Analiza matematyczna 1
Notatki do wykªadu
Mateusz Kwa±nicki
5 Ci¡gi liczbowe
De nicja. Niech (a
n
)
b¦dzie ci¡giem liczbowym. Mówimy, »e:
•
ci¡g (a
n
)
jest rozbie»ny do niesko«czono±ci ( lim
n→∞
a
n
= ∞
), je±li
dla ka»dego K ∈ R istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi a
n
> K;
•
ci¡g (a
n
)
jest rozbie»ny do minus niesko«czono±ci ( lim
n→∞
a
n
= −∞
), je±li
dla ka»dego K ∈ R istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi a
n
< K.
Uwaga. Cz¦sto mówi si¦ o ci¡gach zbie»nych do ±∞. Bez dodatkowego komentarza jest to
niepoprawne. Mo»na jednak mówi¢ o granicach niewªa±ciwych; wtedy przez ci¡g zbie»ny
do ±∞ mo»na w domy±le rozumie¢ ci¡g zbie»ny do granicy niewªa±ciwej ±∞.
Mo»na te» rozwa»a¢ zbiór R
∗
= R ∪ {−∞, ∞}
i okre±li¢ na nim metryk¦ w odpowiedni sposób, na przykªad
nast¦puj¡co:
d
∗
(x, y) = |f (x) − f (y)|,
gdzie f : R
∗
→ R
, f(x) =
x
1+|x|
dla x ∈ R, f(∞) = 1, f(−∞) = −1. Mo»na udowodni¢, »e ci¡g liczbowy
(a
n
)
jest zbie»ny do granicy (wªa±ciwej lub niewªa±ciwej) g ∈ R
∗
wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbie»ny do g w
metryce d
∗
, cz¦±ciowo mówi o tym poni»sze twierdzenie.
Twierdzenie. Ci¡g (a
n
)
jest rozbie»ny do niesko«czono±ci wtedy i tylko wtedy, gdy
a
n
1+|a
n
|
jest zbie»ny do 1.
Podobnie lim
n→∞
= −∞
wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞
a
n
1+|a
n
|
= −1
.
Dowód. Zauwa»my, »e:
1 −
x
1 + |x|
=
1
1 + x
,
x > 0.
St¡d je±li ε > 0, a
n
>
1
ε
, to
1 −
a
n
1+|a
n
|
<
1
1+ε
−1
< ε
, czyli je±li lim
n→∞
= ∞
, to lim
n→∞
arctan a
n
=
π
2
.
Podobnie je±li M > 0,
1 −
a
n
1+|a
n
|
<
1
M +1
, to a
n
> M
, co daje implikacj¦ w drug¡ stron¦.
Druga cz¦±¢ twierdzenia ma analogiczny dowód.
Przykªad 1. Ci¡g (a
n
)
dany wzorem a
n
= 3
n
+ (−2)
n
jest rozbie»ny do niesko«czono±ci. W
istocie, niech K ∈ R. Wybierzmy liczb¦ naturaln¡ N > K + 1. Dla n ≥ N mamy
a
n
≥ 3
n
− 2
n
≥ 3 · 2
n−1
− 2
n
= 2
n−1
> n − 1 > K.
Twierdzenie. Ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny. ci±lej:
•
Ka»dy ci¡g niemalej¡cy jest zbie»ny (gdy jest ograniczony z góry) lub jest rozbie»ny do
niesko«czono±ci (gdy jest nieograniczony z góry). Je±li jest zbie»ny, to granic¡ jest kres
górny zbioru wyrazów ci¡gu.
•
Ka»dy ci¡g nierosn¡cy jest zbie»ny (gdy jest ograniczony z doªu) lub jest rozbie»ny do
minus niesko«czono±ci (gdy jest nieograniczony z doªu). Je±li jest zbie»ny, to granic¡ jest
kres dolny zbioru wyrazów ci¡gu.
1
Dowód. Niech (a
n
)
b¦dzie ci¡giem niemalej¡cym. Je±li A = {a
n
: n ∈ N}
jest nieograniczony
z góry, to dla ka»dego K ∈ R istnieje wyraz a
N
taki, »e a
N
> K
. Wówczas dla wszystkich
n ≥ N
zachodzi a
n
≥ a
N
> K
, zatem lim
n→∞
a
n
= ∞
. Je±li A jest ograniczony z góry, to niech
g = sup A
. Wówczas g − ε nie jest ograniczeniem górnym A, wi¦c dla ka»dego ε > 0 istnieje
wyraz a
N
taki, »e a
N
> g − ε
i wobec tego a
n
> g − ε
dla wszystkich n ≥ N. Z drugiej strony
a
n
≤ g < g + ε
i ostatecznie |a
n
− g| < ε
dla n ≥ N.
