III. RENTY ŻYCIOWE
Rentą życiową nazywamy ciąg okresowych płatności dokonywanych w równych od-
stępach czasu od momentu zawarcia umowy rentowej do końca życia rentobiorcy lub
do końca kontraktu.
Czas trwania umowy rentowej może być ograniczony lub nieograniczony, a mo-
ment pierwszej wypłaty może nastąpić natychmiast po zawarciu umowy rentowej lub być
odroczony na pewien okres czasu.
Renty życiowe płatne są miesięcznie, kwartalnie lub rocznie.
W niniejszym rozdziale omówimy metody wyznaczania jednorazowej składki netto dla
rent życiowych. Dla zrozumienia wyprowadzanych wzorów niezbędna jest znajomość teo-
rii rent pewnych, o których najważniejsze informacje zamieszczono w dodatku A.
3.1. RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA PŁATNA NATYCHMIAST
Dla wyprowadzenia wzoru na jednorazową składkę netto renty życiowej płatnej
natychmiast z dołu wprowadzimy następujące założenia (por. Rozdział 2.1)
a) K - zmienna losowa oznaczająca liczbę pełnych lat życia od momentu zawarcia ubez-
pieczenia do momentu śmierci
b) raty renty życiowej są stałe i są równe jednostce pieniężnej (1zł, 1 tys. zł, 1mln zł)
c) w momencie zawierania umowy rentowej ubezpieczony jest w wieku x lat
d) r - techniczna stopa procentowa (r=0,05)
e) v = (1+r)
-1
- czynnik dyskontujący
Przyjmując wyżej zapisane założenia możemy stwierdzić, że wartość początkowa oma-
wianej renty życiowej jest kapitałem losowym określonym przez zmienną losową postaci
{
Y
v v
v
v
a
K
K r
1
2
3
=
+
+
+
+
=
⏐
. . .
(3.1)
dla K=1,2, . . . ,w-x
gdzie:
a
K r
⏐
- wartość początkowa renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przez K lat
(por. dodatek B)
v
-(1+r)
-1
- czynnik dyskontujący v+(1+r)
-1
60
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
jest związany z rozkładem dalszego
trwania życia i jest określony wzorem:
Pr
(
)
Pr (
)
ob Y
a
ob K
k
p q
k r
k x x k
1
=
=
=
=
+
(3.2)
dla k=0,1,2, ..., w-x.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
możemy zapisać w tablicy (por. roz-
kład zmiennej losowej S
1
)
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
k
0
1
2
. . . .
i
. . .
w-x
y
k
a
r
0
a
r
1
a
r
2
a
i r
. . . .
a
w x r
−
P(Y
1
=y
k
)
q
x
1
1
p q
x x
+
2
2
p q
x x
+
. . . .
i x x i
p q
+
. . . .
w x x w
p q
−
Porównując rozkłady zmiennych losowych S
1
i Y
1
zauważmy, że
Pr (
)
Pr (
)
ob Y
a
ob S
v
k r
k
1
1
1
=
=
=
+
(3.4)
dla k=0,1,2, ..., w-x.
Korzystając z wzoru na wartość początkową pewnej renty jednostkowej (por. dodatek A)
otrzymujemy:
Y
a
v
r
k r
k
1
1
=
= −
⏐
a stąd
v r Y
v S
⋅ ⋅
= −
1
1
co daje
Y
r
r
r
S
1
1
1
== −
1
+
(3.5)
Wzór (3.5) podaje relację między zmiennymi losowymi Y
1
i S
1
oraz pozwala wyznaczyć
jednorazową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z
dołu z wykorzystaniem jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia na wypa-
dek śmierci.
