Układy współrzędnych
Zadanie 1.1
Dany jest punkt we współrzędnych kartezjańskich P(1, 1, √2).
a) Naszkicuj rzut perspektywiczny, zaznaczając położenie punktu P.
b) Znajdź współrzędne cylindryczne (ρ
0
, φ
0
, z
0
) oraz sferyczne (r
0
, θ
0
, φ
0
) punktu P.
Zadanie 1.2
Dany jest punkt we współrzędnuch cylindrycznych P(1, 0.5π, 1). Znajdź współrzędne kartezjańskie oraz
sferyczne tego punktu.
Zadanie 1.3
Oblicz iloczyn skalarny wersorów:
a)
x
ρ
i i
⋅
b)
z
θ
i i
⋅
c)
ρ
r
i i
⋅
w punkcie o współrzędnych kartezjańskich (1,1,1).
Analiza wektorowa
Zadanie 1.4
Dana jest funkcja skalarna
(
)
z
y
x
z
y
x
f
+
+
=
,
,
oraz pole wektorowe
(
)
x
y
z
F
x
y i
y i
z i
=
+
+
+
.
Obliczyć:
a)
f
∇
b)
F
∇
c)
F
×
∇
d)
f
2
∇
e)
F
2
∇
f)
(
)
F
f
∇
g)
( )
2
f
∇
h)
(
)
2
e
x
f
∇
Zadanie 1.5
Znajdź kierunek najszybszego wzrostu pola skalarnego
2
2
2
z
y
x
U
+
+
=
. Wykonaj obliczenia dla
punktu P
0
(4, 3, 0).
Zadanie 1.6
Obszar pewnego pokoju opisany jest we współrzędnych kartezjańskich. W punkcie P
0
(20 m, 15 m, 2 m)
zmierzono temperaturę T(P
0
) = 312 K oraz jej gradient
( )
(
)
0
K
P
m
x
z
T
i
i
∇
=
+
. Znajdź przybliżoną
wartość temperatury w punkcie P
1
(21 m, 14 m, 3 m).
Zadanie 1.7
Oblicz strumień wektora położenia
r
przez sferę o promieniu r
0
=5.
Zadanie 1.8
Oblicz strumień wektora położenia
r
przez powierzchnię sześcianu o boku a = 5. Trzy krawędzie
sześcianu leżą na dodatnich półosiach układu współrzędnych 0xyz.
Zadanie 1.9
Oblicz cyrkulację wektora
(
)
2
x
A
y i
=
+
po ścieżce wyznaczonej przez krawędzie kwadratu l x l,
którego dwie krawędzie leżą na osiach Ox oraz Oy. Wybierz prawoskrętną cyrkulację wokół osi Oz.
Zadanie 1.10
Oblicz strumień wektora
(
)
2
3
5
3
x
y
z
A
x i
x i
y
i
=
+
+
+
przez powierzchnię kuli o promieniu a i środku
w początku układu współrzędnych 0xyz.
Parametry ośrodków
Zadanie 1.11
Wyznacz kąt pomiędzy wektorami
E
i
D
w ośrodku o danym tensorze przenikalności elektrycznej:
0
1
0
0
0
1
0
0
0
4
ε
ε
=
Oblicz maksymalny kąt pomiędzy tymi wektorami, jeśli:
a)
x
x
z
z
E
E i
E i
=
+
b)
y
y
E
E i
=
Zinterpretuj otrzymane wyniki.
Zadanie 1.12
W pewnym punkcie w półprzewodniku znana jest amplituda zespolona wektora natężenia pola
elektrycznego:
V
2
m
z
E
i
=
. Półprzewodnik ten jest materiałem anizotropowym o przenikalności
elektrycznej danej następującym tensorem:
0
2
0
3j
0
1
0
3j 0
2
ε
ε
=
−
.
Znajdź wektor indukcji elektrycznej
D
E
ε
=
.
Wyznacz chwilową wartość natężenia pola elektrycznego oraz indukcji elektrycznej w chwilach:
a)
ω
t
1
=
π/6
b)
ω
t
2
= 3
π/2
Zadanie 1.13
W półprzewodniku o parametrach z poprzedniego zadania znana jest amplituda zespolona wektora
indukcji elektrycznej:
9
C
2 10
m
z
D
i
−
= ⋅
. Znajdź wektor natężenia pola elektrycznego.