Dowód drugiego stwierdzenia jest analogiczny.
Przykªad 2. Niech a
1
= 2
, a
n+1
= a
n
+
1
a
n
− 1
. Wówczas a
n
≥ 1
(bo x+
1
x
≥ 2
) oraz a
n+1
< a
n
.
Zatem ci¡g (a
n
)
jest malej¡cy i ograniczony, przez co zbie»ny.
Niech b
1
= 1
, b
n+1
=
√
2 + b
n
. Wówczas b
n
< 2
dla wszystkich n (dowód indukcyjny) oraz
b
n+1
=
p
2 + b
n
>
p
2b
n
> b
n
,
a wi¦c ci¡g (b
n
)
jest rosn¡cy i ograniczony. Wobec tego jest zbie»ny.
Niech c
n
= 1
, c
n+1
= (1 −
1
n
2
) c
n
+ 1
. Wówczas c
n
≤ n
(dowód indukcyjny), przez co
c
n+1
≥ c
n
, wi¦c (c
n
)
jest niemalej¡cy. Poni»ej dowiedziemy, »e nie jest zbie»ny, wi¦c nie jest
ograniczony.
De nicja. Niech (a
n
)
b¦dzie ci¡giem liczbowym. Okre±lamy granic¦ górn¡ oraz granic¦
doln¡ ci¡gu (a
n
)
wzorami
lim sup
n→∞
a
n
= lim
n→∞
sup {a
k
: k ≥ n}
;
lim inf
n→∞
a
n
= lim
n→∞
inf {a
k
: k ≥ n}
.
W przypadku, gdy która± z granic po prawej stronie jest niewªa±ciwa, mówimy o niewªa±ciwej
granicy górnej lub dolnej.
Stosuje si¦ równie» oznaczenie lim na granic¦ górn¡ oraz lim na granic¦ doln¡.
Uwaga. Na mocy twierdzenia poprzedzaj¡cego de nicj¦, granice (wªa±ciwe lub nie) w de nicji
lim sup
i lim inf istniej¡ i ponadto
lim sup
n→∞
a
n
= inf
n
sup {a
k
: k ≥ n} : n ∈ N
o
;
lim inf
n→∞
a
n
= sup
n
inf {a
k
: k ≥ n} : n ∈ N
o
.
W ten sposób mo»na zde niowa¢ granic¦ górn¡ i granic¦ doln¡ ci¡gu liczbowego, a tak»e (na
mocy twierdzenia nieco poni»ej) jego granic¦, nie u»ywaj¡c kwanty katorów.
Podobnie jak granica, równie» granica górna i granica dolna ci¡gu nie zale»¡ od sko«czonej
liczby wyrazów ci¡gu.
Twierdzenie. Niech K ∈ R. Je±li a
n
≥ b
n
dla prawie wszystkich n, to równie» lim inf
n→∞
a
n
≥
lim inf
n→∞
b
n
oraz lim sup
n→∞
a
n
≥ lim sup
n→∞
b
n
Dowód. Zaªó»my, »e a
n
≥ b
n
dla wszystkich n ∈ N. Wtedy inf {a
k
: k ≥ n} ≥ inf {a
k
: k ≥ n}
dla n ∈ N, a wi¦c lim inf
n→∞
a
n
≥ lim inf
n→∞
b
n
. Poniewa» granica dolna ci¡gu nie zale»y od
jego pierwszych N wyrazów, teza jest prawdziwa równie» gdy a
n
≥ b
n
dla n ≥ N. Drugiego
stwierdzenia dowodzi si¦ podobnie.
Twierdzenie. Ci¡g liczbowy (a
n
)
jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf
n→∞
a
n
=
lim sup
n→∞
a
n
, i wówczas lim inf
n→∞
a
n
= lim sup
n→∞
a
n
= lim
n→∞
a
n
. Twierdzenie to mo»na
rozszerzy¢ na przypadek granic niewªa±ciwych.
2
Dowód. Zaªó»my, »e lim inf
n→∞
a
n
= lim sup
n→∞
a
n
= g
. Niech ε > 0. Wówczas dla prawie
wszystich n:
g − ε < inf {a
k
: k ≥ n} ≤ a
n
≤ sup {a
k
: k ≥ n} < g + ε,
czyli lim
n→∞
a
n
= g
.
