Strona 1 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
Instrukcja do Laboratorium 1
W zadaniu 1 (rys. 1) należy wyznaczyć przemieszczenie pręta.
Rys. 1
Dane do zadania:
p =1000 [N] – siła ,
E =2*10e11 [Pa] – moduł Younga,
L =2 [m] - długość pręta,
ro =7850 [kg/m3] – gęstość materiału,
A =0.003 [m2] – przekrój poprzeczny elementu.
Rozwiązanie:
Zadanie zostanie rozwiązane przy wykorzystaniu elementu skończonego typu pręt o liniowej
funkcji kształtu.
Kod Programu (Matlab)
Interpretacja Graficzna
p = -1000; % minus bo skierowana w lewo
E = 2e11; % czyli 2 * 10^11
L = 2; % długość pręta
ro= 7850; % gęstość – do macierzy mas
A = 0.003; % pole przekroju
1. Wprowadzenie danych materiałowych oraz
wymiarów.
PORADA:
1.komentarze w Matlabie – po znaku %.
2. Wyłączenie linii kodu %{
%}
k = [1 -1; -1 1] ;
k12 = ((E*A)/L)*k;
% macierz sztywności
2. Budowa macierzy sztywności dla elementu
prętowego w lokalnym układzie współrzędnych
[ ]
2
U
1
U
L
A
E
=
k
1
1
1
1
2
U
1
U
12
−
−
⋅
k12(1,1)=1; k12(1,2)=0;
k12(2,1)=0;
albo:
k12 = [ 1 0 ;
0 k12(2,2) ]; % wizualnie
% atrakcyjne
3. Odebranie stopni swobody (brak
przemieszczeni na kierunku U w węźle 1)
[ ]
2
U
1
U
L
A
E
=
k
1
0
0
1
2
U
1
U
12
⋅
umes = inv(k12) * [0;p]
3. Wyznaczenie przemieszczeń węzłowych
[ ] [ ]
{ }
P
k
=
u
⋅
−
1
12
u = (L/(A*E))*p
4. Rozwiązanie analityczne
Strona 2 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
W zadaniu 2 (rys. 2) należy wyznaczyć przemieszczenia w węzłach.
Dane do zadania:
p=1000 [N] – siła ,
E=2e11 [Pa] – moduł Younga,
L=2 [m] - długość pręta,
ro=7850 [kg/m3] – gęstość materiału,
A=0.003 [m2] – przekrój poprzeczny elementu.
Rys.2. Przykład 2.
Rozwiązanie:
Zadanie zostanie rozwiązane przy wykorzystaniu elementu skończonego typu pręt o liniowej
funkcji kształtu.
Programy pomocnicze do obliczenia sin – ów i cos – ów :
1.
policz_cosinusa.m
function cosinus = policz_cosinusa(x1,x2,y1,y2)
cosinus = (x2-x1) / sqrt( (x2 - x1)^2 + (y2 – y1)^2 );
2.
policz_sinusa.m
function sinus = policz_sinusa(x1,x2,y1,y2)
sinus = (y2-y1)/ sqrt( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 );
Kod Programu (Matlab)
Interpretacja Graficzna
p = -1e3;
% czyli p w dół, wartość 1000 [N]
E = 2e11;
% moduł Younga
L = 2;
% długość pręta
ro = 7850;
% gęstość – do macierzy mas
A = 0.003;
% pole przekroju
1. Wprowadzenie danych materiałowych oraz
wymiarów.
% współrzędne punktów
% 1 2 3
x = [ 0, 0.5*L , L ];
y = [ 0, (sqrt(3)/2)*L , 0 ];
2. Budowa geometrii kratownicy (wprowadzenie
współrzędnych)
Strona 3 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
K=[ 1 0 -1 0;
% „forma podstawowa”
0 0 0 0;
-1 0 1 0;
0 0 0 0 ];
%4x4 bo ruch na u i v
k12=((E*A)/L)*k;
% element 1-2
k23=((E*A)/L)*k;
% element 2-3
3. Zdefiniowanie macierzy sztywności dla
elementu prętowego w jego lokalnym układzie
współrzędnych
[ ]
−
−
⋅
=
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
L
A
E
k
c12 = policz_cosinusa(x(1),x(2),y(1),y(2))
s12 = policz_sinusa(x(1),x(2),y(1),y(2))
c23 = policz_cosinusa(x(2),x(3),y(2),y(3))
s23 = policz_sinusa(x(2),x(3),y(2),y(3))
DC12=[ c12 s12 0 0 ;
-s12 c12 0 0 ;
0 0 c12 s12 ;
0 0 -s12 c12 ];
% kopiuj -> [ctrl]+[h] = zamień 12 na 23
DC23=[ c23 s23 0 0 ;
-s23 c23 0 0 ;
0 0 c23 s23 ;
0 0 -s23 c23 ];
ko12 = DC12' * k12 * DC12; % ukł.globalny
ko23 = DC23' * k23 * DC23; % ukł.globalny
4. Transformacja z lokalnego układu
współrzędnych do układu globalnego
2
23
2
23
1
12
1
12
sin
cos
sin
cos
β
β
β
β
=
=
=
=
s
c
s
c
[DC]=
−
−
c
s
0
0
s
c
0
0
0
0
c
s
0
0
s
c
[ ]
[ ] [ ] [ ]
DC
k
DC
=
k
o
⋅
⋅
T
K = zeros(6);
gdzie = [1 2 3 4];
% gdzie się odwołać?