61
a
E Y
E
r
r
r
S
r
r
r
A
x
x
=
=
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − +
( )
1
1
1
1
1
1
1
(3.7)
a stąd po wprowadzeniu zależności (2.5) mamy
a
r
r
r
M
D
x
x
x
= − + ⋅
1
1
(3.8)
gdzie:
a
- jednorazowa składka netto jednostkowej renty życiowej płatnej natychmiast
z dołu
x
Wzór (3.5) pozwala również wyznaczyć wariancję zmiennej losowej Y
1
D Y
D
r
r
r
S
d
D S
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
( )
( )
=
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
(3.9)
gdzie: D
2
(S
1
) - oznacza wariancję jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia
na wypadek śmierci (por. 2.14)
d - równoważna stopa dyskontowa d=r(1+r)
-1
Wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y
1
(jednorazową składkę netto a
x
) może-
my również wyprowadzić korzystając bezpośrednio z definicji wartości oczekiwanej oraz
wzorów (3.1) i (3.2).
a
E Y
a
p q
x
k r
k
w x
k x x k
=
=
⏐
=
−
+
∑
( )
1
1
(3.10)
,który po przekształceniach przyjmuje postać
12
a
v
x
k
k
k
w x
x
=
p
=
−
∑
1
(3.11)
Korzystając z (3.11) możemy wyprowadzić kolejny wzór na jednostkową składkę netto
renty życiowej a
x
12
Wzór (3.11) można również otrzymać traktując zmienną losową Y
1
jako sumę zmiennych losowych S
3
-
ubezpieczenia na dożycie k=0,1,2, ...,w-x lat.
62
a
v
l
l
v
l
v l
x
k x k
x
k
w x
x k
x k
x
x
k
w x
=
=
+
=
−
+
+
=
−
∑
∑
1
1
a po wprowadzeniu liczb komutacyjnych (por. wzory 2.6 - 2.9) otrzymujemy:
a
D
D
N
D
x
x k
x
k
w x
x
x
=
=
+
=
−
+
∑
1
1
(3.12)
Wyżej przeprowadzone rozumowanie pozwala w prosty sposób wyznaczyć jedno-
razową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z góry.
Renta ta określona jest przez zmienną losową
r
1
K
K
3
2
1
a
v
...
v
v
v
1
Y
⏐
+
=
+
+
+
+
+
=
&&
&&
(3.13)
dla K=0,1,2, . . . , w-x o rozkładzie prawdopodobieństwa
k
x
x
k
r
1
k
1
q
p
)
k
K
(
ob
Pr
)
a
Y
(
ob
Pr
+
⏐
+
=
=
=
= &&
&&
(3.14)
dla k = 0,1,2,. . . w-x .
Porównując wzory (3.1) i (3.2) oraz (3.13) i (3.14) zauważymy prosty związek między
zmiennymi losowymi Y
1
oraz
1
Y&
&
1
1
Y
1
Y
+
=
&&
(3.15)
Konsekwencją zależności (3.15) są następujące wzory:
x
1
1
x
a
1
)
Y
(
E
1
)
Y
(
E
a
+
=
+
=
=
&&
&&
(3.16)
x
x
x
D
M
r
1
r
r
1
1
a
⋅
+
−
+
=
&&
(3.17)
x
x
x
D
N
a
=
&&
(3.18)
)
S
(
D
d
1
)
Y
(
D
)
Y
(
D
1
2
2
1
2
1
2
=
=
&&
(3.19)
Dla
zilustrowania
rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
1
sporządzono
rysunek 3.1, na którym umieszczono rozkład tej zmiennej dla przypadku mężczyzny i ko-
63
biety w wieku 40 lat oraz technicznej stopy procentowej r =0,05. Dane do rysunku wybra-
no z tablicy 1.1 oraz dodatku B.
Rys.3.1.JEDNOSTKOWA RENTA ŻYCIOWA
DOŻYWOTNIA PŁATNA NATYCHMIAST Z GÓRY.
ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA.
0,000000
0,005000
0,010000
0,015000
0,020000
0,025000
0,030000
0,035000
0,040000
0,
952
4,
329
7,
108
9,
394
11,
274
12,
821
14,
094
15,
141
16,
003
16,
711
17,
294
17,
774
18,
169
18,
493
18,
761
18,
980
OBECNA WARTOŚĆ RENTY w tys.zł.
PRAWDOPODOBIE
Ń
STW
A
WYP
Ł
ATY
Prob-Mężczyzna 40 lat
Prob-Kobieta 40 lat
W tablicy 3.1 zamieszczono wartość jednorazowej składki netto omawianej renty.
Tablica 3.1. Jednostkowa renta życiowa dożywotnia płatna natychmiast z góry.