Je±li (a
n
)
jest zbie»ny do g i ε > 0, to g − ε ≤ a
n
≤ g + ε
dla prawie wszystkich n, sk¡d
g − ε ≤ lim inf
n→∞
a
n
≤ g + ε
. St¡d lim inf
n→∞
a
n
= g
. Analogicznie post¦pujemy dla granicy
górnej.
Przypadek granic niewªa±ciwych jest analogiczny.
Wniosek. Je±li (a
n
)
i (b
n
)
s¡ zbie»ne i a
n
≤ b
n
dla prawie wszystkich n, to lim
n→∞
a
n
≤
lim
n→∞
b
n
.
Wniosek. Dla dowolnego ci¡gu liczbowego (a
n
)
, lim inf
n→∞
a
n
≤ lim sup
n→∞
a
n
.
Wniosek. Je±li |a
n
−g| < b
n
dla prawie wszystkich n, za± lim
n→∞
b
n
= 0
, to lim
n→∞
a
n
= g
.
Wniosek (twierdzenie o trzech ci¡gach). Je±li a
n
≤ b
n
≤ c
n
i ci¡gi (a
n
)
i (c
n
)
s¡ zbie»ne do tej
samej granicy g, to równie» (b
n
)
jest zbie»ny do g.
Wniosek (twierdzenie o dwóch ci¡gach). Je±li a
n
≤ b
n
i ci¡g (a
n
)
jest rozbie»ny do niesko«-
czono±ci, to równie» (b
n
)
jest rozbie»ny do niesko«czono±ci.
De nicja. Element g nazywamy punktem skupienia ci¡gu (a
n
)
, je±li istnieje podci¡g (a
k
n
)
ci¡gu (a
n
)
zbie»ny do g.
Twierdzenie. Granica górna i granica dolna ci¡gu (a
n
)
, je±li s¡ granicami wªa±ciwymi, s¡
punktami skupienia ci¡gu (a
n
)
.
Dowód. Przyjmijmy, »e lim sup
n→∞
a
n
= g
. Skonstruujemy ci¡g k
n
indukcyjnie. Niech k
1
= 1
.
Przypu±¢my, »e znana jest ju» warto±¢ k
n
. Okre±lamy k
n+1
nast¦puj¡co.
Istnieje N takie, »e dla wszystkich j ≥ N zachodzi
g ≤ sup {a
i
: i ≥ j} < g +
1
n
.
Niech j = max(N, k
n
+ 1)
. Istnieje wi¦c i ≥ j takie, »e
g −
1
n
< a
i
< g +
1
n
.
Okre±lamy k
n+1
= i
.
Z konstrukcji wynika, »e (k
n
)
jest rosn¡cym ci¡giem liczb naturalnych oraz |a
k
n
− g| <
1
n−1
dla wszystkich n ≥ 2. St¡d a
k
n
→ g
.
Wniosek (twierdzenie Bolzano-Weierstrassa). Z ka»dego ciagu ograniczonego mo»na wybra¢
podci¡g zbie»ny (np. do granicy górnej lub granicy dolnej).
Uwaga. Przestrze« metryczn¡ X o tej wªasno±ci, »e ka»dy ci¡g elementów X zawiera podci¡g zbie»ny, nazywa
si¦ przestrzeni¡ zwart¡. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa mówi, »e ka»dy ograniczony przedziaª domkni¦ty
jest zbiorem zwartym.
Wniosek. Niech (a
n
)
b¦dzie podstawowym ci¡giem liczbowym. Wówczas (a
n
)
jest ograniczony,
a wi¦c zawiera podci¡g zbie»ny. Wynika st¡d, »e (a
n
)
jest zbie»ny.
Uwaga. Je±li w przestrzeni metrycznej ka»dy ci¡g podstawowy jest zbie»ny, to przestrze« nazywamy zupeªn¡.
Zbiór liczb rzeczywistych z metryk¡ moduª ró»nicy jest wi¦c przestrzeni¡ zupeªn¡.
3
Przykªad 3. Niech
a
n
=
1
1
2
−
1
2
2
+
1
3
2
−
1
4
2
+ ... +
(−1)
n+1
n
2
.
