Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2011-01-24
A. Marynowicz
Strona 1
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
Tensorami nazywamy ogólnie takie obiekty jak skalary, wektory i wielkości wyższych
rzedów. Tak więc tensorem rzędu zerowego (np. A, czyli wielkość o walencji 0) są skalary,
pierwszego (np. j
i
, czyli wielkość o walencji 1) wektory, zaś reprezentacją tensora rzędu
drugiego (np. d
ij
) jest macierz 2x2. Tensory rzędów (czyli walencji) wyższych (np. 3-go, 4-
go) nie możemy już zapisać na ,,płaszczyźnie’’.
Operacje na tensorach rządzą się pewnymi zasadami (algebra tensorów):
1.
ij
ij
ij
B
A
C
+
=
- dodawanie tensorów
2.
n
ijkl
n
kl
ij
c
b
a
=
- iloczyn tensorowy dwóch tensorów jest tensorem o walencji równej
sumie walencji składników
3.
Istnieje tzw. tensor jednostkowy – zwany deltą Kroneckera
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ij
δ
, czyli
≠
=
=
j
i
dla
0
j
i
dla
1
ij
δ
4.
Zamianę wskaźników dokonujemy poprzez przemnożenie danego tensora przez tensor
jednostkowy
jk
ik
ij
a
a
=
δ
5.
Niezmienniki tensora:
(
)
( )
ij
ji
ij
jj
ii
ii
ij
A
A
A
A
A
A
A
det
2
1
=
−
=
=
⇒
III
II
I
Równania tensorowe
Jednym z ,,zastosowań’’ tensorów jest umożliwienie zapisu relacji funkcyjnej między parą
wektorów, czyli np. dla wektorów a
i
i b
j
będzie
j
ij
i
b
B
a
=
,
natomiast dla pary tensorów będzie
kl
ijkl
ij
C
B
A
=
Konwencja sumacyjna Einsteina
W zapisie równań tensorowych powszechnie wykorzystuje się tzw. notację sumacyjną
Einsteina, pozwalającą zapisać skomplikowane wyrażenia w zwięzłej postaci. Konwencja ta
mówi, że sumowania dokonujemy po powtarzających się wskaźnikach, np.
3
3
2
2
1
1
3
1
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
i
i
i
j
j
ij
j
ij
+
+
=
≡
∑
=
Te powtarzające się wskaźniki nazywa się wskaźnikami niemymi. Mają one tą właściwość,
ż
e można je wymienić na dowolne inne, np.:
k
ik
j
ij
x
a
x
a
≡
UWAGA! Przy przekształceniach należy zwrócić uwagę na to, żeby dany wskaźnik nie
powtórzył się więcej niż 2 razy po jednej stronie równania
(dotyczy iloczynów!).
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2011-01-24
A. Marynowicz
Strona 2
Przykłady zadań z równaniami tensorowymi
Poniżej podam kilka przykładów, bez wyjaśnienia podstaw fizycznych – po te odsyłam do
wykładów.
Przykład 1.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:
j
j
i
i
x
B
x
u
=
(1)
Należy wyznaczyć tensor odkształceń w postaci:
i
j
j
i
ij
u
u
,
,
2
+
=
ε
(2)
oraz naprężeń
ij
kk
ij
ij
G
δ
λε
ε
σ
+
=
2
(3)
a następnie sprawdzić równanie równowagi wewnętrznej
0
,
=
+
i
j
ij
F
ρ
σ
(4)
Z równania tego należy, przyjmując znane
i
F
ρ
, wyznaczyć składowe wektora
A
i
.
Rozwiązanie
Aby to zadanie rozwiązać należy w pierwszej kolejności obliczyć pochodne (cząstkowe)
z wektora przemieszczeń
u
i
. Pochodną (cząstkową) w zapisie tensorowym oznacza się
przecinkiem i wskazuje po jakiej współrzędnej się ją liczy – to po przecinku, np.
j
i
j
i
x
x
x
,
≡
∂
∂
,
jk
i
k
j
i
x
x
x
x
,
2
≡
∂
∂
∂
, itp…
Należy jeszcze pamiętać o pochodnej mieszanej (z iloczynu funkcji). Mamy więc w naszym
przypadku (po zamianie indeksu
j na k w iloczynie! – powód podano wyżej):
[
] [ ]
[
]
j
i
k
k
ij
kj
k
i
k
k
ij
j
k
k
i
k
k
j
i
j
k
k
i
k
k
j
i
j
k
k
i
j
i
B
x
x
B
B
x
x
B
x
B
x
x
B
x
x
B
x
x
B
x
x
B
x
u
+
=
=
+
=
+
=
+
=
=
δ
δ
δ
,
,
,
,
,
,
(5)
Wektor
B
i
jest wektorem stałych, stąd pochodna jego jest równa zero. Wykorzystano tu także
zależności (można to łatwo rozpisać)
ij
j
i
x
δ
=
,
oraz
j
kj
k
B
B
=
δ
.
Pochodną
u
j,i
otrzymujemy podobnie, zamieniając wskaźniki i oraz j, stąd otrzymamy
i
j
k
k
ij
i
j
B
x
x
B
u
+
=
δ
,
(6)
wiedząc, że
ji
ij
δ
δ
=
.
Podstawiając (5) i (6) do (2) otrzymamy:
i
j
j
i
k
k
ij
ij
B
x
B
x
x
B
+
+
=
δ
ε
2
2
.