Składka jednorazowa netto.
Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA
ubez.
w
latach
Składka
jednorazo-
wa w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka
jednorazowa
w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x A
x
D V A
x
D V
18 18,584 2,549
0,137
19,544
1,589
0,081
19 18,484 2,607
0,141
19,479
1,626
0,083
20 18,381 2,659
0,145
19,410
1,665
0,086
21 18,277 2,705
0,148
19,338
1,708
0,088
22 18,171 2,746
0,151
19,262
1,753
0,091
23 18,061 2,785
0,154
19,183
1,802
0,094
24 17,946 2,826
0,157
19,099
1,853
0,097
25 17,825 2,873
0,161
19,012
1,909
0,100
26 17,698 2,927
0,165
18,920
1,967
0,104
27 17,563 2,987
0,170
18,825
2,029
0,108
28 17,423 3,051
0,175
18,724
2,093
0,112
29 17,276 3,118
0,180
18,620
2,159
0,116
30 17,125 3,186
0,186
18,511
2,226
0,120
31 16,968 3,255
0,192
18,397
2,294
0,125
64
32 16,805 3,323
0,198
18,279
2,364
0,129
33 16,638 3,392
0,204
18,156
2,434
0,134
34 16,464 3,462
0,210
18,029
2,505
0,139
35 16,286 3,531
0,217
17,896
2,575
0,144
36 16,102 3,599
0,223
17,759
2,646
0,149
37 15,913 3,666
0,230
17,617
2,717
0,154
38 15,719 3,732
0,237
17,470
2,786
0,159
39 15,520 3,796
0,245
17,317
2,855
0,165
40 15,315 3,859
0,252
17,160
2,921
0,170
41 15,106 3,921
0,260
16,998
2,987
0,176
42 14,892 3,980
0,267
16,830
3,050
0,181
43 14,673 4,037
0,275
16,658
3,112
0,187
44 14,451 4,089
0,283
16,479
3,172
0,192
45 14,226 4,137
0,291
16,295
3,230
0,198
46 13,998 4,179
0,299
16,106
3,286
0,204
47 13,768 4,216
0,306
15,911
3,339
0,210
48 13,535 4,248
0,314
15,709
3,391
0,216
49 13,297 4,276
0,322
15,500
3,444
0,222
50 13,056 4,303
0,330
15,283
3,499
0,229
Z analizy danych zawartych w tablicy 3.1 wynika, że omawiana renta (zmienna
losowa
) charakteryzuje się relatywnie małą zmiennością. Dla ilustracji danych zawar-
tych w tablicy 3.1 sporządzono rysunek 3.2.
1
Y&
&
Rys.3.2.JEDNOSTKOWA RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA
PŁATNA NATYCHMIAST Z GÓRY. SKŁADKA JEDNORAZOWA
NETTO.
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
WYSOKO
ŚĆ
SK
Ł
ADK
I
w tys.z
ł.
Składka ax-mężczyzna
Składka ax-kobieta
65
66
3.1. RENTA ŻYCIOWA TERMINOWA PŁATNA PRZEZ N LAT
Rentą życiową terminową płatną przez n lat nazywamy ciąg corocznych płatności,
który wygasa w momencie śmierci rentobiorcy lub po upływie n lat.
Przyjmując założenia poczynione w rozdziale 3.1. możemy wartość początkową
omawianej renty życiowej płatnej z dołu zdefiniować jako kapitał losowy określany przez
zmienną losową
Y
a
dla K
n
a
dla K n
K r
n r
2
0 1 2
1
=
=
−
≥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⏐
, , ,...
|
(3.19)
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Pr (
) Pr
(
)
ob Y
a
ob K k
p q
k r
k x x k
2
=
=
=
=
⏐
+
(3.20)
Pr (
) Pr
(
)
ob Y
a
ob K k
p
n r
n x
2
=
=
≥
=
⏐
(3.21)
gdzie: n - kontraktowy termin wypłacania renty.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
2
możemy zapisać w tablicy
(por. rozkład zmiennej S
4
)
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
2
k
0
1
2
. . . .
