Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
LOGIKA MATEMATYCZNA
Stwierdzenie - dowolne zdanie twierdzące
opisujące właściwości dowolnych,
zdefiniowanych uprzednio, obiektów.
Wniosek: Żadna definicja nie jest stwierdzeniem.
Szczególny przypadek: porównania ilościowe - stwierdzenia
porównujące liczby i zmienne.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Porównania ilościowe i ich implementacje programowe
Porównanie
Objaśnienie
WOLFRAM EXCEL
a jest równe b
a= =b
a=b
a jest różne od b
a!=b
a<>b
a jest większe od b
a>b
a>b
a jest większe
równe b
a>=b
a>=b
a jest mniejsze od
b
a<b
a<b
a jest mniejsze
równe b
a<=b
a<=b
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykłady stwierdzeń i ich implementacje
Pozycja
Stwierdzenie
WOLFRAM EXCEL
a)
3= =4
3=4
b)
x+3!=5
x+3<>5
c)
2+5>4
2+5>4
d)
6>=10
6>=10
e)
{ }
f)
Warszawa jest
stolicą Islandii
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Zdanie - każde stwierdzenie, o którym można
orzec, czy jest prawdziwe, czy też fałszywe.
Uwagi:
Zdaniami mogą być jedynie zdania oznajmujące.
Zdaniami nie są pytania, polecenia, prośby, wyrażenia
ustalające pewne normy, prognozy, definicje.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Wartości logiczne zdań:
PRAWDA (T) - wartość logiczna przypisana zdaniu prawdziwemu
FAŁSZ (F) - wartość logiczna przypisana zdaniu fałszywemu
Implementacja programowa wartości logicznych
Wartość logiczna Logika WOLFRAM
EXCEL
*
PRAWDA
T
True
PRAWDA
FAŁSZ
F
False
FAŁSZ
*
W arkuszu EXCEL wartość logiczną wybranych zdań można ustalić, stosując
podstawienie =P, gdzie symbol P oznacza oceniane zdanie.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykłady stwierdzeń i ich wartości logicznych
Pozycja
Stwierdzenie
Czy to jest
zdanie?
Wartość
logiczna
EXCEL
a)
tak
F
=3=4
b)
nie
=x+3<>5
c)
tak
T
=2+5>4
d)
tak
F
=6>=10
e)
{ }
tak
T
f)
Warszawa jest
stolicą Islandii
tak
F
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
zdania proste -
zdania złożone - przekształcone zdania proste lub zdania
proste połączone za pomocą spójników logicznych
- negacja zdania prostego
(czytamy „nieprawda, że
”)
Negacja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy zdanie proste
jest fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
- alternatywa zdań prostych i (czytamy „ lub ”)
Alternatywa jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy
przynajmniej jedno ze zdań prostych jest prawdziwe.
- koniunkcja zdań prostych i (czytamy „ i ”)
Koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy każde ze
zdań prostych jest prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
- implikacja zdania prostego ze zdania prostego
(czytamy „jeśli
to ”)
Implikacja jest fałszywa jedynie wtedy, kiedy prawdziwe zdanie
proste
implikuje fałszywe zdanie proste .
- równoważność zdań prostych i
(czytamy „
wtedy i tylko wtedy, gdy ”)
Równoważność jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy oba zdania
proste są równocześnie prawdziwe lub równocześnie fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Definicje F-T zdań złożonych
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
T
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Kolejność wykonywania działań logicznych:
1)
wartości logiczne zdań prostych,
2)
działania w nawiasach,
3)
negacje,
4)
alternatywy i koniunkcje jako działania równorzędne,
5)
implikacje,
6)
równoważności.
W przypadku wielokrotnych działań równoważnych wykonuje je się
w kolejności od lewej do prawej. Kolejność ma istotne znaczenie w
przypadku wielokrotnych implikacji.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Uwaga:
W portalu WolframAlpha tylko kolejność negacji, alternatyw i
koniunkcji jest niezawodnie zachowana. W przypadku stosowania
implikacji i równoważności warto oczekiwaną kolejność działań
określić, używając nawiasów.
Przykład
Wartości logiczne poniższych zdań są identyczne.
