Teoria na egzamin z algebry liniowej

Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady , ewentualnie kontrprzykłady.

Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone.

Liczby zespolone. Płaszczyzna Gausssa, postać trygonometryczna liczby zespolonej. Pierwiastkowa-

nie, pierwiastki z jedności. wzór de Moivre’a. Równanie kwadratowe. Zasadnicze twierdzenie algebry.

Przestrzeń liniowa. Podprzestrzeń. Niezależność liniowa. Tw. wektory są liniowo niezależne ⇐⇒

jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych (dowód). Podprzestrzeń kombinacji liniowych L(A). Tw.

Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią (dowód).

Baza przestrzeni. Tw. układ wektorów jest bazą ⇐⇒ każdy wektor jest ma jednoznaczny rozkład (do-

wód). Tw.Każda p-ń posiada bazę. Tw. Każde dwie bazy są równoliczne. Wymiar. Tw. Baza = minimalny

układ generatorów= maxymalny podzbiór liniowo niezależny.

Przekształcenia liniowe. Tw. suma, złożenie odzwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym

(dowód). Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe ⇐⇒ Ker(f ) = 0 (dowód). Macierz odwzoro-

wania liniowego. Rząd odwzorowania liniowego. Tw. dimKer(f ) + dimf (V ) = dimV .

Macierze. Działania na macierzach: dodawanie, mnożenie, macierz transponowana, macierz nieosobli-

wa, macierz odwrotna. Macierz przejscia. Wyznaczanie macierzy odwzorowania liniowego w nowej bazie.

Operacje elementarne na macierzach). Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą operacji elementar-

nych.

Wyznaczniki (definicja). Znak permutacji. Definicja wyznacznika. Rozwinięcie Laplace’a. Oblicznie

wyznaczników poprzez rozwijanie względem wierszy (kolumn). Tw. det (AB) = detAdetB. Tw. Cramera

(układ równań n × n). Tw. A posiada macierz odwrotną ⇐⇒ detA 6= 0(dowód). Tw.Rząd odwzorowania

f = rzędowi jego macierzy A (rząd A= dim(im)f ). Tw. Kroneckera-Capellego rozwiązywanie układów

równań. Metoda eliminacji Gaussa.

Wartości własne Suma prosta przestrzeni. Wartość własna, wektor własny, wielomian charaktery-

styczny. Tw.wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy (dowód). Tw. Każda macierz rzeczywi-

sta posiada wartość własną zespoloną (dowód). Tw.Jesli v

1

, ..., v

n

są wektorami własnymi odpowiadającym

różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne (dowód dla n=2). Macierz odwzorowania linio-

wego w bazie wektorów własnych.

Formy kwadratowe. Odwzorowanie dwuliniowe. Wzory : f (x, y) = x

T

Ay , f ((x

1

, ..., x

n

), (y

1

, ..., y

n

)) =

n

X

i,j=1

a

ij

x

i

x

j

. Macierz odwzorowania w nowej bazie B = P

T

AP . Forma kwadratowa φ(x) = f (x, x) ,

φ(x

1

, ..., x

n

) =

n

X

i=1

a

i

x

2
i

+

X

1¬i<j¬

2a

ij

x

i

x

j

. Wyznaczanie postaci kanonicznej formy kwadratowej poprzez

operacje elementarne na wierszach i kolumnach. Sygnatura i określonośc formy. Kryterium Sylwestera.

Iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny, norma wektora, nierówność Schwartza. Kąt miedzy wektorami.

Ortogonalność. Tw. Pitagorasa. Podprzestrzeń ortogonalna. W = V ⊗ V

⊥

Tw.wektory parami prostopadłe

są liniowo niezależne. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta. Rzut ortogonalny, jego własności (dowód).

1. Dana jest macierz A ∈ M

m×n

(K). Kiedy określone jest: (a) A

T

A , (b) AA

T

+ 2A

T

A (c) (A

T

A)

2

2. Jakie warunki muszą spełniać liczby m, n, p, q ∈ N tak aby dla macierzy A ∈ M

m×n

(R), B ∈

M

p×q

(R) określone były: AB ; AB + BA ; A

T

A ; A

T

+ AA

T

, det(A

T

A).

3. Rozwiązać układ równań x − y + 2z − t = 1 ; 2x − 3y − z + t = −1 ; x + 7z − 4t = 4.

4. Rozwiązać układ równań: 2x − y − z + u = 1 , x + y + 2z + u = 2 , 3y + 5z + u = 3.

5. Dla jakich wartości parametru a ∈ R wektor (a, 1) ∈ R

2

jest kombinacją liniową wektorów (2, a

2

), (1, 2).

Kiedy kombinacja taka jest jednoznaczna?

6. Pokazać, że wektory v

1

, ..., v

n

są liniowo zależne ⇐⇒ jeden z nich jest kombinacją liniową pozosta-

łych.

7. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R

4

→ R

3

wzorem f (x, y, z, t) = (x + y − z + t, x − y + z + t, x + t).

Podać bazy jądra i obrazu f .

8. Podać definicję kąta miedzy wektorami (w przestrzeni z iloczynem skalarnym). Obliczyć kąt między

wektorami (1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, −1)

9. Znaleźć bazę przestrzeni

V = {(x, y, z, t) ∈ R

4

; 2x − y + 3z + t = 0; x + 2y + z − t = 0; 3x − 4y + 5t + 3z = 0}

i uzasadnić, że jest to baza.

10. Odwzorowanie liniowe f : R

2

→ R

2

dane jest w bazie (2, −1) , (−3, 1) poprzez macierz A =





2 1

3 1





.

Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie kanonicznej.

11. Odwzorowanie liniowe f : R

2

→ R

2

ma wektory własne (2, 1) , (1, −2) oraz odpowiadające im

wartości własne 2 i −3. Obliczyć f (1, 0).

12. Podać bazę wektorów własnych odwzorowania f : R

2

→ R

2

danego wzorem

f (x, y) = (0, 1x + 0, 8y; 0, 9x + 0, 2y)

13. Zbadać określoność formy kwadratowej φ(x, y, z) = x

2

+ y

2

+ 3z

2

+ 2xy − 2xz − 4yz. Czy może ona

przyjmować wartości ujemne?

14. Znaleźć rzut prostopadły punktu (1, 1, 1) na podprzestrzeń V ⊂ R

3

wyznaczoną przez wektory

(1, −1, 1) , (1, 1, −1).

15. Podać rzut ortogonalny wektora (1, 5, −1) na podprzestrzeń V ⊂ R

3

generowaną przez wektory

(1, 1, 3) , (2, 1, 4).

16. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni V ⊂ R

3

ortogonalnej do prostej (2t, t, −3t).

17. Sprowadzić do postaci kanonicznej formę dwuliniową f : R

3

→ R daną wzorem f(x, y, z) = 2x

2

−

y

2

+ z

2

+ 4xy − 4xz. Wskazać bazę.