Mathcad – opis do ćwiczenia

ZADANIE: 

DLA JAKICH 

D

, 

h

OBJĘTOŚĆ WALCA 

V

 

BĘDZIE NAJWIĘKSZA, PRZY

ZAŁOŻENIU, ŻE OBWÓD

GŁÓWNEGO PRZEKROJU

WALCA JEST STAŁY?

1. Rysunek walca

należy  wczytać  z   pliku  walec.bmp  wydając   polecenie  Insert  Picture 

Po wydaniu tego polecenia pojawi się ramka z polem, w które należy wpisać

nazwę pliku  lub  wpisać ścieżkę  prowadzącą do  pliku  graficznego  (Mathcad

2000 pozwala importować grafikę zapisaną wyłącznie w plikach BMP). Nazwa

pliku musi być podana jako ciąg znaków, dlatego jej wpisywanie musi zaczynać

się od wprowadzenia znaku ”. 

2. Rozwiązanie

Należy  zdefiniować   dwie   funkcje  O  i  V,   według   których  liczone   będą

odpowiednio obwód i objętość walca. 

Obwód przekroju walca wyraża się wzorem: O=2D+2h, a objętość walca:

V=

π 

D

2

/4h.

Obie funkcje muszą być uzależnione od zmiennych argumentów D i h.

PRz, KMK, 11’2004

Mathcad – opis do ćwiczenia

Zastosowana  funkcja  Maximize  wymaga zbudowania bloku  rozwiązania

(ang.  Solve   block),   podobnie   jak   to   było   przy   funkcji  Find  służącej   do

rozwiązywania układów równań. Blok rozwiązania musi zawierać:

a.

Wartości startowych poszukiwanych parametrów D i h

b.

Słowo Given

c.

Zestaw   warunków   ograniczających,   które   podane   muszą   być   z

wykorzystaniem   operatorów   logicznych   dostępnych   z   paska

narzędziowego Boolean

W naszym przykładzie warunki będą trzy: dwa zapewniające fizyczny sens

zadania (wymiary walca większe od zera) oraz trzeci nakładający ograniczenia

na obwód walca. Proszę przyjąć konkretną liczbę np. O=100m.

d.

Użycia funkcji rozwiązującej:

Maximize(

funkcja_maksymalizowana, parametr1, parametr2

)

3. Obliczenie maksymalnej objętości walca

Uzyskane   z   funkcji  Maximize  rozwiązanie   zawarte   jest   w

dwuelementowym wektorze (bo szukane były dwa parametry) pod przykładową

nazwą MAX. 

MAX

33.333
16.667













m

=

W celu wykorzystania elementów tego wektora do obliczenia objętości V

musimy posłużyć się indeksowaniem macierzowym. Dlatego też indeksy użyte

w   wywołaniu   funkcji  V  muszą   być   wpisane   w   pola   uzyskane   poprzez

naciśnięciu klawisza [. 

V MAX

1

MAX

2

,

(

)

14544.453m

3

=

PRz, KMK, 11’2004

Mathcad – opis do ćwiczenia

4. Graficzna ilustracja rozwiązania

Podstawowym   założeniem   jest   przeprowadzanie   obliczeń   dla   zbioru

wartości wzajemnie od siebie zależnych parametrów O, D i V. 

Po   podaniu   wartości   stałego   parametru  O  następuje   zdefiniowanie

arbitralnie przyjętego zakresu zmiennej  i, która będzie używana jako zmienna

pomocnicza   indeksująca   pozostałe   obliczenia.   Przykładowo,   proszę

przeprowadzić obliczenia dla kolejnych pięćdziesięciu  kombinacji wymiarów

walca. 

Po   zdefiniowaniu   odpowiedniego   zakresu  zmiennej  i   przystępujemy  do

obliczeń poszczególnych wymiarów walca, które jednak są ze sobą wzajemnie

powiązane   (wszystkie   indeksy   użyte   w   obliczeniach   muszą   być   typu

macierzowego, zatem należy je wprowadzać po naciśnięciu klawisza [):

h

i

i 1 m

⋅

(

)

⋅

:=

Taki   sposób   zdefiniowania   parametru  h  prowadzi   do   wygenerowania

tablicy wartości, które  h  może przyjąć. Pierwszym elementem tej tablicy jest

h

1

=1m, co jest zgodne z wcześniej przyjętym oczywistym założeniem, że h>0.

Na   podstawie   tak   zdefiniowanego   parametru  h  oblicza   się   następnie

parametr  D.   Wzór   na  D  uzyskamy  oczywiście   z   przekształcenia   wcześniej

wykorzystywanego wzoru  O=2D+2h czyli D=(O-2h)/2.

Zastosowanie indeksów macierzowych wyrażonych za pomocą zmiennej i

prowadzi   do   uzyskania   tablicy   z   wartościami  D  odpowiadającymi

poszczególnym   elementom   z   tablicy   wartości   zmiennej  h  –   oznacza   to,   że

otrzymaliśmy pary parametrów D i h, przykładowo:

h

10

10 m

=

D

10

40 m

=

PRz, KMK, 11’2004

Mathcad – opis do ćwiczenia

Pozostaje,   zatem   obliczyć   objętość   walca   dla   takich   par.   Zapisując

definicję   zmiennej  V

i

  otrzymujemy   kolejną   tablicę   wartości,   tym   razem

parametru V.

V

i

π

D

i

( )

2

4

⋅

h

i

⋅

:=

Wracając do poprzedniego przykładu dla dziesiątej spośród rozważanych

par mamy:

V

10

12566.371m

3

=

Pozostaje   narysowanie   wykresu   ilustrującego   zbiór   wartości

przechowywany w tablicy V

i

. Jako odciętą należy podać na wykresie zmienną

indeksującą i.

Możliwe   jest   znalezienie   największej   spośród   obliczonych   objętości

znajdujących się w tablicy V. W tym celu wykorzystamy funkcję max(). 

max V

( )

14540.076 m

3

=

Uzyskane w ten sposób rozwiązanie różni się od obliczonego na podstawie

pary   zmiennych  (MAX

1

,MAX

2

),   gdyż   tym  razem  poszukiwanie   parametrów

D i h  zostało ograniczone do zbioru liczb całkowitych.

PRz, KMK, 11’2004