( ) )) ))
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Implementacja programowa zdań złożonych
Zdanie złożone WOLFRAM
EXCEL
!p
=NIE(P)
p||q
=LUB(P;Q)
p&&q
=ORAZ(P;Q)
p=>q
=LUB(NIE(P);Q)
p<=>q
=(P=Q)
W arkuszu kalkulacyjnym Excel poszczególne symbole oznaczają:
P
– zdanie proste , Q – zdanie proste
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład sprawdzania wartości logicznej równoważności
Równoważność
WOLFRAM
(instrukcja)
EXCEL
(podstawienie)
(3==4)<=>(2+5>4) R=((3=4)=(2+5>4))
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Tautologia (prawo rachunku zdań) - zdanie
złożone, które jest zawsze prawdziwe w sposób
niezależny od wartości logicznej zdań prostych
składających się na to zdanie.
Oznaczenia:
̌ - prawdziwe zdanie proste
̌ - fałszywe zdanie proste
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykłady praw rachunku zdań
Prawo wyłączonego środka:
̌
Nie mogą jednocześnie być prawdziwe zdanie i jego
zaprzeczenie.
Prawo dopełnienia:
̌.
Zawsze jedno z dwóch zdań: zdanie lub jego zaprzeczenie
jest prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawo podwójnego zaprzeczenia:
)
.
Prawa przemienności:
,
.
Prawa łączności:
) ) ,
) ) .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawa rozdzielności:
) ) ),
) ) ).
Prawa tautologii:
,
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawa pochłaniania:
̌ ̌,
̌ .
Prawa konfabulacji:
̌ ,
̌ ̌.
Powyższe tautologie znajdują zastosowanie przy
przekształcaniu złożonych zdań logicznych.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawo eliminacji implikacji:
) ) .
Tautologia ta została już zastosowana do określenia wartości
logicznej implikacji w implementacjach arkusza EXCEL
Zdanie złożone WOLFRAM
EXCEL
p=>q
=LUB(NIE(P);Q)
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Negacja Łukasiewicza:
(
̌).
Tautologia ta służy do zdefiniowania negacji w zbiorze reguł
decyzyjnych, to jest na zbiorze zdań postaci: „Jeśli zachodzi
A to podejmij decyzję B.”
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawo transpozycji:
) ) .
Służy do sformułowania twierdzenia przeciwstawnego do
danego.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawo sprowadzania do sprzeczności (reductio ad
absurdum):
) .
Mówi, że jeśli z rozważanego zdania wynika jego
zaprzeczenie, to jest to zdanie fałszywe.
Tautologia ta uzasadnia w matematyce prowadzenie dowodu
nie wprost.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawo Claviusa:
) .
Tautologia ta informuje, że jeśli rozważane zdanie wynika ze
swego zaprzeczenia, to jest ono prawdziwe.
Prawo Dunsa Szkota:
).
Tautologia ta ostrzega, że jeżeli zdanie jest fałszywe, to
wynika z niego każde inne zdanie.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prawo symplifikacji:
).
Tautologia ta mówi, że zdanie prawdziwe może wynikać z
dowolnego zdania.
Stosowanie się do dwóch ostatnich praw pozwala na unikanie
wypowiadania implikacji niewnoszących nic nowego do
naszej wiedzy.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Do sprawdzenia czy rozpatrywane zdania złożone są prawami rachunku
zdań można zastosować metodę F-T
Przykład. Sprawdzenie, czy pierwsze prawo De Morgana jest tautologią.
) ) )
F F
F
T
T
T
T
T
F T
F
T
T
F
T
T
T F
F
T
F
T
T
T
T T
T
F
F
F
F
T
W ostatniej kolumnie tabeli stwierdzono jedynie wartości T. Oznacza to,
że zdanie złożone jest tautologią.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Implementacja WOLFRAM
W portalu WolframAlpha wyznaczając wartość funkcji:
TautologyQ[p]
można sprawdzić, czy zdanie p jest tautologią. Funkcja ta zwraca
wartość logiczną zdania „Zdanie p jest tautologią.”
Przykład.
Sprawdzamy, czy pierwsze prawo De Morgana jest tautologią.
Stosując portal WolframAlpha, wyznaczamy wartość:
TautologyQ[!(p||q)<=>(!p&&!q)].
Wartość ta jest równa True. Dowodzi to, że pierwsze prawo De Morgana
jest tautologią.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Twierdzenia
Aksjomat - pewne zdanie, o których w matematyce i innych
naukach dedukcyjnych zakłada się, że jest prawdziwe.