Wówczas dla k, l ∈ N, k ≤ l, zachodzi:
|a
k
− a
l
| =
(−1)
k+1
k
2
+
(−1)
k+2
(k + 1)
2
+
(−1)
k+3
(k + 2)
2
+ ... +
(−1)
l+1
l
2
=
1
k
2
−
1
(k + 1)
2
+
1
(k + 2)
2
+ ... +
(−1)
l−k
l
2
.
Wyra»enie pod warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡ jest nieujemne (mo»na to zauwa»y¢, ª¡cz¡c kolejne pary
wyrazów: suma ka»dej pary jest nieujemna); ponadto nie przekracza warto±ci pierwszego wy-
razu (znów ª¡czymy kolejne pary wyrazów, ale tym razem pomijaj¡c pierwszy wyraz). St¡d
|a
k
− a
l
| ≤
1
k
2
.
W ogólno±ci, dla wszystkich k, l ∈ N mamy zatem
|a
k
− a
l
| ≤
1
min(k
2
, l
2
)
.
Je±li wi¦c k, l >
1
√
ε
, to |a
k
− a
l
| < ε
, a wi¦c (a
n
)
jest ci¡giem podstawowym. Na mocy
wniosku, (a
n
)
jest zbie»ny. Granic¦ ci¡gu (a
n
)
wyznaczy¢ jednak bardzo trudno; zachodzi
lim
n→∞
a
n
=
π
2
12
.
Twierdzenie. Z ka»dego ci¡gu zbie»nego mo»na wybra¢ podci¡g monotoniczny.
Dowód. Niech (a
n
)
b¦dzie zbie»ny do g.
Co najmniej jeden ze zbiorów {n : a
n
> g}
,
{n : a
n
= g}
, {n : a
n
< g}
jest niesko«czony. Je±li jest to drugi z nich, (a
n
)
zawiera pod-
ci¡g staªy. Gdy niesko«czony jest trzeci zbiór, post¦pujemy podobnie, jak w przypadku, gdy
niesko«czony jest pierwszy. Zaªó»my zatem, »e a
n
> g
dla niesko«¢zenie wielu n.
Okre±lamy ci¡g k
n
indukcyjnie. Niech k
1
b¦dzie dowolnym indeksem, dla którego a
k
1
> g
.
Przypu±¢my, »e mamy ju» zde niowane k
n
takie, »e a
k
n
> g
. Istnieje N takie, »e dla j ≥ N
zachodzi |a
j
− g| < a
k
n
− g
. Wybieramy k
n+1
≥ N
takie, »e a
k
n+1
> g
. Takie k
n+1
istnieje wobec
zaªo»enia, »e a
j
> g
dla niesko«czenie wielu j. Ponadto a
k
n+1
− g < a
k
n
− g
, czyli a
k
n+1
< a
k
n
.
W ten sposób wybrali±my podci¡g ±ci±le malej¡cy (a
k
n
)
ci¡gu (a
n
)
.
Wniosek. Ka»dy ci¡g zawiera podci¡g monotoniczny.
Dowód. Niech (a
n
)
b¦dzie ci¡giem liczbowym. Ci¡g (
a
n
1+|a
n
|
)
jest ograniczony, wi¦c ma podci¡g
zbie»ny, który ma podci¡g (
a
kn
1+|a
kn
|
)
monotoniczny. Ci¡g (a
k
n
)
jest wówczas monotonicznym
podci¡giem ci¡gu (a
n
)
.
6 Arytmetyka granic i funkcje ci¡gªe
De nicja. Niech d b¦dzie metryk¡ na X, a % na Y . Funkcj¦ f : X → Y nazywamy ci¡gª¡,
je±li ze zbie»no±ci ci¡gu (x
n
)
do g w metryce d wynika zbie»no±¢ ci¡gu (f(x
n
))
do f(g) w
metryce %.
4
Twierdzenie. Dziaªania arytmetyczne s¡ funkcjami ci¡gªymi. ci±lej,
R
2
3 (a, b) 7→ a + b ∈ R,
R
2
3 (a, b) 7→ a − b ∈ R,
R
2
3 (a, b) 7→ a · b ∈ R,
R × (R \ {0}) 3 (a, b) 7→
a
b
∈ R
s¡ funkcjami ci¡gªymi. Innymi sªowy, je±li lim
n→∞
a
n
= g
oraz lim
n→∞
b
n
= h
, to
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = g + h,
lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = g − h,
lim
n→∞
(a
n
· b
n
) = g · h,
lim
n→∞
a
n
b
n
=
g
h
,
przy czym w ostatniej równo±ci zakªadamy, »e b
n
6= 0
oraz h 6= 0.
