A. Zaborski, Zwi zki ró niczkowe sił przekrojowych
Zwi zki ró niczkowe pomi dzy siłami przekrojowymi dla łuku
płaskiego
Rozpatrzmy równowag elementu o długo ci ds pr ta o osi krzywej płaskiej, obci onego
obci eniem ci głym q - normalnym do osi, oraz p - stycznym do osi. Zarówno obci enie jak
i siły przekrojowe zaznaczamy zgodnie z przyj t konwencj znakowania.
ρ
∆ϕ
A
N(s)
M(s)
Q(s)
q(s+
β∆s)∆s
p(s+
∆s)∆s
Q(s+
∆s)
M(s+
∆s)
N(s+
∆s)
Obci enia mo emy zast pi wypadkowymi, które zgodnie z tw. Lagrange’a oraz po
zaniedbaniu małych wy szego rz du przedstawia rysunek obok. Wyci ty element powinien
znajdowa si w równowadze.
Obliczaj c sum rzutów sił na pionow o symetrii, mamy:
,
0
2
sin
)
(
)
(
2
2
cos
)
(
)
(
=
∆
∆
∆
+
+
−
∆
∆
∆
+
−
∆
∆
+
−
ϕ
α
ϕ
α
β
s
ds
s
s
dN
s
N
s
ds
s
s
dQ
s
s
s
q
N
Q
dla sumy rzutów sił na o poziom :
,
0
2
cos
)
(
2
sin
)
(
)
(
2
)
(
=
∆
∆
∆
+
+
∆
∆
∆
+
+
−
∆
∆
+
ϕ
α
ϕ
α
γ
s
ds
s
s
dN
s
ds
s
s
dQ
s
Q
s
s
s
p
N
Q
a dla sumy momentów wzgl dem punktu A:
0
cos
)
(
2
tan
)
(
)
(
2
)
(
2
=
−
∆
∆
+
−
∆
∆
∆
+
+
+
∆
∆
+
−
∆
ρ
ρ
γ
ϕ
ρ
α
α
ϕ
s
s
s
p
s
ds
s
s
dQ
s
Q
s
ds
s
s
dM
Q
M
Dziel c równania przez
∆
s i uwzgl dniaj c, e dla małego k ta
∆ϕ
jest:
,
2
2
,
2
2
tan
,
2
2
sin
,
1
2
cos
ρ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
s
∆
→
∆
∆
→
∆
∆
→
∆
→
∆
oraz e dla
∆
∆
s
f s
s
f s
→
+
→
0
(
)
( )
α
, otrzymamy ostatecznie:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
p
s
Q
ds
s
dN
s
q
s
N
ds
s
dQ
s
Q
ds
s
dM
−
=
−
−
=
+
=
ρ
ρ
Pochodna momentu zginaj cego po współrz dnej łukowej jest równa sile poprzecznej (z
dokładno ci do znaku: zale nie od przyj tej konwencji znakowania). W przekroju zerowania
si siły poprzecznej moment zginaj cy osi ga warto ekstremaln .
Uwaga: Znaki w wyprowadzonych równaniach zale od przyj tej konwencji znakowania
obci e i sił przekrojowych.