Następnie za pomocą dedukcji dowodzi się prawdziwości kolejnych zdań.
Narzędziem tej dedukcji są twierdzenia matematyczne.
Twierdzenie matematyczne - implikacja zawsze
prawdziwa.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Podstawowe przesłanki wnioskowania
dedukcyjnego:
Zdanie
nazywamy warunkiem dostatecznym dla
zdania
wtedy, kiedy implikacja jest
twierdzeniem matematycznym.
Zdanie
nazywamy warunkiem koniecznym dla zdania
wtedy, kiedy implikacja jest twierdzeniem
matematycznym.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Opis twierdzenia matematycznego
Warunek dostateczny
Warunek konieczny
Twierdzenie matematyczne
F
F
T
F
T
T
T
T
T
Z tabeli wynika, że:
- prawdziwość warunku dostatecznego pociąga za sobą prawdziwość dowodzonego zdania,
- fałszywość warunku koniecznego pociąga za sobą fałszywość dowodzonego zdania,
- fałszywość warunku dostatecznego nie rozstrzyga o prawdziwości dowodzonego zdania,
- prawdziwość warunku koniecznego nie rozstrzyga o prawdziwości dowodzonego zdania.
Oznacza to, że dla dedukcji użyteczne są jedynie przypadki prawdziwego warunku
dostatecznego i fałszywego warunku koniecznego.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład.
Zdanie „Liczba
jest podzielna przez 3” jest warunkiem
koniecznym dla zdania „Liczba
jest podzielna przez 6”.
Zdanie „Liczba
jest podzielna przez 9” jest warunkiem
dostatecznym dla zdania „Liczba
jest podzielna przez 3”.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Zdanie pewne (pewnik) - zdanie prawie zawsze prawdziwe
(w naukach empirycznych prawdziwość poszczególnych zdań
prostych określana jest na podstawie obserwacji).
Zdanie niemożliwe - zaprzeczenie zdania pewnego.
Zaprzeczenie zdania niemożliwego jest zdaniem pewnym.
Zdanie pewne w prowadzonej dedukcji traktujemy jako zdanie prawdziwe. W
naukach empirycznych dodatkowym narzędziem stosowanym w dedukcji są
prawa natury.
Prawo natury - implikacja pewna, to jest implikacja prawie
zawsze prawdziwa.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Twierdzenie - implikacja, która jest prawem natury lub
twierdzeniem matematycznym.
Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia
jest
implikacja
.
Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia
jest
implikacja
.
Twierdzenie odwrotne nie zawsze jest twierdzeniem.
Każde twierdzenie przeciwstawne jest twierdzeniem (zgodnie z
prawem transpozycji).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Zdanie „Jeśli osobnik P jest ptakiem, to osobnik P jest pingwinem”
jest twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia
„Jeśli osobnik P
jest pingwinem, to osobnik P jest ptakiem”. Utworzone twierdzenie
odwrotne nie jest jednak twierdzeniem, gdyż na przykład jaskółka
jest ptakiem.
Zdanie „Jeśli osobnik P nie jest ptakiem, to osobnik P nie jest
pingwinem” jest twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia
.
W języku potocznym twierdzenie
wypowiadamy w równoważny
sposób jako zdanie „Każdy pingwin ma skrzydła”.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przesłanką do wyciągnięcia wniosku może być dowolne zdanie
prawdziwe.
Przesłanki wnioskowania można przedstawić jako zbiór zdań
{
}.
Wnioskowanie polega wtedy na logicznie uzasadnionym
przypisaniu pewnemu zbiorowi przesłanek wniosku
uznawanego
następnie za zdanie prawdziwe.
Wnioskowania te są ujęte w ramy określone przez reguły
wnioskowania.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Zdanie „Prawdziwość przesłanek {
}
dowodzi prawdziwości wniosku
” jest regułą
wnioskowania wtedy i tylko wtedy, kiedy
zdanie
) jest tautologią.
Tak zdefiniowaną regułę wnioskowania
opisujemy za pomocą symboli
{
} .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Reguły wnioskowania
Reguła odrywania (modus ponens):
{ ) } .
