plik

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

Wykłady 1-2a. Macierze i wektory

I. Macierz. Działania na macierzach

Definicja. Macierz o wymiarach m , gdzie m oraz n są ustalonymi
liczbami rzeczywistymi, to prostokątna tablica liczb złożona z m
wierszy i n kolumn.

1. Przykłady macierzy

Macierz zerowa dowolnych wymiarów zawsze jest oznaczana przez
zero, np.

Z kontekstu będzie wynikało czy chodzi o liczbę zero, czy też macierz
zerową.

W wykładzie liczbę rzeczywistą będziemy nazywali także skalarem.

(i) Ogólny zapis macierzy o wymiarach , m wierszy i n kolumn

Inny zapis macierzy A:
A =

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Liczby

; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n nazywają się elementami (wyrazami)

macierzy A.

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

Przykład.

, a

=5, a

= 2,5.

2.  Operacje na macierzach

Zbiór wszystkich macierzy o wymiarach       oznaczamy  przez
M(m,n).

Zauważmy, że

M(2,3)

(i) Dodawanie . Dodawad możemy tylko takie macierze, które mają
ten sam wymiar (obie należą do tego samego zbioru M(m,n)).

Niech A M(m,n), B M(m,n).

Definicja. Sumą A+B nazywamy taką macierz S M(m,n), że

Zauważmy, że dodawanie macierzy podlega prawu przemienności i
łączności. (Wynika to z faktu że dodawanie odpowiadających sobie
elementów macierzy jest dodawaniem liczb). Mamy więc

A+B=B+A

(A+B)+C = A+(B+C)

Przykład:

(ii) Mnożenie macierzy przez skalar
Niech A  M(m,n),      (R-zbiór liczb rzeczywistych)

Definicja. Iloczynem  A przez liczbę    (zapis      nazywamy macierz
C  M(m,n) o elementach

, i = 1,2, ; j =1,2, .

Przykład: 2

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

Zauważmy, że z definicji wynikają już następujące własności

(iii) Iloczyn macierzy.
Iloczyn macierzy A i B ma sens jeśli A ma tyle samo kolumn co B
wierszy. Zatem niech A M(m,r), B M(r,n).

Definicja. Iloczynem AB macierzy A przez macierz B nazywamy taką
macierz C=

M(m,n), że

dla i=1,2,…,m, j=1,2,…,n;

w innym zapisie:

Przykład A B=



Zauważmy, że 15,5=

          0,5=
            6 = 3
          11 = 3



Aby otrzymad wyraz macierzy iloczynu  o wskaźniku ij należy
elementy i-tego wiersza macierzy A pomnożyd  przez
odpowiednie elementy j-tej kolumny  macierz B i dodad
otrzymane iloczyny.



Iloczyn dziedziczy po macierzy A liczbę wierszy, po macierzy B
liczbę kolumn.



Mnożenie przez macierz zerową zawsze daje macierz zerową.

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

Mnożenie macierzy ma następujące własności:
(AB)C =A(BC)
(A+B)C =AC+BC

A(B+C) =AB+AC

Uwaga . Mnożenie macierzy nie musi być przemienne, to znaczy, że
na ogół nie zachodzi równośd: AB=BA.

(Iv) Transpozycja
  Niech A    M(m,n),  Macierzą transponowaną macierzy A jest
nazywamy  macierz A

M(n,m), o elementach

, j=1,2,…,n,

i=1,2,…,m
Mówiąc krótko: j-ta kolumna macierzy A staje się i-tym wierszem
macierzy A

Przykład : weźmy

, zatem A

Własności transpozycji

)

= A

(A+B)

= A

(

(AB)

= B

(V) Macierz jednostkowa
Niech A M(n,n). Mówimy, że kwadratowa macierz A jest
macierzą jednostkową jeśli elementy na przekątnej

natomiast pozostałe elementy

dla i .

Przykłady

W dalszych rozważaniach macierz

jednostkową będziemy oznaczali przez „I”

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

Zauważmy, że

(VI) Iloczyn macierz przez macierz jednostkową „I”

Dla dowolnej macierzy B, mamy B I=B, I B=B, o ile odpowiednie
mnożenia są wykonalne.

(VII). Bardzo ważne pojecie, tzw. macierzy odwrotnej, wprowadzimy
w późniejszych wykładach.

II Wektory

1.Definicja i uwagi wstępne
Definicja. Macierz należąca do M(n,1)

nazywa się n wymiarowym wektorem kolumnowym.

