Podstawy obliczeń
i rachunek współrzędnych
wykłady z przedmiotu
„Geodezja i kartografia”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Podstawy obliczeń
i rachunek współrzędnych
wykłady z przedmiotu
„Geodezja i kartografia”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Formy rachunkowe Hausbrandta
Podstawowym pojęciem w symbolice Hausbrandta jest
forma
rachunkowa prosta
(czteroelementowy zbiór liczb ujętych w
prostokątną tabelę:
Forma rachunkowa jest jedynie sposobem zapisu i nie określa
żadnych działań matematycznych.
Działania takie są możliwe jedynie po ustaleniu określonej funkcji
rachunkowej.
Forma rachunkowa złożona
składa się z dwóch lub większej ilości
form rachunkowych prostych zapisanych obok siebie np.:
d
c
b
a
f
.....
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
F
Funkcje form rachunkowych
Funkcja pierwsza (iloczyn wyznacznikowy) jest to suma
wyznaczników drugiego stopnia obliczonych z poszczególnych
form rachunkowych prostych:
Funkcja druga (iloczyn kolumnowy
) jest to suma iloczynów par
elementów znajdujących się w poszczególnych kolumnach formy
rachunkowej:
i
i
i
i
n
n
n
n
c
b
d
a
c
b
d
a
c
b
d
a
c
b
d
a
F
...
2
2
2
2
1
1
1
1
1
i
i
i
i
n
n
n
n
d
b
c
a
d
b
c
a
d
b
c
a
d
b
c
a
F
...
2
2
2
2
1
1
1
1
2
Funkcje form rachunkowych (c.d.)
Funkcja zerowa (
iloraz główny) jest to stosunek funkcji pierwszej
do drugiej:
Funkcje względne proste stanowią ilorazy funkcji pierwszej lub
drugiej przez sumę elementów dolnego lub górnego wiersza
formy rachunkowej.
W zależności od tego, który wiersz podlega sumowaniu, symbol
funkcji (1) lub (2) umieszcza się u dołu lub u góry symbolu formy:
2
1
0
F
F
F
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
2
(2)
1
)
1
(
2
)
2
(
1
)
1
(
i
i
i
i
i
i
i
i
b
a
F
F
b
a
F
F
d
c
F
F
d
c
F
F
Funkcje form rachunkowych (c.d.)
Funkcje względne kwadratowe są ilorazami funkcji pierwszej lub
drugiej przez sumę kwadratów elementów dolnego lub górnego
wiersza formy.
Podobnie jak poprzednio w zależności od tego, czy sumujemy
kwadraty elementów dolnego, czy górnego wiersza, odpowiedni
symbol funkcji
– jedynkę lub dwójkę w nawiasie kwadratowym lub
małym kwadracie – umieszczamy u dołu lub u góry symbolu
formy:
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
2
2
2
[2]
2
2
1
]
1
[
2
2
2
]
2
[
2
2
1
]
1
[
i
i
i
i
i
i
i
i
b
a
F
F
b
a
F
F
d
c
F
F
d
c
F
F
Orientacja pomiarów geodezyjnych
Azymut A
AB
boku AB:
kąt poziomy, zawarty w
przedziale od 0 do 400
g
,
pomiędzy kierunkiem północy
wychodzącym z punktu A a
danym bokiem AB, liczony od
kierunku północy w prawo,
czyli zgodnie z ruchem
wskazówek zegara
wyróżnia się kierunki północy:
geograficznej,
topograficznej
magnetycznej
g
AB
BA
A
A
200
Definicje kierunków północy
geograficzna
(
kierunek północnej części południka
geograficznego, łączącego ten punkt z
geograficznym biegunem północnym
Ziemi)
Wyznaczenie kierunku północy
geograficznej i azymutu przedmiotu
ziemskiego stanowią jedno z
ważniejszych zadań astronomii
geodezyjnej.
Dość dokładnie kierunek ten wskazuje
Gwiazda Polarna (
-Ursae Minoris
)
w
gwiazdozbiorze Małej Niedźwiedzicy.
Definicje kierunków północy
topograficzna (kartograficzna)
(ściśle związana z przyjętym odwzorowaniem
kartograficznym oraz z zależnym od niego układem
współrzędnych prostokątnych)
Dodatni kierunek osi x
układu pokrywa się
przeważnie z kierunkiem północy geograficznej
(południka geograficznego).
Dla punktów znajdujących się poza osią x, kierunek
północy topograficznej stanowi prostą równoległą
do półosi +x.
Południki wyznaczające północ geograficzną w
różnych punktach terenowych nie są jednak
równoległe, lecz zbiegają się w punkcie N –
biegunie północnym Ziemi.
