WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 6

1

Zadanie 1
Rozwiązać następujące równania różniczkowe:

a) y

0

= (t + 1)y

b) (1 + t

2

)y

0

+ 9y = 0

c)

dy

dx

= y(x sin x − cos x)

d) y

0

+

2y

x

=

cos x

x

2

e) xy

0

+ (1 + x)y = e

−x

sin 2x

f) y

0

= x + 2y + xy + 2

g)

dx

dy

= x + y

h) (1 + x

2

)

dy

dx

+ y = arc tg x

i)

dy

dx

+ y = (2x

2

+ 6x + 6)e

x

+ 4e

3x

j) xy

0

+ y =

1

y

2

k) xy

0

+ y = 2xy

2

l) y

0

+ 2y +

4

y

= 0

m) y

0

+ y =

5 sin x

y

n) yx

0

+ x =

1

2

x

2

y

o) 2xy

0

− y = y

3

cos x

Zadanie 2
Rozwiązać następujące zagadnienia początkowe:

a) y

0

= 2y + e

t

− t, y(0) =

1

4

b) xy

0

+ y = xe

x

2

, y(1) = 2

c) y

0

− y tg x = sin x, y(0) = −

1

2

d) y

0

+

y

x

= 2 ln x + 1, y(1) = 0

e) y

0

−

xy

2(x

2

− 1)

=

x

2y

, y(0) = 1

f) y

0

+ yx = xy

−3

, y(0) = −2

g) y

1
2

y

0

+ y

3
2

= 1, y(0) = 4

h) y

0

+

y

x

=

1

x

3

y

3

, y(1) = −1

Odpowiedzi: 1. a) y = Ce

1
2

t

2

+t

, C ∈ R, b) y = Ce

−9arc tg t

, C ∈ R, c) y = Ce

−x cos x

, C ∈ R, d)

y =

1

x

2

sin x + C

1

x

2

, C ∈ R, e) y = −

1

2x

e

−x

cos 2x + C

1

x

e

−x

, C ∈ R, f ) y = −1 + Ce

1
2

(2+x)

2

, C ∈ R, g)

x = −y−1+Ce

y

, C ∈ R, h) y = arc tg x−1+Ce

−arc tg x

, C ∈ R, i) y = (x

2

+2x+2)e

x

+e

3x

+Ce

−x

, C ∈ R,

j) y

3

= 1 +

C

x

3

, C ∈ R, k) y ≡ 0 lub y

−1

= −2x ln |x| + Cx, C ∈ R, l) y = ±

p

−2 + Ce

−4x

, C ∈

R, m) y = ±

p

4 sin x − 2 cos x + Ce

−2x

, C ∈ R, n) x =

1

−

1
2

y ln |y| + Cy

, C ∈ R lub x ≡ 0, o)

y = ±

r

x

C − sin x

, C ∈ R lub y ≡ 0; 2. a) y = −e

t

+

1

2

t+

1

4

+e

2t

, t ∈ R, b) y =

1

2x

e

x

2

+

4 − e

2x

, x ∈ (0, ∞),

c) y = −

1

2

cos x, x ∈



−

π

2

,

π

2



, d) y = x ln x, x ∈ (0, ∞), e) y =

q

x

2

− 1 + 2

p

1 − x

2

, x ∈ (−1, 1), f )

y = −

4

q

1 + 15e

−2x

2

, x ∈ R, g) y =



1 + 7e

−

3
2

x



2
3

, x ∈ R, h) y = −

4

√

2x

2

− 1

x

, x ∈

 

√

2

2

, ∞

!

.