n-1
n
y
k
a
r
0
a
r
1
a
r
2
a
n
r
−1
a
n r
P(Y
2
=y
k
)
q
x
1
1
p q
x x
+
2
p q
x x
+2
−
. . . .
n
x x n
p q
−
+
1
1
n x
p
Porównując rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Y
2
i S
4
(por. rozdział 2.4)
zauważymy, że
Y
a
v
r
k r
k
2
1
=
= −
⏐
co daje
v r Y
v S
⋅ ⋅
= −
2
4
67
a stąd (por.3.5)
Y
r
r
r
S
2
1
1
== −
4
+
(3.22)
a
E Y
E
r
r
r
S
x n
:
( )
=
=
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
4
1
1
a
r
r
r
A
x n
x n
:
= −
:
+
1
1
(3.23)
Z zależności (3.22) możemy również wyprowadzić wariancję zmiennej losowej Y
2
.
D Y
d
D S
2
2
2
2
4
1
( )
( )
==
(3.24)
Gdzie: d - równoważna stopa dyskontowa d = r(1+r)
-1
.
Jeżeli natomiast posłużymy się definicją wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y
2
, to
otrzymujemy
a
E Y
a
p q
a
x n
k r k
k
n
x x k
n r n x
:
|
( )
⏐
⏐
p
=
−
+
=
=
+
⋅
∑
2
0
1
(3.25)
Po przekształceniu wzoru (3.25) mamy:
a
E Y
v
x n
k
k
n
k x
:
( )
⏐
p
=
−
=
=
∑
2
0
1
(3.26)
Po wprowadzeniu funkcji tablicowych i liczb komutacyjnych do wzoru (3.26) otrzymuje-
my:
a
v
l
l
v
l
v l
D
D
D
D
D
D
x n
k x k
x
k
n
x k
x k
x
x
k
n
x k
x
k
n
x k
x
x k
x
k n
w x
k
w x
:
⏐
+
=
−
+
+
=
−
+
=
+
+
= +
−
=
−
=
=
=
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
0
1
0
1
1
1
1
=
Ostatecznie (por 2.9)
a
N
N
D
x n
x
x n
x
:
⏐
+
+
=
+
−
1
1
(3.27)
W podobny sposób możemy wyprowadzić wzór opisujący jednostkową terminową rentę
życiową płatną przez n lat z góry
68
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
=
=
⏐
+
n
K
dla
a
1
n
,...
2
,
1
,
0
K
dla
a
Y
r|
n
1
K
2
&&
&&
&&
(3.28)
o rozkładzie prawdopodobieństwa
k
x
x
k
r
1
k
2
q
p
)
k
K
(
ob
Pr
)
a
Y
(
ob
Pr
+
⏐
+
=
=
=
= &&
&&
(3.29)
dla k=0,1,2, . . . n-2
x
n
|
n
2
p
)
1
n
K
(
ob
Pr
)
a
Y
(
ob
Pr
=
−
≥
=
= &&
&&
(3.30)
dla k=n-1
Porównując wzory (3.19 - 3.21) z wzorami (3.28-3.30) zauważymy, że
(3.31)
)
1
n
(
2
2
Y
1
Y
−
+
=
&&
gdzie:
- oznacza jednostkową rentę życiową płatną z dołu przez n-1 lat
Y
n
2
1
(
− )
,a stąd otrzymujemy następujące zależności dla zmiennej losowej
- jednostkowej ter-
minowej renty życiowej płatnej przez n lat z góry
2
Y&
&
⏐
−
−
⏐
+
=
+
=
=
1
n
:
x
)
1
n
(
1
2
n
:
x
a
1
)
Y
(
E
1
)
Y
(
E
a
&&
&&
(3.31)
x
n
x
x
n
:
x
D
N
N
a
+
⏐
−
=
&&
(3.32)
Można również wykazać następujący związek między zmiennymi losowymi
oraz S
2
Y&
&
4
d
S
1
Y
4
2
−
=
&&
(3.34)
z którego wynika, że
d
A
1
a
4
n
:
x
n
:
x
⏐
⏐
−
=
&&
(3.34)
oraz, że
)
S
(
D
d
1
)
Y
(
D
4
2
2
2
2
=
&&
(3.35)
69
gdzie: d - równoważna stopa dyskontowa d = r(1+r)
-1
.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
zilustrowano na rysunku 3.3, który
wykonano na podstawie danych zawartych w tablicy 2.10, dodatku B, technicznej stopy
procentowej r=0,05 oraz przy założeniu, że 25 letnia renta życiowa oferowana jest męż-
czyźnie lub kobiecie w wieku 40 lat.
