Funkcje wielu zmiennych IV
Twierdzenie (Równo ci Schwarza)
Dla odwzorowa
n
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ →
, które maj drug ró niczk w punkcie
P A,
∈
∈
∈
∈
zachodz równo ci:
2
2
1 2
i
j
j
i
f
f
( P )
( P ), i, j
, ,...,n, i j
x x
x x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
≠
=
=
≠
=
=
≠
=
=
≠
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
Odwzorowanie
n
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ → jest klasy
m
C ,m ∈
∈
∈
∈
w zbiorze A, gdy jest ci głe
wraz ze wszystkimi swoimi pochodnymi cz stkowymi a do rz du
m wł cznie w A.
Twierdzenie (Taylora)
Niech
[[[[
]]]]
n
n
A top
, h
, P A, P h A, P ,P h
A
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
, (tzn. odcinek
[[[[
]]]]
P ,P h
++++
ł cz cy punkty
P , P h
++++
zawiera si w
A
). Je eli
f : A →
→
→
→
jest klasy
1
m
C
−−−−
w
A
oraz dla ka dego
x
nale cego do odcinka
((((
))))
P ,P h
++++
istnieje
m
x
d f ,
to istnieje
(((( ))))
0 1
,
α ∈
∈
∈
∈
takie, e
2
1
1
1
1
2
1
( m )
( m )
P
P
P
P
h
f ( P h ) f ( P ) d f ( h )
d f ( h ) ...
d
f ( h )
d
f ( h )
!
( m
)!
m !
α
−−−−
++++
+
=
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ +
+
−−−−
Twierdzenie (Taylora z reszt Paeano)
Niech
[[[[
]]]]
n
n
A top
, h
, P A, P h A, P ,P h
A
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
∈
∈
∈
+ ∈
+
⊂
. Je eli
f : A →
→
→
→
jest klasy
1
m
C
−−−−
w
A oraz istnieje
m
P
d f ,
to
2
1
1
1
1
2
1
( m )
( m )
m
P
P
P
P
f ( P h ) f ( P ) d f ( h )
d f ( h ) ...
d
f ( h )
d
f ( h )
( P ,h )|| h ||
!
( m
)!
m !
ω
−−−−
+
=
+
+
+ +
+
+
+
=
+
+
+ +
+
+
+
=
+
+
+ +
+
+
+
=
+
+
+ +
+
+
−−−−
gdzie
0
0
||h||
( P ,h )
ω
→
→
→
→
→
→
→
→
Uwaga (o ekstremach lokalnych)
Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych definiuje si analogicznie jak ekstrema lokalne
funkcji jednej zmiennej, tzn.
n
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ → ma w punkcie P A
∈
∈
∈
∈ maksimum (minimum) lokalne, gdy
0
0
Q S( P , ) A f ( P ) f ( Q )
δ
δ
∃ >
∀ ∈
∩
−
>
∃ >
∀ ∈
∩
−
>
∃ >
∀ ∈
∩
−
>
∃ >
∀ ∈
∩
−
>
0
( f ( P ) f ( Q )
)
−
<
−
<
−
<
−
<
Twierdzenie (WK istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych)
Je eli
n
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ →
jest ró niczkowalna w punkcie
P A
∈
∈
∈
∈
i ma w tym punkcie
ekstremum lokalne, to dla ka dego
i = 1,…,n
0
i
f
( P )
x
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
Definicja (formy kwadratowej)
Funkcj
n
g :
→
→
→
→ okre lon wzorem
(((( ))))
1
1 2
n
ij i j
ij
ij
ji
i , j
g h
a h h , a
, a
a , i, j
, ,...,n
====
=
∈
=
=
=
∈
=
=
=
∈
=
=
=
∈
=
=
nazywa si
form kwadratow .
Forma kwadratowa
g jest
(i)
dodatnio okre lona, gdy g(h) > 0 dla
0
h ≠≠≠≠
(ii)
ujemnie okre lona, gdy g(h) < 0 dla
0
h ≠≠≠≠
(iii)
nieokre lona, gdy g przyjmuje warto ci dodatnie i ujemne
Uwaga
Je eli
n
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ →
jest dwukrotnie ró niczkowalna w
P A,
∈
∈
∈
∈
to
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
2
2
1
n
n
P
i j
i , j
i
j
f
g h
d f h
P h h , h
x x
====
∂∂∂∂
=
=
∈
=
=
∈
=
=
∈
=
=
∈
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
jest form kwadratow .
Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych)
Niech
n
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ →
b dzie dwukrotnie ró niczkowalna w
P A
∈
∈
∈
∈
oraz dla ka dego
i = 1,…,n
0
i
f
( P )
x
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
.
(i) Je eli
2
0
0
P
d f ( h )
, h
,
<
≠
<
≠
<
≠
<
≠
to
f ma w punkcie P maksimum lokalne
(ii) Je eli
2
0
0
P
d f ( h )
, h
,
>
≠
>
≠
>
≠
>
≠
to
f ma w punkcie P minimum lokalne
(iii) Je eli
2
P
d f
jest form kwadratow nieokre lon , to
f nie ma w punkcie P ekstremum
lokalnego
Twierdzenie (Sylvestera)
Niech
11
1
1
1 2
k
k
k
kk
a
... a
A
det .... ... .... , k
, ,...,n
a
... a
=
=
=
=
=
=
=
=
(i) Forma
g jest dodatnio okre lona wtedy i tylko wtedy, gdy
1 2
k
, ,...,n
∀ =
∀ =
∀ =
∀ =
0
k
A >>>>
.
(ii) Forma
g jest ujemnie okre lona wtedy i tylko wtedy, gdy
1 2
k
, ,...,n
∀ =
∀ =
∀ =
∀ =
(((( ))))
1
0
k
k
A
−
>
−
>
−
>
−
>
.
(iii) Forma
g jest nieokre lona, gdy nie zachodzi (i) ani (ii).
Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji dwóch zmiennych)
Niech
2
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ →
ma ci głe pochodne cz stkowe drugiego rz du w otoczeniu
punktu
0
0
P ( x , y ).
====
Niech
0
0
0
f ( x , y )
x
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
i
0
0
0
f
( x , y )
y
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
oraz
2
2
0
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0
0
0
2
f
f
( x , y )
( x , y )
x
x y
W ( x , y ) : det
f
f
( x , y )
( x , y )
x y
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
====
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
(i) Je eli
0
0
0
W ( x , y ) >>>>
i
2
0
0
2
0
f
( x , y )
,
x
∂∂∂∂
<<<<
∂∂∂∂
to
f ma w P maksimum lokalne.
(ii) Je eli
0
0
0
W ( x , y ) >>>>
i
2
0
0
2
0
f ( x , y ) ,
x
∂∂∂∂
>>>>
∂∂∂∂
to
f ma w P minimum lokalne.
(iii) Je eli
0
0
0
W ( x , y )
,
<<<<
to
f nie ma w P ekstremum lokalnego.
(iv) Je eli
0
0
0
W ( x , y )
,
====
to ekstremum badamy z definicji.
Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji trzech zmiennych)
Niech
3
f : top
A
∋ →
∋ →
∋ →
∋ →
ma ci głe pochodne cz stkowe drugiego rz du w otoczeniu
punktu
0
0 0
,
P ( x , y z ).
====
Niech
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
f
f
f
( x , y ,z )
,
( x , y ,z )
,
( x , y ,z )
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
oraz
2
1
0
0
0
0
0
0
2
f
A ( x , y ,z ) :
( x , y ,z )
x
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
2
f
f
( x , y ,z )
( x , y ,z )
x
x y
A ( x , y ,z ) : det
f
f
( x , y ,z )
( x , y ,z )
x y
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
====
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
f
f
f
( x , y ,z )
( x , y ,z )
( x , y ,z )
x
x y
x z
f
f
f
A ( x , y ,z ) : det
( x , y ,z )
( x , y ,z )
( x , y ,z )
x y
y
y z
f
f
f
( x , y ,z )
( x , y ,z )
( x , y ,z )
x z
y z
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
====
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
(i) Je eli
0
0
0
0
1 2 3
i
A ( x , y ,z )
,i
, , ,
>
=
>
=
>
=
>
=
to
f ma min lokalne w P.
(ii) Je eli
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
A ( x , y ,z )
, A ( x , y ,z )
, A ( x , y ,z )
,
<
>
<
<
>
<
<
>
<
<
>
<
to
f ma maksimum
lokalne w
P.