Dowód. Udowodnimy tylko najtrudniejszy przypadek ci¡gªo±¢ ilorazu. Ustalmy ε > 0. Dla
dowolnego δ > 0 istnieje N(δ) takie, »e dla n ≥ N(δ) zachodzi |a
n
− g| < δ
oraz |b
n
− h| < δ
.
Wobec tego
a
n
b
n
−
g
h
=
|h a
n
− g b
n
|
|h| · |b
n
|
≤
|h| · |a
n
− g| + |g| · |h − b
n
|
|h| · |b
n
|
.
Zaªó»my, »e δ ≤
|h|
2
. Wtedy
a
n
b
n
−
g
h
<
|h| · δ + |g| · δ
|h| · |h − δ|
≤ δ
|h| + |g|
|h| ·
|h|
2
.
Je±li dodatkowo δ ≤
ε |h|
2
2|h|+2|g|
, to prawa strona nie przekracza ε. Ostatecznie dla n ≥ N(δ) dla
δ = min(
|h|
2
,
ε |h|
2
2|h|+2|g|
)
otrzymujemy
a
n
b
n
−
g
h
< ε .
To dowodzi tezy.
Uwaga. Nie jest konieczne jawne wskazanie wielko±ci δ w powy»szym dowodzie, zupeªnie wy-
starczy uzasadni¢, »e δ speªniaj¡ce odpowiednie warunki istnieje.
Wniosek. Indukcyjnie mo»na udowodni¢, »e lim
n→∞
a
k
n
= (lim
n→∞
a
n
)
k
dla wszystkich k ∈ N
i wszystkich ci¡gów zbie»nych (a
n
)
. Innymi sªowy, funkcja R 3 x 7→ x
k
∈ R
jest ci¡gªa dla
ka»dego k ∈ N.
Przykªad 4. Niech a
n
=
p n+q
r n+s
, r 6= 0. Wówczas
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
p +
q
n
n +
s
n
=
p + q lim
n→∞
1
n
n + s lim
n→∞
1
n
=
p
s
.
Analogicznie mo»na obliczy¢ wiele podobnych granic.
Przykªad 5. Rozwa»my ci¡g (a
n
)
z przykªadu 2. Wiemy, »e jest on zbie»ny nazwijmy
granic¦ g. Poniewa» a
n+1
= a
n
+
1
a
n
− 1
, wi¦c
g = lim
n→∞
a
n+1
= lim
n→∞
a
n
+
1
lim
n→∞
a
n
− 1 = g +
1
g
− 1,
sk¡d ªatwo g = 1.
5
Przykªad 6. Rozwa»my ci¡g (c
n
)
z przykªadu 2. Zaªó»my (nie wprost), »e jest on zbie»ny
nazwijmy granic¦ g. Poniewa» c
n+1
= (1 −
1
n
2
) c
n
+ 1
, wi¦c
g = lim
n→∞
c
n+1
=
1 + lim
n→∞
1
n
2
lim
n→∞
a
n
+ 1 = g + 1,
sprzeczno±¢. Zatem ci¡g c
n
nie jest zbie»ny (i wobec tego jest rozbie»ny do niesko«czono±ci).
Twierdzenie. Pot¦gowanie liczb dodatnich jest funkcj¡ ci¡gª¡. ci±lej,
(0, ∞) × R 3 (a, b) 7→ a
b
∈ R
jest funkcj¡ ci¡gª¡. Innymi sªowy, je±li lim
n→∞
a
n
= g
, lim
n→∞
b
n
= h
, a
n
> 0
oraz g > 0, to
lim
n→∞
a
b
n
n
= g
h
.
Podobnie logarytmowanie, tj. funkcja
(0, ∞) \ {1}
× (0, ∞) 3 (a, b) 7→ log
a
b ∈ R
jest funkcj¡ ci¡gª¡.
Dowód tego twierdzenia zamieszczony b¦dzie wraz z wygodn¡ de nicj¡ pot¦gowania i logarytmowania w
rozdziale o szeregach.
Przykªad 7. Rozwa»my ci¡g b
n
z przykªadu 2. Niech g b¦dzie jego granic¡. Poniewa» b
n+1
=
√
2 + b
n
, otrzymujemy g =
√
2 + g
, sk¡d g > 0 i g
2
= 2 + g
. Ostatecznie g = 2.