Reguła podnoszenia (modus tollens):
{ )
}
Sylogizm:
{ ) )} )
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Dowód nie wprost (reductio ad absurdum):
{ )}
Reguła dodawania:
{ }
Reguła specjalizacji:
{ }
Reguła redukcji:
{ ) )} ( ) )
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład.
zdanie
„w Poznaniu padał deszcz”
zdanie
„na poznańskich ulicach pojawiły się kałuże”
Potoczna wiedza: implikacja
(„Jeśli w Poznaniu padał deszcz, to
na poznańskich ulicach są kałuże”) jest twierdzeniem.
Będąc na trzecim piętrze budynku stojącego w Poznaniu,
zaobserwowaliśmy, że pada deszcz. Zdanie
jest więc prawdziwe.
Korzystając z reguły odrywania, wnioskujemy, że zdanie
jest
prawdziwe.
Wystarczy to do wnioskowania, że na ulicach pojawiły się kałuże.
Dla stwierdzenia tego faktu nie musieliśmy wyglądać przez okno na
ulicę.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład.
zdanie
„Osobnik P jest pingwinem”
zdanie
„Osobnik P jest ptakiem”
zdanie
„Osobnik P ma skrzydła”.
Wiedza przyrodnicza: implikacje
i są twierdzeniami.
Stosując sylogizm dochodzimy do wniosku, że również
implikacja
jest twierdzeniem
(„Każdy pingwin ma skrzydła”).
Ostatni pewnik otrzymaliśmy drogą logicznego rozumowania
dwóch poprzednich pewników potwierdzonych empirycznie.
Dzięki temu nie musimy już empirycznie sprawdzać, czy każdy
pingwin ma skrzydła.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Funkcje zdaniowe
Funkcja zdaniowa - stwierdzenie
) zawierające
pewne wolne zmienne zdaniowe
, które
dla ustalonych wartości tych zmiennych staje się zdaniem.
Zbiory
nazywane są zakresami zmienności
zmiennych zdaniowych.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Zdanie logiczne możemy uzyskać z funkcji zdaniowej poprzez
podstawienie za wolne zmienne zdaniowe konkretnych wartości
pochodzących z zakresów zmienności tych zmiennych.
Podstawienia te wiążą poszczególne zmienne zdaniowe.
W szczególnym przypadku zakresy zmienności zmiennych
zdaniowych są zdefiniowane poprzez kontekst wyrażenia
zastosowanego do sformułowania funkcji zdaniowej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Wypowiedź
„Znajomy pan X ma czerwony samochód”
jest funkcją zdaniową
) określoną dla zakresu zmienności
zdefiniowanego domyślnie, jako zbiór znajomych mężczyzn.
Jeśli pomiędzy tymi znajomymi jest pan Abacki, to wyrażenie
)
oznaczające „Pan Abacki ma czerwony samochód”
jest zdaniem logicznym.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Wyrażenie
jest funkcją zdaniową
) określoną dla zakresów
zmienności zdefiniowanych domyślnie w następujący sposób:
i .
Dla
i otrzymujemy zdanie ) oznaczające
. Jest to zdanie prawdziwe.
Dla
i otrzymujemy zdanie ) oznaczające
. Jest to zdanie fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Funkcje zdaniowe mogą być przekształcane lub łączone za
pomocą spójników logicznych.
Jeśli funkcje zdaniowe
) i ) mają wspólne
zakresy zmienności
, to wtedy wyrażenia:
),
) ),
) ),
) ),
) ).
są funkcjami zdaniowymi z identycznym zakresem zmienności.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Wyrażenia
)
oznaczające
,
)
oznaczające
są funkcjami zdaniowymi o zakresie zmienności
.
Wyrażenie
) )
jest funkcją zdaniową o zakresie zmienności
(czytamy
lub
).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Funkcję zdaniową
) gdzie
nazywamy tożsamością, jeśli dla dowolnych ustalonych
wartości
zdanie
)
jest prawdziwe.
Przykład
Funkcja zdaniowa
lub
nie jest tożsamością, gdyż dla
daje zdanie fałszywe.
Funkcja zdaniowa
)
nazywana wzorem skróconego mnożenia jest tożsamością.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Z danej funkcji zdaniowej można otrzymać
zdanie poprzez użycie kwantyfikatorów
określających wzajemne związki pomiędzy
funkcją zdaniową a zakresami zmienności jej
zmiennych zdaniowych.