Macierz należąca do M(1,n) nazywa się  n wymiarowym wektorem
wierszowy

         x

W obecnych rozważaniach ograniczamy się do wektorów
kolumnowych nazywając je (prosto) wektorami.

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

Zauważmy, że wektor możemy utożsamiad z ciągiem n liczb. Dlatego
też zbiór wszystkich wektorów n- wymiarowych będziemy oznaczad
przez R



Na wektory można popatrzed w dwojaki sposób: a) jako
specyfikacja położenia punktu w przestrzeni R

, b) jako

specyfikacja przesuwania punktu z R

do innego punktu z R

2.Wektory w R

Rys. 1 Interpretacja wektora w R

                                                                                                         X


0=(0,0)            x

a) specyfikacja położenia,                                     b) specyfikacja przesuwania(tzw.
                                                                              wektor swobodny zaznaczony strzałką.
                                                                              Współrzędne  wektora wyznaczają
                                                                              jednoznacznie długośd strzałki, kierunek i zwrot)

2.1 Działania na wektorach w

(Przypominamy działania na

jednokolumnowych macierzach).

Niech x

, y

(i) Iloczyn wektora przez liczbę

(ii) Suma wektorów x+y

Rys. 2 Interpretacja geometryczna wyników działao

                                                   y

                                                      x    x+y      y

0 0 b)

Wynikiem dodawania

a) Mnożenie wektora x przez i (-

). x+y jest wektor będący

                                                                                        przekątną  równoległoboku

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

x-y

y
x-y

      Rys. 3  Wynik odejmowania x-y, to taki wektor, że y+(x-y)=x


2.2  Równanie parametryczne prostej na płaszczyźnie

Jeśli a=

potraktujemy jako punkt na płaszczyźnie, natomiast

jako wektor, to dla wyrażenie a + tv =

można potraktować jako punkt otrzymany przez przesuniecie punktu
a o wektor tv.

Rys.4. Dla różnych t

otrzymamy różne punkty leżące na prostej

przechodzącej przez punkt a i równoległej do wektora v. Por.Rys.2a


       x

          a

         v
      0                                        x

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

2.3. Przedstawienie parametryczne prostej przechodzącej
przez dwa punkty

Niech a=

i b=

będą dwoma różnymi punktami w

. Prosta

przechodząca przez te punkty ma kierunek wyznaczony przez wektor
b-a, por. Rys.3. Zatem jej przedstawienie parametryczne to

a+t (b-a) =

t .

2.4 Przedstawienie parametryczne odcinka

Jeżeli zakres parametru t ograniczymy do przedziału [0,1] , to
odpowiadająca temu część prostej jest odcinkiem [a,b]. Zatem

[a,b]={(1-t)a + t b: t

Przejście  od parametrycznego zapisu prostej do zapisu w formie
równania ( i odwrotnie)  pozostawiamy jako ćwiczenie.

3.    Wektory w

Niech z =

, v

, .



Podobnie jak w

, można myśleć o wektorach w

jako o

specyfikacji położenia lub specyfikacji przesunięcia.



Operacje mnożenia przez skalar i dodawania wektorów są
naturalnym uogólnieniem operacji na wektorach z

Mamy:

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

(i) iloczyn wektora z R

przez liczbę jest następującym wektorem w

(ii) Suma wektorów z

jest następującym wektorem w

z+v

3.1. Przedstawienie parametryczne prostej i odcinka w R

Łatwo widać, że przedstawione własności wektorów w R

przenoszą

się także na przestrzenie wyższych wymiarów.



Przedstawienie parametryczne prostej o kierunku wektora

przechodzącej przez punkt a

, to zbiór punktów

postaci: a+tv=

, t .



Przedstawienie parametryczne prostej przechodzącej przez dwa

różne punkty a

i b

, to zbiór punktów postaci:

a+t (b-a) =

t .



Przedstawienie parametryczne odcinka [a,b], to zbiór punktów

postaci (1-t) a+t b, t

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

3.4 Norma wektora

Długośd strzałki reprezentującej n-wymiarowy wektor x nazywa się
jego normą albo modułem tego wektora i oznacza się ||x||. Z
twierdzenia Pitagorasa wynika, że

||x||=

W szczególności jeśli a

i b=

, to odległość miedzy a i b,

rozumianymi jako opisy położenia, ( por. Rys.3) jest równa

||b-a||=

Komentarz. Norma wektora jest liczbą wyrażającą, jak już
wspomniano, długośd strzałki  przedstawiającej wektor. Pojawia się
pytanie czy można za pomocą liczb opisad kierunek strzałki?
Okazuje się , ze pomocne w tym jest pojecie iloczynu skalarnego.

