Zestaw II
W zadaniach 1–5 należy rozwiązać podane układy równań w zależności od wartości
parametru m.
(1)
(
x
+2y
+z
=
3
2x
+my
+z
=
3
2x
+y
+mz
=
3
(2)
x
−2y
+z
−2w
=
2
2x
+y
−2z
−w
=
4
mx
+my
−5w
=
0
−y
+z
+2w
=
1
(3)
x
+y
+z
+w
=
0
x
−y
+z
−w
=
0
x
+2y
+4z
+8w
=
0
mx
−2y
+4z
−8w
=
1
(4)
(
mx
+y
+z
=
3
x
+my
+z
=
3
x
+y
+mz
=
3
(5)
y
+2z
−2w
=
0
mx
−z
+w
=
1
mx
+y
−w
=
1
mx
−y
+3z
=
1
W zadaniach 6–9 należy sprawdzić, czy podane wektory są liniowo niezależne; i jeśli
nie są, podać stosowny niezerowy układ skalarów, dla którego kombinacja liniowa jest
równa zero.
(6) u = (2, 1, 2, 1), v = (1, 2, 1, 2), w = (0, 3, 0, −3).
(7) u = (3, 1, 2, 1), v = (−3, 3, −2, 7), w = (0, 1, 0, 2).
(8) u = (1, 2, 3, 4), v = (2, 3, 4, 1), w = (3, 4, 1, 2).
(9) u = (1, −1, 1, −1, 1), v = (1, 1, −1, 1, −1), w = (1, 1, 1, −1, 1), z = (1, 1, 1, 1, −1).
(10*) Niech n > 2, a
1
, . . . , a
n
∈ (0, +∞) i p
1
, . . . , p
n
∈ R oraz niech
b
j
= (a
p
j
1
, . . . , a
p
j
n
)
(j = 1, . . . , n).
Wykazać, że wektory b
1
, . . . , b
n
są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
liczby a
1
, . . . , a
n
są różne między sobą i podobnie p
1
, . . . , p
n
są różne między sobą.
W zadaniach 11–14 spośród poniższych układów wektórów należy wybrać maksymalne
układy wektorów liniowo niezależnych.
(11) a = (1, 1, 1, 1), b = (5, 8, 11, 14) oraz c = (1, 2, 3, 4).
(12) a = (1, 2, 4, 8), b = (0, 1, 2, 3), c = (2, 1, 7, 15) oraz d = (1, 3, 1, 3).
(13) a = (0, 1, 2, 3, 4), b = (1, 2, 3, 4, 0), c = (2, 3, 4, 0, 1), d = (3, 4, 0, 1, 2) oraz e =
(4, 0, 1, 2, 3)
.
(14*) a
j
= (j, j
2
, j
3
, . . . , j
2012
)
dla j = −2011, . . . , −1, 0, 1, . . . , 2011.