Mówimy wtedy, że kwantyfikator przypisany
danej zmiennej zdaniowej wiąże tę zmienną
zdaniową.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
- kwantyfikator ogólny (duży, uniwersalny)
czytamy: „dla każdego”
Zapis
)
oznacza, że
,,dla każdego
zdanie ) jest
prawdziwe”.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozważmy funkcję zdaniową
o domyślnym zakresie zmienności
.
Wtedy zdanie:
jest zdaniem fałszywym, gdyż na przykład zdanie
jest zdaniem fałszywym.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
- Kwantyfikator szczegółowy
(mały, egzystencjalny)
czytamy: „istnieje”
Zapis
)
oznacza, że
„istnieje
takie, że zdanie
) jest
prawdziwe”.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozważmy funkcję zdaniową
o domyślnym zakresie zmienności
.
Zdanie:
jest zdaniem prawdziwym, gdyż zdania
i
są prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
- kwantyfikator jednoznaczności
czytamy: „istnieje dokładnie jeden”.
Zapis
)
oznacza, że
„istnieje dokładnie jedno
takie, że
zdanie
) jest prawdziwe”.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Ponownie rozważmy funkcję zdaniową
Zdanie:
jest zdaniem fałszywym, gdyż oba zdania
i
są prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Istotną pomocą przy negowaniu zdań
utworzonych przy użyciu kwantyfikatorów
służą
prawa De Morgana dla kwantyfikatorów:
)
)
)
).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
) .
Ostatnie zdanie jest prawdziwe, bo zdanie
jest
prawdziwe.
Przykład
)
Ostatnie zdanie jest fałszywe, bo na przykład zdanie
jest fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Prowadząc wnioskowanie możemy korzystać z
dodatkowych reguł wnioskowania
określonych dla dowolnej wartości zmiennej
zdaniowej
) ),
)
).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Jeśli wiemy, że pan Abacki jest inteligentny, to dowodzi
istnienia ludzi inteligentnych.
Jeśli wiemy, że wszyscy ludzie są inteligentni, to dowodzi
inteligencji pana Abackiego.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Dowolną funkcję zdaniową
) przekształcamy w zdanie logiczne
wiążąc wszystkie wolne zmienne zdaniowe
.
Każdą ze zmiennych zdaniowych
możemy związać na jeden z dwóch
sposobów:
za zmienną zdaniową
podstawiamy ustaloną wartość
,
wzajemne związki pomiędzy funkcją zdaniową
) a
zakresem zmienności
określamy za pomocą kwantyfikatora ogólnego
lub szczegółowego.
Funkcja zdaniowa, w której została związana jedynie część wolnych
zmiennych zdaniowych, pozostaje nadal funkcją zdaniową.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozważmy funkcję zdaniową:
.
Przyjmijmy podstawienia
i .
Wyrażenie:
jest funkcją zdaniową z wolną zmienną zdaniową
{ }.
Oznacza to, że powyższa funkcja nie jest zdaniem. Jeżeli tę zmienną zwiążemy, to uzyskamy zdanie:
{ }
.
Zdanie to będzie fałszywe (wystarczy rozwiązać odpowiednią nierówność z niewiadomą
i parametrem ).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Zaprzeczymy ostatniemu zdaniu poprzedniego przykładu:
{ }
{ }
{ } (
)
{ }
.
Uzyskane zdanie jest prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Równania i nierówności
Warunek nałożony na niewiadome
- każda złożona funkcja
zdaniowa
) uzyskana przez przekształcenie lub połączenie
prostych funkcji zdaniowych postaci :
) (dowolne równanie z niewiadomymi )
) oraz
) (dowolne nierówności z niewiadomymi ).
W tej sytuacji dowolne równanie lub nierówność jest warunkiem nałożonym
na niewiadome.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Pierwiastek warunku
) - każde zdanie
takie, że zdanie
)
jest prawdziwe.
Każdy pierwiastek warunku nazywany też jest rozwiązaniem
szczegółowym warunku.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Zdanie
jest pierwiastkiem równania:
,
bo zdanie
jest prawdziwe.
Zdanie
jest pierwiastkiem nierówności:
,
bo zdanie
jest prawdziwe.
