1
MATEMATYKA (poziom podstawowy)
przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania
dla klasy II Liceum
Propozycja zadań maturalnych sprawdzających opanowanie wiadomości
i umiejętności matematycznych z zakresu klasy pierwszej i drugiej liceum na poziomie
podstawowym.
Test zbudowany jest w oparciu o podstawę programową z matematyki dla szkół
ponadgimnazjalnych z uwzględnieniem standardów wymagań egzaminacyjnych.
Do testu dołączony jest model odpowiedzi i schemat oceniania.
Czas pracy: 120 minut
Maksymalna liczba punktów: 50
Zadanie 1. (3 pkt)
Rozwiąż nierówność
5
)
3
(
2
−
≤
−
x
x
.
Zbiór rozwiązań tej nierówności zapisz w postaci
b
a
x
+
≤
2
, gdzie a i b są liczbami
całkowitymi. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą nie spełniającą tej nierówności.
Zadanie 2. ( 3 pkt)
Dana jest funkcja
R
R
f
→
:
określona wzorem
)
2
3
(
)
1
2
(
)
(
−
+
+
=
m
x
m
x
f
a)
Wyznacz wartość m, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba (-1).
b)
Wyznacz wartość m, dla której prosta będąca wykresem funkcji f tworzy z osią OX
kąt rozwarty.
c)
Wyznacz wartość m, dla której funkcja f jest rosnąca.
Zadanie 3. (5 pkt)
Dane są zbiory liczb
{
}
5
3
:
<
+
∧
∈
=
x
R
x
x
A
{
}
0
3
2
:
2
≥
+
+
−
∧
∈
=
x
x
R
x
x
B
Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B,
B
A
∪
,
B
A
∩
, B\A.
Zadanie 4. (3 pkt)
Funkcja kwadratowa
c
bx
x
x
f
+
+
=
2
)
(
jest malejąca w przedziale
3
,
(
−∞
i rosnąca
w przedziale
)
,
3
+∞
. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej
k:
0
5
2
=
−
+
x
y
a)
Wyznacz współczynniki b i c.
b)
Oblicz miejsca zerowe funkcji f.
Zadanie 5. (4 pkt)
Dany jest wielomian
R
x
x
kx
x
x
W
∈
−
+
+
−
=
,
8
4
2
)
(
2
3
a)
Wyznacz wartość parametru k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W(x)
przez dwumian (x+1) była równa (-6).
b)
Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe.
c)
Rozwiąż nierówność
0
)
(
>
x
W
.
2
Zadanie 6. (4 pkt)
Dana jest funkcja określona wzorem
{ }
0
\
,
2
)
(
R
x
x
x
f
∈
=
.
a)
Oblicz wartość funkcji f dla argumentu
5
1
.
b)
Oblicz dla jakich argumentów funkcji f osiąga wartości większe od 1.
c)
Podaj wzór funkcji g(x) = f(x-3) i określ jej dziedzinę.
Zadanie 7. (6 pkt)
Prosta k:
0
3
3
=
−
−
y
x
przecina parabolę
3
2
2
+
−
−
=
x
x
y
w punktach A i B.
a)
Wyznacz współrzędne punktów A i B.
b)
Oblicz odległość wierzchołka paraboli od prostej k.
c)
Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.
Zadanie 8. (3 pkt)
W banku A kapitalizacja odsetek następuje co kwartał i lokaty oprocentowane są w
wysokości 20% w stosunku rocznym, zaś w banku B kapitalizacja odsetek następuje dopiero
po roku, ale lokata jest oprocentowana w wysokości 21% w stosunku rocznym. Wybierz
bank, w którym korzystniej można lokować kapitał na jeden rok.
Zadanie 9. (6 pkt)
Liczby 5, 8, 11 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego
( )
n
a .
a)
Podaj wzór ogólny ciągu
( )
n
a .
b)
Określ, które wyrazy ciągu
( )
n
a należą do przedziału (63, 74
.
c)
Dla jakiej wartości x wyrazy a
2
, x, a
10
są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu
geometrycznego?
Zadanie 10. (4 pkt)
Szklarz ma oszklić okno, którego szyba ma kształt i wymiary
przedstawione na rysunku obok. Szybę tą wycięto z prostokątnej
tafli szkła o wymiarach
m
m
6
,
0
1
,
1
×
. Oblicz powierzchnię szyby
i podaj jaki procent stanowią odpady szkła przy jej wycinaniu.
Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do 0,1.
Zadanie 11. (9 pkt)
W trapezie opisanym na okręgu kąty między wysokością a ramionami trapezu mają miary 30
0
i 60
0
, a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz
jego elementy. Oblicz długości podstaw, obwód i pole tego trapezu.
3
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA.
Numer
zadania
Numer
czynności
Etapy rozwiązania zadania
Liczba
punktów
1.1
Rozwiązanie nierówności:
1
2
5
2
3
−
−
≤
x
1
1.2
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności w żądanej
postaci:
2
2
1
−
≤
x
1
1.