K(gdzie,gdzie) = K(gdzie,gdzie) + ko12;
gdzie = [3 4 5 6];
% gdzie się odwołać?
K(gdzie,gdzie) = K(gdzie,gdzie) + ko12;
5. Budowa globalnej macierzy sztywności
(agregacja macierzy)
[ ]
[ ]
3
3
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
12
0
23
0
12
0
12
0
12
0
23
0
23
0
23
0
12
0
23
0
12
0
12
0
12
0
12
0
12
0
12
0
12
3
3
2
0
12
2
0
12
1
0
12
1
0
12
V
U
V
U
V
U
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
=
k
=
K
V
U
V
U
V
U
o
g
+
+
+
+
K(:,[1 2 5 6]) = 0; % dowolny wiersz, […] kolumny
K([1 2 5 6],:) = 0; % wiersze [...] , dowolne kol.
K(1,1) = 1;
K(2,2) = 1;
K(5,5) = 1;
K(6,6) = 1;
K
% wyświetl i sprawdź
6. Odebranie stopni swobody
[ ]
[ ]
3
V
3
U
2
V
2
U
1
V
1
U
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
k
k
k
k
0
0
0
0
k
k
k
k
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
=
k
=
K
0
23
0
12
0
23
0
12
0
23
0
12
0
23
0
12
3
V
3
U
2
V
2
U
1
V
1
U
o
g
+
+
+
+
=
Strona 4 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
% to samo tylko w pętli:
%
odebranie_stopni_swobody = [1 2 5 6];
for i=1:1:length(odebranie_stopni_swobody)
gdzie = odebranie_stopni_swobody(i);
K(:,gdzie) = 0;
K(gdzie,:) = 0;
K(gdzie,gdzie) = 1;
end
umes=inv(K)*[0;0;0;p;0;0]
% przemieszczenia
7. Wyznaczenie przemieszczeń węzłowych
[ ] [ ]
}
{
1
P
k
u
⋅
=
−
Zadanie 3 (rys.3) do samodzielnego rozwiązania.
Wyznacz przemieszczenia poszczególnych węzłów przyjmując element skończony jako element
prętowy.
Dane do zadania:
p=3 [kN] – siła ,
E=2e11 [Pa] – moduł Younga,
L=2 [m] - długość pręta,
ro=7850 [kg/m3] – gęstość materiału,
A=0.003 [m2] – przekrój poprzeczny elementu.
Zadanie 3* - do samodzielnego rozwiązania
Wyznacz przemieszczenia poszczególnych węzłów przyjmując element skończony jako element
prętowy.
Dane do zadania:
P=3 [kN] – siła ,
α = π/6,
E=2e11 [Pa] – moduł Younga,
L=2 [m] - długość pręta,
ro=7850 [kg/m
3
] – gęstość,
A=0.003 [m
2
] – pole przekroju
poprzecznego
elementu.
Strona 5 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
3* - rozwiązanie:
Przemieszczenia na x:
1.0e-004 *
0
0.0289
0
0.0722
0.1299
Przemieszczenia na y:
1.0e-005 *
0
-0.6667
0
-0.2500
-0.7500
Zadanie 3*
* - do samodzielnego rozwiązania
Wyznacz przemieszczenia poszczególnych węzłów przyjmując element skończony jako element
prętowy.
Dane do zadania:
P=3 [kN] – siła ,
E=2e11 [Pa] – moduł Younga,
L=2 [m] - długość pręta,
ro=7850 [kg/m
3
] – gęstość,
A=0.003 [m
2
] – pole przekroju
poprzecznego
elementu.
3** - rozwiązanie:
Przemieszczenia na x:
1.0e-004 *
0
-0.0289
0.0000
0.0289
0
-0.1155
-0.0577
0.0577
0.1155
Przemieszczenia na y:
1.0e-004 *
0
-0.2833
-0.5000
-0.2833
0
-0.1333
-0.4000
-0.4000
-0.1333
u1
v1
u2
v2
u3
v3
Strona 6 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
u1 v1
u2
v2
u3
v3
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
1
u1
2
v1
3
u2
4
v2
5
u3
6
v3
7
u4
8
v4
9
u5
10
v5
11
u6
12
v6
13
u7
14
v7
15
u8
16
v8
17
u9
18
v9
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
u5
v5
u6
v6
u7
v7
u8
v8
u9
v9