSTYKĘ AMPLITUDOWĄ

Celem ćwiczenia jest zapoznanie z zależnością między typem filtru a rzędem przy zadanych
zafalowaniach, pasmie przejściowym i tłumieniu w pasmie zaporowym.

1. Uruchomić MATLABA
2. Uruchomić program “filtdemo”, pisząc jego nazwę w oknie MATLABA
3. W górnym menu po prawej stronie wybrać filtr Butterwortha opcją “Butter”
4. Zaobserwować przebieg charakterystyki filtru w zależności od zadanych tolerancji.
5. W polu “Order” odczytać rząd filtru spełniającego zadane wymagania.
6. W polu “Fstop” zmienić częstotliwość z 600 na 550, 800 Hz i odczytać niezbędne rzędy
filtru. Powrócić do ustawienia początkowego.
7. W polu “Rpass” zmienić zafalowania w paśmie przepustowym z 3 dB na 1, i 0.1 dB
i odczytać niezbędne rzędy filtru. Powrócić do ustawienia początkowego.
8. W polu “Rstop” zmienić tłumienie w paśmie zaporowym z 50 dB na 30, i 80 dB i odczytać
niezbędne rzędy filtru. Powrócić do ustawienia początkowego.
9. Powtórzyć kroki 4-8 dla pozostałych typów filtrów.

LAB_3_6 :
BADANIE WPŁYWU FILTRU CYFROWEGO NA SYGNAŁY CYFROWE

Celem ćwiczenia jest zapoznanie z efektem filtracji sygnału za pomocą filtru cyfrowego.

1. Uruchomić MATLABA
2. Uruchomić program “simulink”, pisząc jego nazwę w oknie MATLABA
3. Uruchomić program “extras”, klikając myszą na jego nazwę w oknie SIMULINKA.
4. Uruchomić program “filters”, klikając myszą na jego nazwę w oknie EXTRAS.
5. Uruchomić program “digital lowpass”, zawierający bibliotekę filtrów cyfrowych
dolnoprzepustowych klikając myszą na jego nazwę.
6. Uruchomić program “demo”, klikając myszą na jego nazwę w oknie EXTRFILT
7. Uruchomić symulację wybierając w menu “simulation” opcję “start”
8. Zaobserwować przebieg sygnału szumowego na wejściu i wyjściu filtru oraz jego gęstość
widmową i przesunięcie fazy.
9. Zatrzymać symulację wybierając w menu “simulation” opcję “stop”
10. Zmienić parametry źródła sygnału, klikając myszą na generator. Wybrać przebieg
prostokątny o częstotliwości 62.8 rad/s (10 Hz).
11. Usunąć filtr pasmowoprzepustowy zaznaczając go i naciskając klawisz DELETE
12. Przenieść z biblioteki filtrów dolnoprzepustowych filtr Czebyszewa i umieścić go w
miejsce filtru pasmowego.
13. Usunąć analizator zaznaczając go i naciskając klawisz DELETE