1.3
Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej nie
spełniającej danej nierówności: szukaną liczbą jest (-1)
1
2.1
Wyznaczenie wartości m, dla której miejscem zerowym
funkcji f jest liczba (-1): m=3
1
2.2
Wyznaczenie wartości m, dla której prosta będąca
wykresem funkcji f tworzy z osią OX kąt rozwarty:
−
∞
−
∈
2
1
,
m
1
2.
2.3
Wyznaczenie wartości m, dla której funkcja f jest
rosnąca:
+∞
−
∈
,
2
1
m
1
3.1
Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną
i zapisanie rozwiązania w postaci przedziału
liczbowego: A=(-8,2)
1
3.2
Rozwiązanie nierówności kwadratowej i zapisanie
zbioru B w postaci przedziału liczbowego: B=
3
,
1
−
1
3.3
Wyznaczenie sumy zbiorów A i B:
(
3
,
8
−
1
3.4
Wyznaczenie iloczynu zbiorów A i B:
)
2
,
1
−
1
3.
3.5
Wyznaczenie różnicy B\A:
3
,
2
1
4.1
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:
W=(3,-1)
1
4.2
Zapisanie wzoru trójmianu w postaci kanonicznej,
przekształcenie do postaci ogólnej i odczytanie
współczynników b i c: b=-6, c=8
1
4.
4.3
Obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej:
x
1
=2, x
2
=4
1
5.1
Zapisanie warunku W(-1)=-6
1
5.2 Rozwiązanie powyższego warunku: k=4
1
5.3
Rozłożenie wielomianu W na czynniki liniowe:
)
2
)(
2
)(
2
(
2
)
(
−
+
−
−
=
x
x
x
x
W
1
5.
5.4
Rozwiązanie nierówności wielomianowej:
(
) ( )
2
,
2
2
,
∪
−
∞
−
∈
x
1
4
6.1
Obliczenie wartości funkcji f dla x=
5
1
:
10
)
5
1
(
=
f
1
6.2
Zapisanie i rozwiązanie nierówności
1
2
>
x
:
( )
2
,
0
∈
x
1
6.3
Zapisanie wzoru funkcji g:
3
2
)
(
−
=
x
x
g
1
6.
6.4
Wyznaczenie dziedziny funkcji g:
{ }
3
\
R
D
g
=
1
7.1
Wyznaczenie punktów wspólnych prostej i paraboli:
A=(-6,-21), B=(1,0)
1
7.2
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:
W=(-1, 4)
1
7.3
Obliczenie odległości punktu od prostej: d(W,k)= 10
1
7.4
Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB:
S=(-2,5;-10,5)
1
7.5
Obliczenie długości promienia szukanego okręgu:
10
2
7
2
1
=
=
AB
r
1
7.
7.6
Zapisanie równania okręgu:
4
490
)
2
21
(
)
2
5
(
2
2
=
+
+
+
y
x
1
8.1
Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia
wysokości lokaty w przypadku oferty banku A:
1,21550625K
0
1
8.2
Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia
wysokości lokaty w przypadku oferty banku B:
1,21K
0
1
8.
8.3
Wybranie korzystniejszej oferty:
oferta banku A
1
9.1
Wyznaczenie pierwszego wyrazu i różnicy ciągu
arytmetycznego oraz wyznaczenie wzoru na a
n
:
a
1
=5, r=3, a
n
= 3n+2
1
9.2
Ułożenie i rozwiązanie układu nierówności
≤
+
>
+
74
2
3
63
2
3
n
n
,
∈
24
,
3
1
20
n
1
9.3
Sformułowanie odpowiedzi: a
21
, a
22
, a
23
, a
24
1
9.4
Wyznaczenie wyrazów ciągu: a
2
=8, a
10
=32 1
9.5
Wykorzystanie definicji lub własności ciągu
geometrycznego do zapisania równania z jedną
niewiadomą.
1
9.
9.6 Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: x=16
1
10.1
Obliczenie powierzchni szyby: P
sz
= 0,5m
2
1
10.2
Obliczenie pola niewykorzystanej części materiału:
P
o
= 0,2m
2
1
10.
10.3
Obliczenie jaki procent tafli szkła stanowią odpady
i zaokrąglenie wyniku do 0,1: 24,5%
2
5
11.1 Sporządzenie rysunku z odpowiednimi oznaczeniami.
1
11.2
Obliczenie długości ramion trapezu: c=
3
4
, d=12
2
11.3
Obliczenie długości rzutów prostokątnych ramion
trapezu na dłuższą podstawę trapezu:
3
6
,
3
2
=
=
y
x
2
11.4
Obliczenie długości podstaw trapezu:
3
2
6
,
3
6
6
−
=
+
=
b
a
2
11.5
Obliczenie obwodu trapezu:
)
3
3
(
8
+
=
Obw
1
11.
11.6
Obliczenie pola trapezu:
P=12(3+ 3 )
1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej
w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Literatura:
1.
„Matura w nowej formule z matematyki” –
praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliny Nahorskiej.
2.
Matematyka - zbiór zadań dla liceów i techników, klasa II –
K. Kłaczkow, M. Kurczak, E. Świda.