2
Y&
&
Rys.3.3.JEDNOSTKOWA TERMINOWA RENTA ŻYCIOWA
PŁATNA Z GÓRY PRZEZ 25 LAT.
ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
0,700000
0,800000
0,900000
1,
000
2,
859
4,
546
6,
076
7,
463
8,
722
9,
863
10,
899
11,
838
12,
690
13,
462
14,
163
14,
799
OBECNA WARTOŚĆ RENTY w tys.zł.
PRAWDOPODOBIE
Ń
STW
O
WYP
Ł
ATY
Prob-mężczyzna 40 lat
Prob- kobieta 40 lat
W tablicy 3.2 zamieszczono wyliczenia jednorazowej składki netto jednostkowej
terminowej renty życiowej płatnej z góry przez 25 lat dla mężczyzny i kobiety w wieku od
18 do 50 lat.
70
Tablica 3.2. Jednostkowa terminowa renta życiowa płatna z góry przez 25 lat.
Wiek MĘŻCZYZNA KOBIETA
ubez.
w
latach
Składka
jednorazo-
wa w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka
jednorazowa
w tys. zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x A
x
D V A
x
D V
18 14,538 1,378
0,095
14,727
0,719
0,049
19 14,520 1,424
0,098
14,723
0,732
0,050
20 14,503 1,465
0,101
14,717
0,748
0,051
21 14,485 1,499
0,103
14,711
0,768
0,052
22 14,468 1,528
0,106
14,704
0,790
0,054
23 14,449 1,554
0,108
14,696
0,817
0,056
24 14,427 1,584
0,110
14,686
0,847
0,058
25 14,402 1,621
0,113
14,675
0,883
0,060
26 14,373 1,667
0,116
14,663
0,923
0,063
27 14,339 1,721
0,120
14,650
0,967
0,066
28 14,301 1,782
0,125
14,635
1,015
0,069
29 14,260 1,849
0,130
14,618
1,066
0,073
30 14,214 1,918
0,135
14,600
1,120
0,077
31 14,165 1,991
0,141
14,580
1,177
0,081
32 14,111 2,066
0,146
14,559
1,236
0,085
33 14,054 2,144
0,153
14,536
1,298
0,089
34 13,991 2,225
0,159
14,511
1,361
0,094
35 13,924 2,308
0,166
14,484
1,426
0,098
36 13,852 2,393
0,173
14,454
1,493
0,103
37 13,774 2,480
0,180
14,423
1,561
0,108
38 13,691 2,569
0,188
14,389
1,630
0,113
39 13,603 2,658
0,195
14,352
1,700
0,118
40 13,508 2,748
0,203
14,313
1,771
0,124
41 13,407 2,840
0,212
14,271
1,842
0,129
42 13,300 2,932
0,220
14,225
1,913
0,134
43 13,187 3,024
0,229
14,176
1,985
0,140
44 13,068 3,114
0,238
14,123
2,057
0,146
45 12,944 3,200
0,247
14,065
2,130
0,151
46 12,814 3,283
0,256
14,002
2,202
0,157
47 12,680 3,361
0,265
13,933
2,275
0,163
48 12,538 3,436
0,274
13,858
2,349
0,170
49 12,390 3,509
0,283
13,774
2,428
0,176
50 12,233 3,581
0,293
13,682
2,511
0,184
71
Dla ilustracji danych zawartych w tablicy 3.2 sporządzono rysunek 3.4
Rys.3.4.JEDNOSTKOWA TERMINOWA RENTA ŻYCIOWA
PŁATNA Z GÓRY PRZEZ 25 LAT. JEDNORAZOWA SKŁADKA
NETTO.
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
WARTO
ŚĆ
RENTY w
tys.z
ł.
Składka ax-mężczyzna
Składka ax-kobieta
72