Mechanika analityczna
Kolokwium 1
27 marca 2015 r.
1. Sformułuj następujące zagadnienie wariacyjne. Dana jest jednorodna lina o długości
` i masie m. Lina ta może być rozpięta między punktami A i B jak na rysunku,
przy czym odległość AB < `. Wyznaczyć równanie ekstremali zagadnienia pole-
gającego na minimalizacji momentu bezwładności liny względem osi x. Nazwij typ
zagadnienia.
2. Napisać równanie Eulera-Lagrange’a dla funkcjonału w postaci:
I [z(x, y)] =
Z Z
D
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
!
2
− 2(1 − µ)
∂
2
z
∂x
2
∂
2
z
∂y
2
−
∂
2
z
∂x∂y
!
2
dD
gdzie µ jest parametrem, zaś D jest pewnym obszarem stałym.
3. Wyznaczyć ekstremale funkcjonału:
I [y(x), z(x)] =
π
2
Z
0
2yz + (y
0
)
2
(z
0
)
2
dx
spełniające warunki brzegowe:
(
y(0) = −1
z(0) = 1
y
π
2
=
π
2
4
− 1
z
π
2
=
π
2
4
+ 1
oraz warunek dodatkowy:
y
0
+ z
0
= 4x.