Zdanie
jest pierwiastkiem równania:
,
bo zdanie
jest prawdziwe. Zdanie nie jest
pierwiastkiem tego równania, bo zdanie
jest fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Rozwiązanie warunku polega na wyznaczeniu wszystkich
pierwiastków tego warunku, to jest na wyznaczeniu
rozwiązania ogólnego tego warunku.
Rozwiązanie ogólne - zbiór wszystkich pierwiastków
warunku.
Przykład
Zdanie
jest jedynym pierwiastkiem równania .
Zatem zbiór {
} jest rozwiązaniem ogólnym tego równania.
Przedział
) jest rozwiązaniem ogólnym nierówności
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Implementacja WOLFRAM
Rozwiązanie ogólne warunku lub przykłady
rozwiązań szczegółowych danego warunku
możemy znaleźć, zapisując w linii poleceń ten
warunek i następnie go zatwierdzając.
Rozwiązanie ogólne często jest przedstawione
w formie graficznej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Metoda przekształceń równoważnych polega na zastępowaniu
warunku
)
przez warunek
)
taki, że równoważność:
) )
jest tożsamością.
Wtedy rozwiązanie ogólne warunku
) jest równe
rozwiązaniu ogólnemu warunku
).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Do obu stron nierówności:
dodajemy
i wykonujemy działania po obu stronach nierówności.
W ten sposób nierówność tę równoważnie przekształcamy do
nierówności:
.
Rozwiązaniem ogólnym każdej z tych nierówności jest przedział
〈 ).
WolframAlpha - zapisanie w linii poleceń warunku: x-2>=4.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykłady przekształceń równoważnych:
obliczanie wartości wyrażeń występujących w warunku,
dodawanie do obu stron warunku tej samej wartości,
mnożenie obu stron warunku przez wartość większą od
zera,
zastąpienie iloczynowej postaci warunku:
) )
przez alternatywę:
) ) .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Metoda analizy starożytnych polega na zastępowaniu warunku
)
przez warunek
)
taki, że implikacja:
) )
jest tożsamością.
Wtedy rozwiązanie ogólne warunku
) zawiera rozwiązanie ogólne
warunku
).
W każdym przypadku konieczne jest sprawdzenie, czy pierwiastki
otrzymanego ostatecznie warunku są pierwiastkami początkowego warunku.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozwiążemy równanie:
√ .
Podnosimy to równanie obustronnie do kwadratu
.
Rozwiązanie ogólne tego równania: {
}.
Zdanie
nie jest pierwiastkiem rozwiązywanego równania.
Zdanie
jest pierwiastkiem rozwiązywanego równania.
Rozwiązaniem ogólnym pierwszego równania jest zbiór {
}.
WolframAlpha: zatwierdzić w linii poleceń warunek:
x=Sqrt[x+6] .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
W szczególnym przypadku mogą istnieć warunki nieposiadające
pierwiastków. Oznacza to, że rozwiązanie ogólne takiego warunku
jest zbiorem pustym.
Jeśli dla dowolnych ustalonych wartości
zdanie
) jest fałszywe, wtedy warunek )
nazywamy warunkiem sprzecznym.
Przykład Równanie:
jest równaniem sprzecznym, gdyż lewa strona tego równania zawsze jest
dodatnia.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Układem warunków:
{
)
)
)
nazywamy koniunkcję:
)
)
).
Implementacja WOLFRAM: Rozwiązanie ogólne warunku lub przykłady
rozwiązań szczegółowych danego układu warunków możemy znaleźć,
zapisując w linii poleceń koniunkcję warunków i następnie zatwierdzając cały
układ. Rozwiązanie ogólne często jest przedstawione w formie graficznej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład Rozwiążmy układ równań:
{
)
)
) )
1. Postaci iloczynowe zastępujemy przez alternatywy.
Otrzymujemy układ warunków:
{
.
2. Rozwiązując występujące w tych warunkach równania liniowe i kwadratowe,
dostajemy układ warunków:
{
.
3. Ten układ warunków zastępujemy koniunkcją:
) )
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
4. Otrzymany warunek rozwiązujemy:
) )
) ) )
) ) )
) ) )
) )
) ) ) .
5. Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie ogólne rozwiązywanego układu równań:
) ) ) )
)
Identyczne rozwiązanie otrzymamy, zapisując w linii poleceń WolframAlpha:
(x-1)*(y^2-5*y+6)=0&&(x^2-9*x+20)*(y-6)=0.