Zadanie 1.14
W pewnym punkcie w namagnesowanym ferrycie o właściwościach opisanych tensorem Poldera:
0
0
0
0
1
j
0
j
1
b
a
a
µ
µ
µ
µ
µ
=
−
dana jest amplituda zespolona natężenia pola magnetycznego:
j
x
y
H
i
i
=
+
. Znajdź wektor indukcji
magnetycznej
B
w ferrycie. Wyznacz kąt pomiędzy wektorami
B
i
H
.
Warunki istnienia pól elektromagnetycznych
Zadanie 1.15
Sprawdź, czy wyrażenie
(
)
0
sin
cos
ρ
φ
E
E
ωt
βρ i
ρ
=
−
może opisywać natężenia pola elektrycznego w
próżni.
Zadanie 1.16
Sprawdź, czy następujące wyrażenie może stanowić opis pola indukcji pola magnetycznego w pewnym
ośrodku nieograniczonym i bez źródeł:
(
)
0
cos
z
B
B y
ωt
βz i
=
−
.
Zadanie 1.17
Sprawdź, czy w próżni może istnieć pole elektromagnetyczne, którego wektor natężenia pola
elektrycznego opisany jest wyrażeniem:
sin(
)
x
E
A
z
t i
β
ω
=
−
. Jeśli tak, to pod jakim warunkiem?
Zadanie 1.18
Dany jest wektor natężenia pola magnetycznego
sin
sin
y
H
A
ax
ωt i
=
. Jaka musi być wartość
parametru a, przy której pole to może istnieć w ośrodku o parametrach
, ,
0
µ ε σ
=
? Znajdź wyrażenie
opisujące wektor natężenia pola elektrycznego.
Zadanie 1.19
Oblicz względną przenikalność elektryczną ε
r
bezstratnego dielektryka, w którym natężenia pola
elektrycznego opisane jest wyrażeniem
(
)
6
V
1000 sin 10
0 01
m
.
x
E
t
z i
=
−
. Oblicz natężenie pola
magnetycznego.
Zadanie 1.20
Czy amplituda zespolona pola elektrycznego wypromieniowanego przez pewną antenę w próżni może
być opisana wyrażeniem
j
0
sin
e
βr
θ
θ
E
E
i
r
−
=
? Jeśli tak, to oblicz wartość parametru β dla częstotliwości
10 GHz. Uwaga: przeprowadź obliczenia dokładne oraz przybliżone z pominięciem wyrazów o wyższych
potęgach r w mianowniku.
Zadanie 1.21
Dane jest natężenie pola elektrycznego w próżni
(
)
2
V
e
m
x vt
y
E
i
−
−
=
. Oblicz wartość parametru v oraz
znajdź wyrażenie opisujące natężenie pola magnetycznego.
Własności pól elektromagnetycznych
Zadanie 1.22
W materiale o parametrach
1
1,
1,
0 05
m
.
r
r
µ
ε
σ
=
=
=
Ω
prąd przesunięcia opisany jest wyrażeniem
(
)
2
2
A
2 10 cos
m
d
x
J
ωt
βz i
−
= ⋅
−
, natomiast prąd przewodzenia
(
)
2
2
A
10 sin
m
σ
x
J
ωt
βz i
−
=
−
.
Znajdź natężenie pola elektrycznego i magnetycznego oraz częstotliwość. Przyjmij
β
ω µε
=
.
Zadanie 1.23
W dielektryku niejednorodnym o przenikalności elektrycznej
(
)
0
sin
cos
ε
ε
x
y
=
+
istnieje statyczne
pole elektryczne o natężeniu
(
)
0
cos
sin
x
y
E
E i
x
i
y
=
+
. Znajdź rozkład ładunków objętościowych
ρ
v
(x,y).
Zadanie 1.24
Względna przenikalność magnetyczna jednorodnego, bezstratnego ośrodka dana jest tensorem
diagonalnym µ
x
= 1, µ
y
= 4, µ
z
= 1. Czy w tym ośrodku można wzbudzić statyczne pole indukcji
magnetycznej dane wzorem:
(
)
x
i
y
i
B
r
t
B
y
x
sin
sin
)
,
(
0
+
=
[T]? Jeśli tak, to:
•
jakie źródła są potrzebne to wygenerowania takiego pola?
•
jaki jest kąt między polem indukcji magnetycznej a polem natężenia pola magnetycznego?
Odpowiedzi należy uzasadnić korzystając z właściwych równań Maxwella.