Dlatego odchylenie kierunku północy topograficznej
danego punktu A
od północy geograficznej tego
punktu jest równe kątowi
g
, zwanemu
zbieżnością
południków (rys. 8.2). Dodając kąt
g
do azymutu
topograficznego At, otrzymamy azymut
geograficzny
.
magnetyczna
(
kierunek jest wskazywany przez igłę magnetyczną
busoli, umieszczonej w punkcie początkowym A)
Podstawowe związki
Przyrosty współrzędnych:
czyli:
Współrzędne końca linii:
A
B
AB
A
B
AB
Y
Y
y
X
X
x
Δ
Δ
AB
A
B
AB
A
B
y
Y
Y
x
X
X
Δ
Δ
BA
AB
BA
AB
y
x
x
Δy
Δ
Podstawowe związki (c.d.)
przyrosty współrzędnych
zależności pomocnicze
oraz:
AB
AB
AB
x
y
A
tg
AB
AB
AB
AB
AB
AB
A
d
y
A
d
x
sin
Δ
cos
Δ
AB
AB
AB
AB
AB
AB
d
y
A
d
x
A
Δ
sin
Δ
cos
2
2
AB
AB
AB
y
x
d
Znaki przyrostów współrzędnych
znaki przyrostów współrzędnych są zależne od położenia końca linii
względem lokalnego układu współrzędnych z początkiem
znajdującym się w punkcie początkowym linii
Znaki przyrostów współrzędnych (c.d.)
Obliczenie azymutu i długości linii
ze współrzędnych
Obliczenie punktu przecięcia dwóch
prostych
Obliczenie kąta ze współrzędnych
I sposób
II sposób
czyli:
CL
CP
A
A
tg
tg
1
tg
tg
tg
tg
CL
CP
CL
CP
CL
CP
A
A
A
A
A
A
CP
CP
CP
CP
CL
CL
x
y
A
x
y
A
tg
;
tg
CP
CL
CP
CL
CP
CL
CP
CL
CP
CL
CP
CL
CL
CL
CP
CP
CL
CL
CP
CP
x
x
y
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
1
tg
CP
CL
CP
CL
CL
CP
CP
CL
y
y
x
x
y
x
y
x
tg
Obliczenie kąta ze współrzędnych
z użyciem form Hausbrandta
wzory obliczeniowe
czyli:
CP
CL
CP
CL
CL
CP
CP
CL
y
y
x
x
y
x
y
x
tg
0
tg
CP
CP
CL
CL
y
x
y
x
Transformacja współrzędnych
Transformacja współrzędnych (c.d.)
wzory transformacyjne (w ujęciu Hausbrandta)
kontrola obliczeń – za pomocą pierwszego wzoru dla różnic
współrzędnych między punktami dostosowania P i Q
Transformacja współrzędnych (c.d.)
Tok obliczeń:
obliczenie współczynników u oraz v
przeliczenie współrzędnych
x i
y na
X i
Y
obliczenie współrzędnych wszystkich punktów w układzie XY
(za pomocą metody poligonowej)
kontrola obliczeń
m.in. przez transformację z układu wtórnego na układ pierwotny
Transformacja współrzędnych (c.d.)
poligon wyznaczający kolejność obliczeń transformowanych
współrzędnych punktów
Transformacja z wykorzystaniem
wzoru macierzowego
Transformacja z wykorzystaniem
wzoru macierzowego (c.d.)
współczynnik
zmiany
skali
kąt skrętu
Transformacja sposobem Helmerta
tzw. transformacja 4-parametrowa
ma zastosowanie, jeśli liczba punktów
dostosowania jest większa od 2
polega na wyrównaniu metoda najmniejszych
kwadratów różnic v
x
i v
y
między znanymi
współrzędnymi punktów dostosowania (X, Y) a
ich współrzędnymi po transformacji (X
t
, Y
t
)
warunek
v
p
2
=
(v
x
2
+v
y
2
) = minimum
Transformacja sposobem Helmerta
– procedura obliczeniowa
obliczenie współrzędnych bieguna B przekształcenia
Transformacja sposobem Helmerta
– procedura obliczeniowa (c.d.)
obliczenie w obu układach przyrostów współrzędnych między
poszczególnymi punktami dostosowania a biegunem
Transformacja sposobem Helmerta
– procedura obliczeniowa (c.d.)
zestawienie formy rachunkowej i obliczenie współczynników
przekształcenia
obliczenie
w układzie pierwotnym przyrostów między
poszczególnymi parami sąsiednich punktów (rozpoczynając i
kończąc na biegunie) => suma przyrostów = 0
Transformacja sposobem Helmerta
– procedura obliczeniowa (c.d.)
obliczenie
w układzie wtórnym przyrostów między poszczególnymi
parami sąsiednich punktów (ciąg rozpoczynający się i kończący na
biegunie) => suma przyrostów = 0
obliczenie
w układzie wtórnym współrzędnych wszystkich punktów
Transformacja sposobem Helmerta
– inne kwestie
problem wyboru współrzędnych punktów dostosowania (podwójne
wartości – przed i po transformacji)
zwykle pozostawia się współrzędne pierwotne
skutek -
deformacja sieci przetransformowanych punktów
w celu minimalizacji tych deformacji
– tzw. poprawki Hausbrandta
do współrzędnych pierwotnych wszystkich punktów (z wyjątkiem
punktów dostosowania)
Transformacja sposobem Helmerta
– inne kwestie (c.d.)
ilustracja obliczania wag
ostateczne wartości współrzędnych transformowanych punktów
sieci pierwotnej (z pominięciem punktów dostosowania)