(7)
Następnie podstawiamy to do równania fizycznego (3)
(
)
(
)
(
)
λ
δ
λδ
δ
σ
4
2
4
2
+
+
+
=
=
=
+
+
+
=
G
x
B
B
x
B
x
G
x
B
B
x
B
x
x
B
G
k
k
ij
i
j
j
i
k
k
ij
i
j
j
i
k
k
ij
ij
K
(8)
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2011-01-24
A. Marynowicz
Strona 3
Występujące w (3) wyrażenie
kk
ε
otrzymano z przekształcenia (7):
k
k
k
k
k
k
k
k
l
l
k
k
k
k
l
l
kk
kk
x
B
B
x
x
B
B
x
x
B
B
x
B
x
x
B
8
2
6
2
3
2
2
2
=
+
=
+
⋅
⋅
=
+
+
=
δ
ε
,
czyli
k
k
kk
x
B
4
=
ε
.
Chcąc otrzymać ostatni element, czy wyliczyć siłę masową z równania równowagi, musimy
obliczyć pochodną z równania (8), czyli
(
)
[
]
(
)
[
]
}
}
(
)
}
(
)
)
4
6
(
4
2
4
4
2
4
2
,
3
,
,
,
,
,
λ
λ
δ
λ
λ
δ
σ
δ
δ
+
=
+
+
=
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
G
B
B
G
GB
x
B
G
B
x
B
x
G
G
x
B
B
x
B
x
G
i
i
i
B
j
k
k
ij
i
j
j
B
j
j
i
j
k
k
ij
j
i
j
j
i
j
ij
j
kj
i
ij
3
2
1
3
2
1
Wykorzystano tu fakt, że pochodna z
ij
δ
jest równa zero. Mając tak policzoną pochodną
otrzymamy równanie równowagi
)
4
6
(
λ
ρ
+
−
=
G
B
F
i
i
,
(9)
z którego, przy znanym
i
F
ρ
, wyznaczymy składowe wektora
i
B :
3
3
2
2
1
1
4
6
4
6
4
6
F
G
B
F
G
B
F
G
B
λ
ρ
λ
ρ
λ
ρ
+
−
=
+
−
=
+
−
=
(10)
Równania (7), (8), (9) i (10) stanowią rozwiązanie zadania.
Przykład 2.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:
(
)
j
j
i
i
i
B
x
B
x
u
−
=
(11)
Wyznaczyć wielkości z przykładu 1 (tylko zamiast A
i
wyznaczyć składowe B
i
).
Rozwiązanie
Możemy na początku przekształcić (zamieniając indeksy ,,nieme’’ (czyli nie występujące po
lewej stronie równania) j na k) (11)
(
)
k
i
k
k
k
i
j
i
i
j
j
i
j
j
i
i
i
B
B
x
B
x
x
B
B
x
B
x
x
B
x
B
x
u
−
=
−
=
−
=
Mamy więc:
[ ]
}
}
}
(
)
i
i
j
k
k
ij
i
j
B
k
kj
i
k
k
ij
i
j
k
j
k
i
k
j
i
i
B
k
j
k
k
j
k
i
j
i
B
x
B
B
x
B
B
B
x
B
x
B
B
B
x
x
x
x
B
B
x
B
x
x
u
j
kj
ij
j
j
k
−
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
3
2
1
3
2
1
,
,
,
,
,
,
oraz
(
)
j
j
i
k
k
ij
i
j
B
x
B
B
x
u
−
+
=
δ
,
.
Tak więc tensor odkształcenia ma postać
j
i
i
j
j
i
k
k
ij
ij
x
B
x
B
B
B
B
x
+
+
−
=
2
2
2
δ
ε
(12)
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2011-01-24
A. Marynowicz
Strona 4
Tensor
kk
ε
:
k
k
k
k
kk
B
B
x
B
−
=
4
ε
Stąd tensor naprężeń (równanie fizyczne):
ij
k
k
k
k
j
i
i
j
j
i
k
k
ij
ij
B
B
B
x
B
B
B
x
B
x
B
x
G
δ
λ
δ
σ
)
4
(
)
2
2
(
−
+
−
+
+
=
(13)
Pochodna z wyrażenia (13) ma postać
(uwaga na x
j,j
=3)
[
] [ ] [ ] [
]
[
] [
]
i
B
ij
j
k
k
B
j
k
k
j
j
i
B
j
i
j
B
j
j
i
B
j
k
k
ij
j
ij
B
G
B
B
B
x
B
B
B
x
B
x
B
x
G
i
j
i
i
i
)
4
6
(
)
4
(
)
2
2
(
4
0
,
,
0
,
3
,
,
2
,
,
λ
δ
λ
δ
σ
λ
+
=
−
+
−
+
+
=
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
4
3
42
1
4
3
42
1
4
3
42
1
3
2
1
3
2
1
43
42
1
(14)
Wstawiając (14) do równania równowagi (4) otrzymamy wyrażenie na składowe wektora siły
masowej
i
i
B
G
F
)
4
6
(
λ
ρ
+
−
=
(15)
Ostatecznie składowe wektora
i
B wyliczymy przekształcając (15), czyli otrzymamy
[
]
i
i
F
G
B
ρ
λ
1
4
6
−
+
−
=
(16)
czyli po rozpisaniu:
(
)
(
)
(
)
3
1
3
2
1
2
1
1
1
4
6
4
6
4
6
F
G
B
F
G
B
F
G
B
ρ
λ
ρ
λ
ρ
λ
−
−
−
+
−
=
+
−
=
+
−
=
(17)
co kończy zadanie.