Automatyka i Robotyka
Przykładowe zadania
1. Dane jest równanie stanu układu sterowania
1
1
2
2
1
5
4
x
y
x
x
u
x
x
⋅
=
⋅
=
+
=
&
&
Określić odpowiedź układu sterowania na impuls Dirac’a.
Odp.:
)
(
5
,
2
)
(
2
2
t
t
e
e
t
y
+
−
+
⋅
=
Time (sec.)
A
m
pl
itud
e
Impulse Response
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
2. Dla układu sterowania o transmitancji:
1
2
3
)
(
+
⋅
⋅
=
s
s
s
G
a) podać równanie różniczkowe układu,
b) określić odpowiedź układu na skok jednostkowy,
c) naszkicować charakterystyki A-F Nyquist’a oraz logarytmiczne charakterystyki
Bodego układu,
d) określić pasmo przenoszenia.
Odp.:
a)
)
(
3
)
(
)
(
2
t
u
t
x
t
x
&
&
⋅
=
+
⋅
b)
t
e
t
x
5
,
0
5
,
1
)
(
−
⋅
=
Time (sec.)
A
m
pl
itude
Step Response
0
2
4
6
8
10
12
0
0.5
1
1.5
c)
Real Axis
Im
agi
na
ry
A
xi
s
Nyquist Diagrams
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequency (rad/sec)
P
has
e (
deg)
; M
agn
itude (
dB
)
Bode Diagrams
-40
-20
0
20
10
-2
10
-1
10
0
10
1
0
50
100
d)
rad/s.
3. Dane jest równanie różniczkowe układu sterowania:
)
(
)
(
)
(
2
)
(
3
)
(
4
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
&
&&
&&
&
a)
przedstawić model matematyczny układu sterowania w przestrzeni stanu,
b)
podać macierz dynamiki stanu, macierz sterowania oraz macierz tranzycyjną układu,
c)
przedstawić schemat blokowy układu sterowania odpowiadający jego modelowi w
przestrzeni stanu,
Odp.:
a)
(
)
1
3
2
1
3
3
2
2
1
3
2
25
,
0
x
y
u
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
=
=
=
&
&
&
b)
[
]
]
0
[
;
0
0
1
;
25
,
0
0
0
;
75
,
0
1
0
5
,
0
0
1
25
,
0
0
0
=
=
=
−
−
−
=
D
C
B
A
c)
∫
∫
∫
2
3
+
+
+
_
4
1
u
+
x
4. Wyznaczyć odpowiedź następującego układu sterowania na impuls Dirac’a.
1
0,01
1
100
s
s
s
G
⋅
+
=
2
,
0
1
)
(
1
0,2
+
_
+
+
u
z
x
Odp.:
0
;
)
2
3
sin
3
,
0
2
3
(cos
1
)
(
5
,
0
≥
⋅
+
−
=
−
t
t
t
e
t
x
t
Time (sec.)
Amp
lit
ud
e
Impulse Response
0
5
10
15
20
25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
5. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu przedstawionego schematem blokowym:
G
1
G
2
+
+
+
_
_
u
x
Odp.:
2
1
2
1
2
1
)
1
(
G
G
G
G
G
G
Z
⋅
+
+
+
⋅
=
6. Narysować równoważne układy mechaniczny i elektryczny dla hydraulicznego układu
przedstawionego na rysunku.
A
1
h
1
h
2
A
2
R
2
R
1
q
1
q
2
q
3
u
2
C
1
C
2
i
C
1
R
2
R
1
i
2
i
C
2
i
1
u
K
1
K
2
Z
1
Z
2
x
K1
x
1
x
K2
x
2
f
7. Wyprowadzić zlinearyzowany model matematyczny zbiornika gazu przedstawionego na
rysunku. Sygnałami wejściowymi są A
1
(t) i A
2
(t), wyjściowy to ciśnienie w zbiorniku p(t).
Przyjąć, że proces zmiany ciśnienia w zbiorniku odbędzie się w stałej temperaturze
(przemiana izotermiczna).
A
1
(t)
A
2
(t)
p (t)
q
1
(t)
q
2
(t)
p
2
=p
atm .
p
z
=const.
odp.:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
t
A
C
t
A
C
t
p
t
p
T
∆
⋅
+
∆
⋅
=
∆
+
∆
⋅ &
gdzie:
RT
V
T
ρ
=
,
)
(
2
0
2
2
0
1
0
1
2
2
0
1
A
A
A
q
C
+
⋅
⋅
⋅
=
α
ρ
oraz
)
(
2
0
2
2
0
1
0
2
2
2
0
1
A
A
A
q
C
+
⋅
⋅
⋅
=
α
ρ
T: temperatura,
ρ
: gęstość, gęstość, R: stała gazowa, q: natężenie przepływu/odpływu,
indeks dolny 0: punkt nominalny (stan ustalony).