1

Przestrzenie topologiczne - zadania

5.1. Niech N = {1, 2, 3, . . . } b

,

edzie zbiorem liczb naturalnych. Rozwa˙zmy

dwie rodziny podzbior´ow:

F

1

= {∅, N, {1, 2, 3, . . . , n},

n ∈ N}

F

2

= {∅, N, {1, 3, 5, . . . , 2n − 1},

n ∈ N}

Czy kt´ora´s z nich jest topologi

,

a na X? Je´sli tak, czy ta topologia ma wÃlasno´s´c

Hausdorffa?

5.2. Niech X b

,

edzie zbiorem niesko´nczonym. Rozwa˙zmy nast

,

epuj

,

ace

dwie rodziny podzbior´ow X:

F

1

= {A ⊆ X | A jest sko´nczony lub A = X}

F

2

= {A ⊆ X | (X \ A) jest sko´nczony lub A = ∅}

Kt´ora z nich jest topologi

,

a na X ?

5.3. Udowodnij, ˙ze ka˙zda przestrze´n topologiczna wyznaczona przez pewn

,

a

metryk

,

e jest przestrzeni

,

a Hausdorffa.

5.4. Udowodnij, ˙ze ka˙zda sko´nczona przestrze´n Hausdorffa jest przestrzeni

,

a

dyskretn

,

a.

5.5. Poka˙z, ˙ze je´sli X jest przestrzeni

,

a Hausdorffa, to granica ci

,

agu w

przestrzeni X jest wyznaczona jednoznacznie.

5.6. Udowodnij, ˙ze ka˙zdy podzbi´or przestrzeni Hausdorffa jest przestrzeni

,

a

Hausdorffa.

5.7. Niech X b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a. Udowodnij, ˙ze rodz-

ina zbior´ow domkni

,

etych speÃlnia nast

,

epuj

,

ace warunki: zbi´or pusty i caÃla

przestrze´n s

,

a domkni

,

ete, a ponadto sko´nczone sumy i dowolne przeci

,

ecia

zbior´ow domkni

,

etych s

,

a domkni

,

ete.

5.8. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a. Uzasadnij, ˙ze rodzina

kul otwartych {B(x

0

, r)}

x

0

∈X,r>0

jest baz

,

a topologii na X wyznaczonej przez

metryk

,

e d.

2

5.9. Niech B b

,

edzie baz

,

a topologii na R skÃladaj

,

ac

,

a si

,

e z przedziaÃl´ow

(a, b), a < b. Czy topologia na R

2

wprowadzona przez B × B pokrywa si

,

e ze

zwykÃl

,

a topologi

,

a na R

2

? Odpowied´z uzasadnij.

5.10. Udowodnij, ˙ze rodzina przedziaÃl´ow

{[a, b) | a, b ∈ R}

speÃlnia warunki twierdzenia o bazach. Liczby rzeczywiste z topologi

,

a wyz-

naczon

,

a przez t

,

e baz

,

e b

,

edziemy oznacza´c przez R

l

i nazywa´c ,,liczbami

rzeczywistymi z topologi

,

a strzaÃlka”. Czy jest ona ubo˙zsza, czy bogatsza

ni˙z zwykÃla topologia na R? Czy ci

,

agi x

n

= 1 +

1

n

oraz y

n

= 1 −

1

n

s

,

a zbie˙zne

w tej topologii?

5.11. Czy istnieje baza przeliczalna wprowadzaj

,

aca zwykÃl

,

a topologi

,

e na

R? Odpowied´z uzasadnij.

5.12. Niech X = {x

0

, x

1

, x

2

, . . . } b

,

edzie niesko´nczonym zbiorem przeliczal-

nym. Udowodnij, ˙ze rodzina wszystkich zbior´ow jednoelementowych za-
wartych w X\{x

0

} oraz zbior´ow postaci X\F gdzie F jest zbiorem sko´nczonym

nie zawieraj

,

acym x

0

, jest baz

,

a. Dla dowolnego A ⊆ X opisz int A oraz A.