3.5  Iloczyn skalarny
Jeżeli x i y są n-wymiarowymi wektorami kolumnowymi to iloczynem
skalarnym x y jest liczbą określoną następująco
         x y

Wykorzystując definicję mnożenia macierzy możemy powyższy
iloczyn zapisad jako iloczyn macierzy złożonej z wiersza przez
macierz kolumnę:

x y =x

y= [

]



Własności iloczynu skalarnego
a) x x=||x||

b) x y=y x
c) x ( = (x y)+ (x ); są liczbami (skalarami).

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

Wykorzystując własności a)-c) mamy

(*) ||x-y||

= (x-y)

( x-y) = (x-y) x - (x-y) y = x (x-y) - y (x-y)

= x

x- x y - y x + y y = ||x||

-2

x y +||y||



Inny  sposób  obliczania  długości  (normy)  wektora  x-y,  to  tzw.
reguła kosinusów. Przypomina ją poniższy rysunek.

Rys.5. Obliczenie ||x-y|| za pomocą reguły cosinusów:
                  ||x-y||            y
       x

        ||x||                 ||y||



Porównując wzór na wielkość ||x-y||

wynikający z reguły

kosinusów (*) mamy

      (**)        x  y =||x||  ||y||cos(

Otrzymaliśmy w ten sposób wartośd iloczynu skalarnego wyrażoną za
pomocą normy wektorów i cosinusa kąta miedzy nimi.



Z (**) wynika, że w szczególnym przypadku, gdy wektory x i y są
prostopadłe (innymi słowy ortogonalne), to ich iloczyn skalarny
jest równy zero. Mamy bowiem

y =||x|| ||y||cos( =0.

Przykład. a) Niech x =

. Wektory x y są

prostopadłe ponieważ x y= 0 13+1 -1 =0..

||x-y||

= ||x||

+||y||

-2 ||x||

||y||cos( ,

przy

mamy cos(

Z reguły cosinusów wynika więc
twierdzenie Pitagorasa

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

4. Proste i płaszczyzny

Niech p =

, x=



Zauważyć, że p jest ortogonalny do każdego wektora typu x

(dla dowolnych

). Widzimy, że w

, zbiór

wektorów typu x tworzy płaszczyznę przechodzącą przez punkt
„0” i prostopadłą do wektora p. Możemy ją opisać
równaniem: p ( x - 0)=0.



Łatwo się przekonać, że jeżeli p

jest niezerowym

wektorem, a x

dowolnym ustalonym wektorem w

, to zbiór

takich wektorów x

, że

(x- x

) = 0

tworzy płaszczyznę przechodzącą przez x

i prostopadłą do p.



Ostatnią równość można przekształcić do popularnej postaci
równania opisującego płaszczyznę w

. Zauważmy, że

0= p

(x- x

)= p

x - p x

Następnie kładąc k= p

i przechodząc do współrzędnych

wektorów p x mamy następującą, znaną powszechnie, postać
równania płaszczyzny w



W przypadku ogólnego wymiaru n, równanie
w postaci

(x - x

) = 0; p, x

- ustalone wektory w

lub w postaci

k= p x

opisuje tzw. hiperpłaszczyznę.



W przypadku n=2 mamy do czynienia z równaniem prostej:

Innymi słowy, przy ustalonych stałych

oraz k

Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014. Macierze i wektory

zbiór punktów (

) spełniających powyższe równanie

tworzy prostą prostopadłą do wektora [

w przestrzeni

(tzn. dowolny wektor leżący na prostej jest prostopadły do [

Zadania.
1.Dane są macierze

Wykonać każde z następujących działań lub uzasadnić, że nie jest
możliwe.

a) AB-A, b) 2B-A

A, c)BA

+3A, d) A

A-C

2. Wykorzystując przedstawienie parametryczne prostej sprawdzić
czy punkty

, b=

, c =

leżą na jednej prostej.

3. Sprawdzić czy wektory są ortogonalne.

, b=

są ortogonalne

4. Dla dowolnych wektorów kolumnowych

, y =

, z =

oblicz a) ||x||, b) ||x-y||, c) x

x, d) x y, e) x z. f) x (2y+3z),

g) jaka jest odległość x od 0, jaka jest odległość x od y