Przykªad 8. Niech a
n
=
√
n (
√
n + 1 −
√
n − 1)
. Wówczas:
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
√
n ·
((n + 1) − (n − 1))
√
n + 1 +
√
n − 1
= lim
n→∞
2
q
1 +
1
n
+
q
1 −
1
n
=
2
q
1 + lim
n→∞
1
n
+
q
1 − lim
n→∞
1
n
= 1.
W przypadku, gdy nie da si¦ zastosowa¢ twierdze« o rachunku granic, potrzebne s¡ inne
metody. Poni»sze twierdzenie dostarcza u»ytecznej techniki.
Twierdzenie. Niech (a
n
)
b¦dzie ci¡giem liczb dodatnich. Je±li dla pewnego g ∈ (0, ∞) zacho-
dzi
lim sup
n→∞
a
n+1
a
n
< g,
to a
n
< g
n
dla prawie wszystkich n i lim sup
n→∞
n
√
a
n
< g
. Analogicznie je±li
lim inf
n→∞
a
n+1
a
n
> g,
to a
n
> g
n
dla prawie wszystkich n i lim inf
n→∞
n
√
a
n
> g
. Podobnie z warunku
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= g
wynika, »e lim
n→∞
n
√
a
n
= g
.
6
Dowód. Zaªó»my, »e zachodzi pierwszy z warunków. Niech h speªnia lim sup
n→∞
a
n+1
a
n
< h < g
.
Istnieje N ∈ N takie, »e
a
n+1
a
n
< h
dla n ≥ N. Niech M ∈ N b¦dzie tak du»e, »e
h
M
g
m
< a
N
g
N
.
Wówczas dla n ≥ M + N zachodzi:
a
n
= a
N
·
a
N +1
a
N
· ... ·
a
n−1
a
n
≤ a
N
h
n−N
≤ a
N
h
M
h
n−M −N
< g
M +N
h
n−M −N
.
W szczególno±ci a
n
< g
n
dla n ≥ M + N. St¡d te»
lim sup
n→∞
n
√
a
n
≤ lim sup
n→∞
n
p
g
M +N
h
n−M −N
= h · lim sup
n→∞
n
r
g
M +N
h
M +N
= h < g.
Analogicznie dowodzi si¦ drugiej cz¦±ci twierdzenia, a trzecia wynika z dwóch poprzednich.
Wniosek. Dla ka»dego K > 1, lim
n→∞
n
K
n
= 0
.
Dowód. Niech a
n
=
n
K
n
. Wówczas
a
n+1
a
n
=
n+1
K n
=
1
K
+
1
K n
, a wi¦c lim sup
n→∞
a
n+1
a
n
=
1
K
<
1+K
2K
i wobec tego 0 < a
n
< (
1+K
2K
)
n
dla prawie wszystkich n. Z twierdzenia o trzech ci¡gach wynika,
»e lim
n→∞
a
n
= 0
.
Wniosek. Zachodzi lim
n→∞
n
√
n = 1
.
Dowód. Wystarczy zastosowa¢ trzeci¡ cz¦±¢ twierzdenia do ci¡gu a
n
= n
.
Twierdzenie. Niech (a
n
)
b¦dzie ci¡giem liczbowym. Je±li dla pewnego g ∈ R zachodzi
lim sup
n→∞
(a
n+1
− a
n
) < g,
to a
n
< n g
dla prawie wszystkich n i lim sup
n→∞
a
n
n
< g
. Analogicznie je±li
lim inf
n→∞
(a
n+1
− a
n
) > g,
to a
n
> n g
dla prawie wszystkich n i lim inf
n→∞
a
n
n
> g
. Podobnie z warunku
lim
n→∞
(a
n+1
− a
n
) = g
wynika, »e lim
n→∞
a
n
n
= g
.
Dowód. Wystarczy zastosowa¢ poprzednie twierdzenie do ci¡gu 2
a
n
i liczby 2
g
oraz skorzysta¢
z ci¡gªo±ci pot¦gowanie i logarytmowania.
Wniosek. Je±li ci¡g liczbowy (a
n
)
jest zbie»ny do g, to ci¡g (A
n
)
±rednich:
A
n
=
a
1
+ a
2
+ ... + a
n
n
równie» jest zbie»ny do g.
Dowód. Niech x
n
= n A
n
= a
1
+ a
2
+ ... + a
n
. Zachodzi:
lim
n→∞
(x
n+1
− x
n
) = lim
n→∞
a
n+1
= g,
wi¦c na mocy poprzedniego twierdzenia,
lim
n→∞
A
n
= lim
n→∞
x
n
n
= g .
7